1、专题27 向量法求空间角一、单选题 1在正方体中,分别为,的中点,则异面直线与所成角的大小是( )ABCD2在长方体中,设交于点,则异面直线与所成角的余弦值为( )ABCD3如图在棱长为2的正方体中,点是的中点,那么异面直线和所成的角的余弦值等于( )ABCD4如图,已知点、G、分别是正方体中棱、的中点,记二面角的平面角为,直线与平面所成角为,直线与直线所成角为,则( )ABCD5如图,在正四面体中,记平面与平面平面平面,所成的锐二面角分别为,则( )ABCD6如图,在长方体中,是的中点,则直线与所成角的余弦值为( )ABCD7已知两条异面直线的方向向量分别是,1,2,则这两条异面直线所成的角
2、满足( )ABCD二、解答题8如图,四边形中,是等腰直角三角形,是边长为2的正三角形,以为折痕,将向上折叠到的位置,使点在平面内的射影在上,再将向下折叠到的位置,使平面平面,形成几何体.(1)点在上,若平面,求点的位置;(2)求二面角的余弦值.9如图所示,在四棱锥中,底面,为的中点.(1)求证:平面;(2)在侧面内找一点,使平面;(3)求直线与平面所成角的正弦.10如图所示,四棱锥中,侧面是边长为的正三角形且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.(1)求与底面所成角的大小;(2)求证:平面;(3)求二面角的余弦值.11如图,三棱柱中,平面平面,和都是正三角形,是的中点(1)求证:平面;(2)求二
3、面角的余弦值12如图,在四棱锥中,底面中,侧面平面,且,点在棱上,且()证明:平面;()求二面角的余弦值13如图,在底面为菱形的四棱锥中,(1)证明:;(2)若,点在线段上,且,求二面角的余弦值14如图,在四棱锥中,底面,底面是边长为2的正方形,分别是,的中点(1)求证:平面;(2)求平面与平面夹角的余弦值;(3)在上是否存在一点,使得与所成角为?若存在,求出点坐标,若不存在,请说明理由15已知如图,在菱形中,且,为的中点,将沿折起使,得到如图所示的四棱锥.(1)求证:平面平面;(2)若为的中点,求二面角的余弦值.16如图,E为矩形边的中点,沿将向上翻折至,使得二面角为60,且,.(1)证明:
4、平面;(2)求直线与平面夹角的正弦值.17如图,长方体中,若在上存在点,使得平面.(1)求的长;(2)求平面与平面夹角的余弦值.18如图,三棱柱的侧面是边长为的正方形,面面,是的中点.(1)求证:平面;(2)求点到平面的距离; (3)在线段上是否存在一点,使二面角为,若存在,求的长;若不存在,说明理由.19如图,在直三棱柱中,(1)求证:;(2)求直线和所成角的大小; (3)求直线和平面所成角的大小.20如图,已知三棱锥中,平面,M、E分别为、的中点,N为的中点()求证:;()求直线和平面所成角的正弦值21如图,三棱柱中,底面是边长为的等边三角形,侧面为菱形,且平面平面,为棱的中点(1)证明:
5、平面;(2)求二面角的余弦值22在如图所示的几何体中,四边形为正方形,平面,.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)在棱上是否存在一点,使得二面角的大小为?如果存在,确定点的位置;如果不存在,说明理由.23在四棱锥中,四边形ABCD为正方形,平面平面ABCD,为等腰直角三角形,AB=2.(1)求证:平面平面PAC;(2)设E为CD的中点,求二面角C-PB-E的余弦值.24已知长方体中,E为的中点.(1)证明平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.25如图,四边形为菱形,四边形为矩形,平面平面,点在上,.(1)证明:平面;(2)若与平面所成角为60,求二面角的余弦值.26如图
6、,在边长为8的菱形中,将沿折起,使点到达的位置,且二面角为60.(1)求证:;(2)若点E为中点,求直线BE与平面所成角的正弦值.27如图,在直三棱柱中,点是的中点.(1)求证:平面平面;(2)求平面与平面所成的锐二面角(是指不超过的角)的余弦值.28中,E,F分别是边,上的点,且,于H,将沿折起,点A到达,此时满足面面(1)若,求直线与面所成角大小;(2)若E,F分别为,中点,求锐二面角的余弦值;(3)在(2)的条件下,求点B到面的距离29如图,在梯形中,平面,四边形为矩形,点为线段的中点,且,.(1)求证:平面平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.30如图,四棱锥的底面为正方形,侧面底面为等腰直角三角形,且,分别为底边和侧棱的中点()求证:平面;()求二面角的余弦值