1、适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题解三角形教学目的教学内容第一节 正弦定理和余弦定理（一）高考目标考纲解读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题考向预测1利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变形解决问题2与三角形有关的问题在考查正弦定理、余弦定理和面积公式的同时，考查三角恒等变形，这是高考的热点3三种题型均有可能出现，属中低档题目（二）课前自主预习知识梳理1 正弦定理和余弦定理2.解三角形的类型在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：3.解三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(除三角外)才能求解，常见类型
2、及其解法如表所示.已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由ABC180，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由ABC180求出另一角在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用ABC180，求出角C.在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由ABC180，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c. 可有两解，一解或无解（三）基础自测1(2010湖北理)在ABC中，a15，b10，A60，则cosB(
3、)AB. C D.答案D解析由正弦定理可得，sinB，又因为ba，所以B0，a2b2，ab.5ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c，b，B120，则a_答案 解析由余弦定理得b2a2c22accos120，即6a222aa或a2(舍去)6在ABC中，若sinC2cosAsinB，则此三角形是_三角形答案等腰解析由sinC2cosAsinB，得sin(AB)2cosAsinB，即sinAcosBcosAsinB2cosAsinB，即sinAcosBcosAsinB0，所以sin(AB)0.又因为AB，所以AB0，即AB.7在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边长，已知a，b，
4、c成等比数列，且a2c2acbc，求A及的值解析a，b，c成等比数列，b2ac，又a2c2acbc，b2c2a2bc.在ABC中，由余弦定理得cosA，A60，在ABC中，由正弦定理得sinB.b2ac，A60，sin60.（四）典型例题1.命题方向：正弦定理和余弦定理的应用例1在ABC中，已知a，b，B45，求A、C和c.分析已知两边和其中一边的对角解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况或借助余弦定理，先求出边c后，再求出角C与角A解析方法一：B4590，且bcb，角A为最大角由余弦定理有cosA，A120，sinA，再根据正弦定理，有，sinCsinA.2.命题方向：与面积有
5、关的问题例2在ABC中，A60，b1，其面积为，则ABC外接圆的直径是_分析三角形外接圆直径是和正弦定理联系在一起的，已经知道了A60，只要再能求出边a，问题就解决了，结合已知条件求边a是解决问题的关键解析由题意知，SABCbcsinA，所以c4.由余弦定理知：a，再由正弦定理2R.即ABC外接圆的直径是.答案跟踪练习2 ：(2008江苏)满足条件AB2，ACBC的ABC的面积的最大值为_答案2解析设BCx，则ACx，根据面积公式得SABCABBCsinB2x根据余弦定理得cosB，代入式可得SABCx，由三角形三边关系有解得22x0，则aksinA，bksinB，cksinC代入已知条件得k
6、sinAcosAksinBcosBksinCcos C，即sinAcosAsinBcosBsinCcosC.根据二倍角公式得sin2Asin2Bsin2C，sin(AB)(AB)sin(AB)(AB)2sinCcosC，2sin(AB)cos(AB)2sinCcosC.ABCABC，sin(AB)sinC0，cos(AB)cosC，cos(AB)cos(AB)0，2cosAcosB0cosA0或cosB0，即A90或B90，ABC是直角三角形方法二：由余弦定理知cosA，cosB，cosC，代入已知条件得abc0，化简得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0，展开整理得
7、(a2b2)2c4，a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2.根据勾股定理知ABC是直角三角形跟踪练习3：ABC中，a2tanBb2tanA，判断三角形的形状是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形答案C解析由正弦定理得sin2AtanBsin2BtanA，sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B.又因为A，B(0，)，所以AB或AB90.4.命题方向：正、余弦定理的综合应用例4ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且b2c2a2bc0.(1)求角A的大小；(2)若a，求bc的最大值；(3)求的值分析(1)由b2c2a2bc0的结构形式
8、，可联想余弦定理，求出cosA，进而求出A的值(2)由a及b2c2a2bc0，可求出关于b，c的关系式，利用不等式即可求出bc的最大值(3)由正弦定理可实现将边化角的功能，从而达到化简求值的目的解析(1)cosA，A120.(2)由a，得b2c23bc.又b2c22bc(当且仅当cb时取等号)，3bc2bc(当且仅当cb时取等号)，即当且仅当cb1时，bc取得最大值为1.(3)由正弦定理，得2R，=.跟踪练习4：在ABC中，A、B、C所对的边长分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2c2bca2和，求A和tanB的值解析由余弦定理cosA，因此A60.在ABC中，C180AB120B.由已知
9、条件，应用正弦定理cotB，解得cotB2，从而tanB.（五）思想方法点拨1在利用正弦定理解决已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形问题时，可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍2在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能3一般地，由sinsin/ ，但在ABC中，sinAsinBAB.4判断三角形形状的方法根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条
10、途径：(1)化边为角；(2)化角为边具体有如下四种方法：通过正弦定理实施边、角转换；通过余弦定理实施边、角转换；通过三角变换找出角之间的关系；通过三角函数值符号的判断及正、余弦函数有界性的讨论；b2c2a20A为锐角，b2c2a20A为直角，b2c2a20A为钝角（六）课后强化作业 一、选择题1在ABC中，AB，A45，C75，则BC等于()A3B. C2 D3答案A解析由得BC3.2(2008安徽)在三角形ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC的大小为()A. B. C. D.答案A解析cosBAC.0BAC，BAC.3在ABC中，cos2，则ABC的形状为()A直角三角形 B等腰三角形
11、或直角三角形C正三角形 D等腰直角三角形答案A解析cos2，即cosA，又由余弦定理知，cosA，a2b2c2，ABC为直角三角形4(2010天津理)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sinC2sinB，则A()A30 B60 C120 D150答案A解析由余弦定理得：cosA，由题知b2a2bc，c22bc，则cosA，又A(0，180)，A30，故选A.5已知ABC的三个内角为A、B、C，所对的三边分别为a、b、c，若ABC的面积为Sa2(bc)2，则tan等于()A. B. C. D1答案B解析由于SbcsinA，又Sa2b2c22bc，由余弦定理知a2b
12、2c22bccosA，bcsinA2bccosA2bcsinA4(1cosA)2sincos42sin2tan.6锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，设B2A，则的取值范围是()A(2,2) B(0,2) C(，2) D(，)答案D解析2cosA，又ABC是锐角三角形，30A45，则2cosA(，)，故选D.7已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若ac且A75，则b()A2B42 C42 D.答案A解析考查正弦定理与两角和的正弦公式sinAsin75sin(3045)sin30cos45sin45cos30，由ac及A75可知，C75，所以B30，sinB，
13、由正弦定理得bsinB2，故选A.8如图所示，将平面直角坐标系中的纵轴绕点O顺时针旋转30(坐标轴的长度单位不变)构成一个斜坐标系xOy，平面上任一点P关于斜坐标系的坐标(x，y)用如下方式定义：过P作两坐标轴的平行线分别交坐标轴Ox于点M，Oy于点N，则M在Ox轴上表示的数为x，N在Oy轴上表示的数为y.在斜坐标系中，若A，B两点的坐标分别为(1,2)，(2,3)，则线段AB的长为()A. B. C. D2分析这是一个知识迁移题，在斜坐标系中求线段AB的长，根据斜坐标系的定义不难发现，可将线段AB放在一个三角形中进行求解，这样就转化为利用正余弦定理解三角形的问题答案A解析如图，分别过A作x轴
14、平行线，过B作y轴的平行线，设两条平行线交于点C，根据题意可得，ABC中，C60，AC3，BC1，根据余弦定理有AB2BC2AC22ACBCcosC，解得AB.点评解决此题的关键是理解题意，根据题中对斜坐标系的定义将求距离问题转化为解三角形问题，这里涉及知识的迁移能力，这也是近几年高考试题中经常考查的内容，体现了数学知识的灵活应用二、填空题9(2010北京理)在ABC中，若b1，c，C，则a_.答案1解析sinBb1，因此B，AB，故ab1.10(2010山东文)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，sinBcosB，则角A的大小为_答案解析本题考查了三角恒等变形，给值
15、求角及正弦定理等知识点，考查学生灵活解三角形的能力，属中档题，sinBcosBsin(B)，sin(B)1，B，B，又a，b2，由正弦定理：.解得：sinA，又ab，AB，A为所求11(2011东营模拟)在ABC中，BCa，ACb，a、b是方程x22x20的两根，且2cos(AB)1，则AB_.答案解析设ABc，cosC.又cosC，c210，c，即AB.三、解答题12(2010陕西文)在ABC中，已知B45，D是BC边上的一点，AD10，AC14，DC6，求AB的长解析本题考查正、余弦定理的应用在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，ADC120，ADB60.在AB
16、D中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理得，AB5.13(2010安徽理)设ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2Asin(B)sin(B)sin2B.(1)求角A的值；(2)若12，a2，求b，c(其中bb知c6，b4.14(2009浙江理)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos，3.(1)求ABC的面积；(2)若bc6，求a的值解析本题主要考查正弦、余弦定理、三角公式变换、三角形面积公式及向量运算等基础知识，同时考查运算求解能力(1)因为cos，所以cosA2cos21，sinA.又由3，得bccosA3，所以bc5.因此SA
17、BCbcsinA2.(2)由(1)知，bc5，又bc6，所以b5，c1或b1，c5由余弦定理，得a2b2c22bccosA20，所以a2.15已知ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且3sin2B3sin2C2sinBsinC3sin2A，a，求的最大值分析所给条件式为角的关系，又均为“二次”式，故化角为边后可利用余弦定理寻求联系求解解析3sin2B3sin2C2sinBsinC3sin2A，由正弦定理得3b23c22bc3a2，即3b23c23a22bc，再由余弦定理得cosA.a，3b23c22bc96bc2bc4bc，bc，当且仅当bc时等号成立cbcosA，故的最大值为.第二
18、节 正弦、余弦定理的应用举例（一）高考目标考纲解读能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题考向预测1对解决实际问题的能力及测量问题的考查是高考的重点2在选择、填空、解答中都可能考查，属中档题（二）课前自主预习知识梳理1仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 叫仰角，目标视线在水平视线叫俯角(如图) 2方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)3方向角：相对于某一正方向的水平角(如图)北偏东：指北方向顺时针旋转到达目标方向东北方向：指北偏东45或东偏北45.其他方向角类似4坡度：坡面与水平面所
19、成的二面角的度数(如图，角为坡角)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡比) （三）基础自测1若点A在点B的北偏西30，则B点在A点的()A西偏北30B西偏北60 C南偏东30 D东偏南30答案C解析由图可知B在A的南偏东30.2一人向东走了xkm后转向南偏西60走了3km，结果他离出发点恰好km，则x的值为()A. B2 C2或 D3答案C解析如图所示，在ABC中，ABx，BC3，AC，ABC30，由余弦定理得，()232x223xcos30，即x23x60，解得x1，x22.经检验均合题意 3(教材改编题)在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60，C点的俯角为70
20、，则BAC()A10 B50 C120 D130答案D解析如图，由已知BAD60，CAD70，BAC6070130.4(教材改编题)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为()A1 B2sin10 C2cos10 Dcos20答案C解析如图，ABC20，AB1，ADC10，ABD160.在ABD中，由正弦定理，ADAB2cos10.5(2011南京模拟)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得BCD15，BDC30，CD30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB_m.答案15解析由已知可得DBC135，在DBC中
21、，由正弦定理可得，BC15，ABBCtan601515.6在ABC中，已知AC3，sinAcosA.(1)求sinA的值；(2)若ABC的面积S3，求BC的值解析(1)由sinAcosAsin得sin1，由此及0A，即A，得A，故A，sinA.(2)由SbcsinAc3得c2，由此及余弦定理得a2b2c22bccosA982325，故a，即BC.（四）典型例题1.命题方向：测量距离问题例1要测量河对岸A、B两点之间的距离，选取相距km的C、D两点，并且测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求A、B之间的距离解析ACD中，ACD120，CADADC30ACCDkm在BCD中，BCD
22、45，BDC75，CBD60，BC在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB()2()22cos755ABkm答：A、B之间的距离为km.点评求距离问题要注意：(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理跟踪练习1：(2009海南宁夏理)为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意图)，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测
23、量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤解析本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力方案一：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1；B点到M，N点的俯角2，2；A，B的距离d(如图所示)第一步：计算AM.由正弦定理AM；第二步：计算AN.由正弦定理AN；第三步：计算MN，由正弦定理MN.方案二：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1；B点到M，N点的俯角2，2；A，B的距离d(如图所示)第一步：计算BM.由正弦定理BM；第二步：计算BN.由正弦定理BN；第三步：计算MN.由余弦定理MN.2.命题方向:测量高度问题例
24、2某人在塔的正东沿着南60的方向前进40米以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30，求塔高分析依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD40米，此时DBF45，从C到D所测塔的仰角最大的，只有B到CD最短时，仰角才最大，这时因为tanAEB，AB为定值，要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，须先求BD(或BC)解析在BCD中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理得，BD20.在RtBED中，BDE1801353015.BEBDsin152010(1)在RtABE中，AEB30，ABBEtan30(3)(米)故所求的塔高为(3)米点评本例中，方向角是属于水平
25、面的角度，而仰角则属于铅垂平面上的角度，因而这里的图形是立体图形在画立体图形时，应有立体感，即水平面的图形画成倾斜的，如图所示这是此题的一个难点跟踪练习2：地平面上一旗杆设为OP，为测得它的高度h，在地平面上取一基线AB，AB200m，在A处测得P点的仰角OAP30，在B处测得P点的仰角OBP45，又测得AOB60，求旗杆的高h.(结果保留根号)分析依题画图，首先由RtOAP可求得OA与h的关系，同理在RtOBP中，可求得OB与h的关系，最后由余弦定理，在AOB中，由AB200m，从而求得h.解析如图，OPh，OAP30，OBP45，AOB60，AB200m，在AOP中，OPAO，AOP90，
26、则OAOPcot30h.同理在BOP中，BOP90，且OBP45，OBOPh，在OAB中，由余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcosAOB，即20023h2h22h2cos60解得h.答：旗杆的高度为m.3.命题方向：测量角度问题例3沿一条小路前进，从A到B，方位角(从正北方向顺时针转到AB方向所成的角)是50，距离是3km，从B到C，方位角是110，距离是3km，从C到D，方位角是140，距离是(93)km.试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离(结果保留根号)分析画出示意图，要求A到D的方位角，需要构造三角形，连接AC，在ABC中，可知BAC30，用余弦定理求出AC，再在ACD中
27、，求出AD和CAD.解析如图，连接AC，在ABC中，ABC50(180110)120，又 ABBC3，BACBCA30.由余弦定理可得 AC3(km)在ACD中，ACD360140(7030)120，CD39.由余弦定理得AD(km)由正弦定理得sinCAD.CAD45，于是AD的方位角为503045125，所以，从A到D的方位角是125，距离为km.点评首先要理解题意，分清已知和未知，画出示意图，据已知条件和求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关三角形中，综合利用正、余弦定理有序地解三角形，逐步求解问题的答案跟踪练习3：如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇
28、险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？ 解析如图所示，在ABC中，AB20，AC10，BAC120，由余弦定理知BC2AB2AC22ABACcos12020210222010700.BC10，由正弦定理得，sinACBsinBACsin120，ACB41，乙船应沿北偏东304171的方向沿直线前往B处救援（五）思想方法点拨解三角形应用题常见的几种情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两
29、个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解（六）课后强化作业一、选择题1一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这只船的速度是每小时()A5海里 B5海里 C10海里 D10海里答案C解析依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，可得AB5，于是这只船的速度是10(海里/小时)2如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的
30、河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB45，CAB105后，就可以计算A、B两点的距离为()A50mB50m C25m D.m答案A解析由题意知ABC30由正弦定理AB50(m)3一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( ) 海里/小时A. B34 C. D34 答案A解析如图所示，在PMN中，MN34，v(海里/小时)4为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶D处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，那么塔AB的高度是()A20m B20m C20(1)m D30
31、m答案A解析如图所示，四边形CBMD为正方形，而CB20m，所以BM20m.又在RtAMD中，DM20m，ADM30，AMDMtan30(m)，ABAMMB2020m.5如图所示，D，C，B三点在地面同一直线上，DCa，从C、D两点测得A点的仰角分别是、(0，x1.7如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50米，山坡对于地平面的坡角为，则cos()A. B2 C.1 D.答案C解析在ABC中，BC50()，在BCD中，sinBDC1，由图知cossinADEsinBDC1.8空中有一气球，在
32、它的正西方A点测得它的仰角为45，同时在它南偏东60的B点，测得它的仰角为30，若A，B两点间的距离为266米，这两个观测点均离地1米，那么测量时气球到地面的距离是()A.米 B.米 C266米 D266米答案B解析如图，D为气球C在过AB且与地面平行的平面上的正投影，设CDx米，依题意知：CAD45，CBD30，则ADx米，BDx米在ABD中，由余弦定理得AB2AD2BD22ADBDcosADB，即2662x2(x)22x(x)cos1507x2，解得x，故测量时气球到地面的距离是米，故选B.二、填空题9海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C的距离是_答案5海里解析在ABC中由正弦定理得，BC5.10我舰在岛A南50西12海里的B处，发现敌舰正从岛沿北10西的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度为_答案14海里/小时解析设我舰在C处追上敌舰，速度为V，则在ABC中，AC20，A
