1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第六节 双曲线 A组 基础题组 1.若实数 k满足 00,b0)的一条渐近线方程为 y=2x,则双曲线 C的离心率是 ( ) A. B. C.2 D. 3.(2017 课标全国 ,5,5 分 )已知 F是双曲线 C:x2- =1 的右焦点 ,P是 C上一点 ,且 PF与 x轴垂直 ,点 A的坐标是 (1,3),则 APF 的面积为 ( ) A. B. C. D. 4.已知 A,B为双曲线 E的左、右顶点 ,点 M在 E上 ,ABM 为等腰三角形 ,且顶角为 120, 则 E的离心率为 ( ) A. B.2 C. D. 5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F(
2、 ,0),直线 y=x-1与该双曲线相交于 M、 N两点 ,MN中点的横坐标为 - ,则此双曲线的方程是 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 6.若双曲线 C1: - =1与 C2: - =1(a0,b0)的渐近线相同 ,且双曲线 C2的焦距为 4 ,则 b= . =【 ;精品教育资源文库 】 = 7.已知双曲线过点 (4, ),且渐近 线方程为 y= x,则该双曲线的标准方程为 . 8.双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线为正方形 OABC的边 OA,OC所在的直线 ,点 B为该双曲线的焦点 .若正方形 OABC的边长为 2,则 a= . 9.(2018
3、 四川成都质检 )中心在原点 ,焦点在 x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点 F1,F2,且 |F1F2|=2 ,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为 4,离心率之比为 37. (1)求椭圆和双曲线的方程 ; (2)若 P 为该椭圆与双曲线的一个交点 ,求 cosF 1PF2的值 . 10.已知双曲线的中心在原点 ,左 ,右焦点 F1,F2在坐标轴上 ,离心率为 ,且过点 (4,- ). (1)求双曲线的方程 ; (2)若点 M(3,m)在双曲线上 ,求证 : =0; (3)在 (2)的条件下 ,求 F 1MF2的面积 . B组 提升题组 1.已知双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点为 F,点
4、A在双曲线的渐近线上 ,OAF 是边长为 2的等边三角形(O 为原点 ),则双曲线的方程为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A. - =1 B. - =1 C. -y2=1 D.x2- =1 2.已知直线 l与双曲线 C:x2-y2=2的两条渐近线分别交于 A,B两点 ,若 AB的中点在该双曲线上 ,O为坐标原点 ,则 AOB 的面积为 ( ) A. B.1 C.2 D.4 3.一条斜率为 1的直线 l与离心率为 的双曲线 - =1(a0,b0)交于 P,Q两点 ,直线 l与 y轴交于 R点 ,且 =-3, =3 ,求直线和双曲线的方程 . 4.设 A、 B分别为双曲线 - =1(a
5、0,b0)的左、右顶点 ,双曲线的实轴长为 4 ,焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程 ; =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)已知直线 y= x-2与双曲 线的右支交于 M,N两点 ,且在双曲线的右支上存在点 D,使 + =t ,求 t的值及点 D的坐标 . 答案精解精析 A组 基础题组 1.D 当 00,16-k0,故方程 - =1表示焦点在 x轴上的双曲线 ,且实半轴的长为 4,虚半轴的长为 ,焦距 2c=2 ,离心率 e= ;方程 - =1表示焦点在 x轴上的双曲线 ,实半轴的长为,虚半轴的长为 ,焦距 2c=2 ,离心率 e= .可知两曲线的焦距相等 .故选 D. 2.A
6、 由双曲线 C: - =1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y=2x,可得 =2,e= = = .故选 A. 3.D 本题考查双曲线的几何性质 . 易知 F(2,0),不妨取 P点在 x 轴上方 ,如图 . =【 ;精品教育资源文库 】 = PFx 轴 , P(2,3),|PF|=3, 又 A(1,3), |AP|=1,APPF, S APF = 31= .故选 D. 4.D 设双曲线的标准方程为 - =1(a0,b0),点 M在右支上 , 如图所示 ,ABM=120, 过点 M向 x轴作垂线 ,垂足为 N,则 MBN=60. ABM 为等腰三角形 ,AB=BM=2a, MN=2asin 60
7、= a,BN=2acos 60=a. 点 M坐标为 (2a, a),代入双曲线方程 - =1, 整理 ,得 =1,即 =1. e 2=1+ =2,e= . 5.B 设双曲线方程为 - =1(a0,b0).将 y=x-1代入 - =1,整理得 (b2-a2)x 2+2a2x-a2-a2b2=0.由根与系数的关系得 x1+x2= ,结合已知条件得 = =- .又 c2=a2+b2=7,解得 a2=2,b2=5,所以双曲线的方程是 - =1,故选 B. 6. 答案 4 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由题意得 , =2?b=2a,C2的焦距 2c=4 ?c= =2 ?a=2,b=4. 7.
8、答案 -y2=1 解析 根据渐近线方程为 y= x,可设双曲线方程为 x2-4y2=(0). 因为双曲线过点 (4, ),所以42-4( )2=, 即 =4. 故双曲线的标准方程为 -y2=1. 8. 答案 2 解析 由 OA,OC所在直线为渐近线 ,且 OAOC, 知两条渐近线的夹角为 90, 从而双曲线为等轴双曲线 ,则其方程为 x2-y2=a2.OB是正方形的对角线 ,且点 B是双曲线的焦点 ,则 c=2 ,根据 c2=2a2可得 a=2. 9. 解析 (1)设椭圆的方程为 + =1(ab0),双曲线的方程为 - =1(m0,n0),由题意知 c= , 则 解得 a=7,m=3, b=6
9、,n=2. 椭圆的方程为 + =1,双曲线的方程为 - =1. (2)不妨令 F1、 F2分别为左、右焦点 ,P 是第一象限的一个交点 ,则 |PF1|+|PF2|=14, |PF1|-|PF2|=6, 所以 |PF1|=10,|PF2|=4, 又 |F1F2|=2 , cosF 1PF2= = = . 10. 解析 (1)e= , 可设双曲线的方程为 x2-y2=(0). 双曲线过点 (4,- ), =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 6-10=, 即 =6, 即 - =1, 双曲线的方程为 x2-y2=6. (2)证明 :证法一 :由 (1)可知 ,双曲线中 a=b= , c=2 ,F
10、1(-2 ,0),F2(2 ,0), = , = , = =- . 点 M(3,m)在双曲线上 ,9 -m2=6,m2=3, 故 =-1,MF 1MF 2,即 =0. 证法二 :由证法一知 =(-2 -3,-m), =(2 -3,-m), =(3+2 )(3 -2 )+m2=-3+m2, 点 M(3,m)在双曲线上 , 9 -m2=6,即 m2-3=0, =0. (3)F 1MF2的底 |F1F2|=4 ,由 (2)知 m= . F 1MF2的高 h=|m|= , =6. B组 提升题组 1.D 不妨设点 A在第一象限 ,由题意可知 c=2,点 A的坐标为 (1, ),所以 = ,又 c2=a
11、2+b2,所以a2=1,b2=3,故所求双曲线的方程为 x2- =1,故选 D. =【 ;精品教育资源文库 】 = 2.C 由题意得 ,双曲线的两条渐近线方程为 y=x, 设 A(x1,x1),B(x2,-x2),则 OAOB,AB 的中点为,又因为 AB的中点在双曲线上 ,所以 - =2,化简得 x1x2=2,所以SAOB = |OA|OB|= | x1| x2|=|x1x2|=2,故选 C. 3. 解析 e= ,b 2=2a2, 双曲线方程可化为 2x2-y2=2a2. 设直线 l的方程为 y=x+m. 由 得 x2-2mx-m2-2a2=0, =4m2+4(m2+2a2)0, 直线 l一
12、定与双曲线相交 . 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 x1+x2=2m,x1x2=-m2-2a2. =3 ,xR= =0, x 1=-3x2, x 2=-m,-3 =-m2-2a2. 消去 x2,得 m2=a2. =x1x2+y1y2 =x1x2+(x1+m)(x2+m) =2x1x2+m(x1+x2)+m2 =m2-4a2=-3, m=1,a 2=1,b2=2. 直线 l的方程为 y=x1, 双曲线的方程为 x2- =1. 4. 解析 (1)由题意知 a=2 , 一条渐近线方程为 y= x, 即 bx-2 y=0, = , =【 ;精品教育资源文库 】 = b 2=3, 双曲线的方程为 - =1. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0), + =t , x 1+x2=tx0,y1+y2=ty0, 将直线方程 代入双曲线方程得 x2-16 x+84=0, 则 x1+x2=16 , 所以 y1+y2=12, 点 D在双曲线的右支上 , 解得 t=4, 点 D的坐标为 (4 ,3).
