1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 层级快练 (六十五 ) 1 已知 a， b 满足 2a 3b 1， 则直线 4x ay 2b 0 必过的定点为 ( ) A (43， 16) B (43， 16) C (16， 43) D (16， 43) 答案 D 解析 2a 3b 1， 又由 4x ay 2b 0， 得 y4xa 12xb 1， ? y4x 2，12x 3，?x 16，y 43，选 D. 2 过抛物线 y2 2px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点 ， 则 1|AF| 1|BF| _ 答案 2p 3 已知曲线 C： y2 2px(p0) O 为原点 ， A， B 是 C
2、上两个不同点 ， 且 OAOB ， 则直线 AB过定点 _ 答案 (2p， 0) 4 已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为 e32 ， 其左、右焦点分别为 F1， F2， |F1F2| 2 3， 设点 M(x1， y1)， N(x2， y2)是椭圆上不同两点 ， 且这两点与坐标原点的连线的斜率之积为 14. (1)求椭圆 C 的方程； (2)求证： x12 x22为定值 ， 并求该定值 答案 (1)x24 y2 1 (2)4 解析 (1)依题意 ， c 3， 而 e 32 ， a 2， b2 a2 c2 1， 则椭圆 C 的方程为 x24 y2 1. (2)由于 y1x1
3、y2x2 14， 则 x1x2 4y1y2， x12x22 16y12y22. =【 ;精品教育资源文库 】 = 而 x124 y12 1， x224 y22 1， 则 1 x124 y12， 1 x224 y22， (1 x124)(1x224 ) y12y22， 则 (4 x12)(4 x22) 16y12y22， (4 x12)(4 x22) x12x22， 展开 ， 得 x12 x22 4 为一定值 5 (2017 课标全国 ， 理 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)， 四点 P1(1， 1)， P2(0， 1)， P3(1， 32 )， P4(1， 32 )中恰有三点在
4、椭圆 C 上 (1)求 C 的方程； (2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A， B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1，证明： l 过定点 答案 (1)x24 y2 1 (2)定点 (2， 1) 解析 (1)由于 P3， P4两点关于 y 轴对称 ， 故由题设知 C 经过 P3， P4两点又由 1a2 1b21a2 34b2知 ， C 不经过点 P1， 所以点 P2在 C 上 ， 因此?1b2 1，1a234b2 1，解得?a2 4，b2 1. 故 C 的方程为 x24 y2 1. (2)证明：设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1， k2. 如果
5、l 与 x 轴垂直 ， 设 l： x t， 由题设知 t0 ， 且 |t|0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 x1 x2 8km4k2 1， x1x2 4m2 44k2 1. 而 k1 k2 y1 1x1 y2 1x2 kx1 m 1x1 kx2 m 1x2 2kx1x2（ m 1）（ x1 x2）x1x2. 由题设知 k1 k2 1， 故 (2k 1)x1x2 (m 1)(x1 x2) 0， 即 (2k 1) 4m2 44k2 1 (m 1) 8km4k2 1 0， 解得 km 12 . 当且仅当 m 1 时 ， 0， 于是 l： y
6、m 12 x m， 即 y 1 m 12 (x 2)， 所以 l 过定点 (2， 1) 6 (2018 湖南师大附中月考 )如 图 ， 抛物线 C1： y2 8x 与双曲线 C2： x2a2y2b2 1(a0， b0)有公共焦点 F2， 点 A 是曲线 C1， C2在第一象限的交点 ， 且 |AF2| 5. (1)求双曲线 C2的方程； (2)以 F1为圆心的圆 M 与双曲线的一条渐近线相切 ， 圆 N： (x 2)2 y2 1， 已知点 P(1， 3)，过点 P 作互相垂直且分别与圆 M， 圆 N 相交的直线 l1， l2， 设 l1被圆 M 截得的弦长为 s， l2被圆 N 截得 的弦长为
7、 t， 试探索 st是否为定值？请说明理由 答 案 (1)x2 y23 1 (2)定值 3 解析 (1) 抛物线 C1： y2 8x 的焦点为 F2(2， 0)， 双曲线 C2的焦点为 F1( 2， 0)， F2(2， 0) 设 A(x0， y0)(x00， y00)为抛物线 C1和双曲线 C2在第一象限的交点 ，且 |AF2| 5， 由抛物线的定义得 x0 2 5， x0 3， |AF1| （ 3 2） 2（ 0 2 6） 2 7. 又 点 A 在双曲线上 ， 由双曲线的定义得 2a |AF1| |AF2| 7 5 2， a 1.b 22 1 3. 双曲线 C2的方程为 x2 y23 1.
8、(2)st为定值理由如下： =【 ;精品教育资源文库 】 = 设圆 M 的方程为 (x 2)2 y2 r2， 双曲线的渐近线方程为 y 3x. 圆 M 与渐近线 y 3x 相切 ， 圆的半径为 r 2 31（ 3） 2 3， 故圆 M： (x 2)2 y2 3. 依题意 l1， l2的斜率存在且均不为零 ， 设 l1的方程为 y 3 k(x 1)， 即 kx y 3 k 0， l2的方程为 y 3 1k(x 1)， 即 x ky 3k 1 0， 点 M 到直线 l1的距离 d1 |3k 3|1 k2 ， 点 N 到直线 l2的距离 d2 | 3k 1|1 k2 . 直线 l1被圆 M 截得的弦
9、长 s 2 3（ 3k 31 k2） 2 2 6 3k 6k21 k2 ， 直线 l2被圆 N 截得的弦长 t 2 1（ 3k 11 k2） 2 2 2 3k 2k21 k2 . st 6 3k 6k22 3k 2k2 3， 故st为定值 3. 7 (2018 辽宁盘锦一中月考 )如图 ， 已知点 A(1， 2)是离心率为 22 的椭圆 C： y2a2x2b2 1(ab0)上的一点 ， 斜率为 2的直线交椭圆 C 于 B， D 两点 ，且 A， B， D 三点互不重合 (1)求椭圆 C 的方程； (2)求证：直线 AB， AD 的斜率之和为定值 答案 (1)y24x22 1 (2)定值为 0
10、解析 (1)由题意 ， 可得 e ca 22 ， 将 A(1， 2)代入椭圆 C 的方程 ， 得 2a2 1b2 1， 又 a2b2 c2， 解得 a 2， b c 2， 所以椭圆 C 的方程为 y24x22 1. (2)设直线 BD 的方程为 y 2x m， A， B， D 三点不重合 ， m 0， 设 D(x1， y1)， B(x2，y2) 由 ?y 2x m，2x2 y2 4， 得 4x2 2 2mx m2 4 0， 由 8m2 640， 得 2 20)过焦点的弦两个端点 ， 分别过 A， B 作 C 的切线 l1，l2， 则 l1与 l2的交点在定直线 l 上 ， 那么 l 的方程为
11、_ 答案 x p2 3 已知椭圆 C： x26y23 1， 圆 E： x2 y2 2， l 是圆 E 的切线 ， l 与 C 交于 A， B 两点 ， 以AB 为直径的圆过定点 _ 答案 (0， 0) 解析 圆 E 的方程为 x2 y2 2， 设 O 为坐标原点 ， 当直线 l 的斜率不存在时 ， 不妨设直线 AB 的方程 为 x 2， 则 A( 2， 2)， B( 2， 2)， 所以 AOB 2 ， 所以以 AB 为直径的圆过坐标原点 当直线 l 的斜率存在时 ， 其方程设为 y kx m， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2) 因为直线与圆相切 ， 所以 d |m|1 k2 m21
12、 k2 2， 所以 m2 2 2k2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 联立方程组?y kx m，x26y23 1，得 x2 2(kx m)2 6， 即 (1 2k2)x2 4kmx 2m2 6 0， 16k2m2 4(1 2k2)(2m2 6) 8(6k2 m2 3) 8(4k2 1)0， 由根与系数的关系得?x1 x2 4km1 2k2，x1x2 2m2 61 2k2，所以 x1x2 y1y2 (1 k2)x1x2 km(x1 x2) m2 （ 1 k2）（ 2m2 6）1 2k2 4k2m21 2k2 m2 3m2 6k2 61 2k2 0， 所以 OA OB ， 所以以 AB 为直径
13、的圆恒过坐标原点 O. 4 已知 P 是椭圆 C： x24 y2 1 上一点 ， A 是 C 的右顶点 ， B 是 C 的上顶点 ， 直线 PA 与 y 轴交于点 M， 直线 PB 与 x 轴交于点 N， 则 |AN|BM| _ 答案 4 解析 由题意知 A(2， 0)， B(0， 1) 点 P 在曲线 (x2)2 (y1)2 1 上 ， 不妨设 P(2cos， sin )， 当 且 k 2 (k Z)时 ， 直线 AP 的方程为 y 0 sin2（ cos 1） (x 2)， 令 x 0， 得 yM sin1 cos ； 直线 BP 的方程为 y 1 sin 12cos (x 0)， 令 y
14、 0， 得 xN 2cos1 sin . |AN| |BM| 2|1 cos1 sin | |1 sin1 cos | 2|2（ 1 cos ）（ 1 sin ）（ 1 sin ）（ 1 cos ） | 22 4(定值 ) 当 k 或 k 2 (k Z)时 ， M， N 是定点 ， 易得 |AN|BM| 4， 综上 ， |AN| |BM| 4. 5 (2018 浙江温州中学月考 )已知双曲线 C 的中心在坐标原点 ， 焦点在 x 轴上 ， 离心率 e 52 ， 虚轴长为 2. (1)求双曲线 C 的标准方程； (2)若直线 l： y kx m 与双曲线 C 相交于 A， B 两点 (A， B
15、均异于左、右顶点 )， 且以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D， 求证：直线 l 过定点 ， 并求出该定点的坐标 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 (1)x24 y2 1 (2)定点为 ( 103 ， 0) 解析 (1)由题设双曲线的标准方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)， 由已知得 ca 52 ， 2b 2. 又 a2 b2 c2， 解得 a 2， b 1， 双曲线的标准方程为 x24 y2 1. (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 联立?y kx m，x24 y2 1， 得 (1 4k2)x2 8mkx 4(m2 1) 0. 故?1 4k2 0，
16、 64m2k2 16（ 1 4k2）（ m2 1） 0，x1 x2 8mk1 4k2，x1x2 4（ m2 1）1 4k2 .y1y2 (kx1 m)(kx2 m) k2x1x2 mk(x1 x2) m2 m2 4k21 4k2， 以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D( 2， 0)， kADkBD 1， 即 y1x1 2 y2x2 2 1. y1y2 x1x2 2(x1 x2) 4 0. m2 4k21 4k2 4（ m2 1）1 4k2 16mk1 4k2 4 0. 3m2 16mk 20k2 0.解得 m1 2k， m2 10k3 . 当 m1 2k 时 ， l 的方程为 y k(x 2)， 直线过定点 ( 2， 0)， 与已知矛盾； 当 m2 10k3 时 ， l 的方程为 y k(x 103)， 直线过定点 ( 103 ， 0)， 经检验符合已知条件 所以直
