1、1 一、填空题：本题共 14 小题，每题 5 分，满分 70 分. 1集合 Ax|x23x0，Bx|ylg(2x)，则 AB （用区间表示） 2某中学有高一学生 400 人，高二学生 300 人，高三学生 500 人，现用分层抽样的方法在 这三个年级中抽取 120 人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为 3 已知 i 为虚数单位， a， bR， 复数1i 2iiabi， 则 abi 4有四条线段其长度分别为 2，3，5，7从中任取 3 条，能构成三角形 的概率为 5如图，程序执行后输出的结果为 6设 f(x) x22x1， x0， 2x6， x0 ，若 f(t)2，则实数 t 的取值范围是 7
2、中国古代数学著作算法统宗中记载了这样的一个问题： “三百七十八里关，初行健步 不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还” ，其大 意为：有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前 一天的一半，走了 6 天后到达了目的地，问此人第二天走的路程里数为 8已知圆 C：x2y22x4y0 关于直线 3x2ay110 对称，则圆 C 中以(a 2， a 2)为中 点的弦的长度为 9已知 cos(x 3 )1 3 ，则 cos(2x 3 )sin2( 3 x)的值为 10 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， BAC90且 AB 3， BB14
3、， 设其外接球的球心为 O， 且球 O 的表面积为 28，则ABC 的面积为 11已知函数 f(x)sin(x)(0x1)，若 ab，且 f(a)f(b)，则4 a 1 b的最小值为 12 在梯形 ABCD 中，AB 3DC， 若ADBD8， ACBC6， AB3， 则ACBD (第 5 题图) 南京市南京市2019-2020 学年度第二学期学年度第二学期阶段考试阶段考试 高三数学高三数学 本本卷考试时间：120 分钟总分：160 分卷考试时间：120 分钟总分：160 分 2 13在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左焦点为 F，点 B 的
4、坐标为(0， b)， 若直线 BF 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P， Q 两点， 且PB 5BQ， 则双曲线 C 的离心率为 14已知 f(x) 0，0x1， |x29|3， x1 ，g(x)|lnx|，若函数 yf(x)g(x)m(x0)恰有两 个不相等的零点，则实数 m 的取值范围为 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 （本小题满分 14 分） 设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且3ccosAasinC 3c （1）求角 A 的大小； （2）若 bc5，SABC 3，求 a 的值 16 （本小题满分 1
5、4 分） 如图，已知四棱锥 SABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，侧面 SAB 是正三角形，P， Q 分别为 SA，SD 的中点，且 ADSD求证： （1）PQ/平面 SBC； （2）SABD (第 16 题图) 3 17 （本小题满分 14 分） 如图，已知一张半径为 1 m 的圆形薄铁皮（O 为圆心，厚度忽略不计） ，从中裁剪一块 扇形（图中阴影部分）用作某圆锥形容器的侧面 （1）若所裁剪的扇形的圆心角为2 3 ，求圆锥形容器的体积； （2）试问裁剪的扇形的圆心角为多少时，圆锥形容器的体积最大？并求出最大值 18 （本小题满分 16 分） 已知椭圆 C：x 2 a2 y2 2 1(a
6、 2)的右焦点为 F，P 是椭圆 C 上一点，PFx 轴，PF 2 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点，且 OM 2，求AOB 面积的最大值 O （第 17 题图） 4 19 （本小题满分 16 分） 设函数 f(x)xlnxaa 2 x (aR) （1）讨论函数 f(x)的单调性； （2）当 a1 时，记 g(x)xf(x)，是否存在整数 t，使得关于 x 的不等式 tg(x)有解?若 存在，请求出 t 的最小值；若不存在，请说明理由 20 （本小题满分 16 分） 对于nN*，若数列xn满足 xn1
7、xn1，则称这个数列为“K 型数列” （1）已知数列：1，m1，m2是“K 型数列”，求实数 m 的取值范围； （2） 是否存在首项为1 的等差数列an为“K 型数列”， 且其前 n 项和 Sn满足 Sn1 2n 2 n(nN*)？若存在，求出an的通项公式；若不存在，请说明理由； （3） 已知各项均为正整数的等比数列an是“K 型数列”， 数列1 2a n不是“K 型数列”， 若 bn an1 n1，试判断数列b n是否为“K 型数列”，并说明理由 5 数学附加数学附加 本卷考试时间：本卷考试时间：3030 分钟分钟总分：总分：4040 分分 21本题包括 A、B 两小题，解答时应写出文字说
8、明、证明过程或演算步骤 A选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知矩阵 M 1 a b 1 ，N c 2 0 d ，若 MN 10 01 ，求 a，b，c，d 的值 B选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已 知直线 l 的参数方程为 xt y3t1(t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程是cos 22sin （1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，点 M 为 AB 的中点，点 P 的极坐标为(2 3， 6
9、)，求 PM 的值 6 A B C C1 B1 A1 F D (第 23 题图) M P Q F y x O 【必做题】第22题，第23题每题10分，共计20分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文 字说明证明过程或演算步骤 22(本小题满分 10 分) 如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ABBC 2，BB13，D 为 A1C1的中点，F 在线段 AA1上 （1）AF 为何值时，CF平面 B1DF？ （2）设 AF1，求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值 23(本小题满分 10 分) 已知点 P 为抛物线 x22y 上异于坐标原点 O 的任一点，F 为抛物线焦点过点 P 作抛 物线的切线 l 与 y 轴交于点 M，直线 PF 交抛物线于点 Q （1）若点 P 的横坐标为 2，求点 M 到直线 PQ 的距离； （2）求PQM 面积的最小值，并写出此时切线 l 的方程 (第 22 题图)
