1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 A组 基础题组 1.直线 y=x+4与圆 (x-a)2+(y-3)2=8相切 ,则 a的值为 ( ) A.3 B.2 C.3或 -5 D.-3或 5 2.若直线 x-y=2被圆 (x-a)2+y2=4所截得的弦长为 2 ,则实数 a的值为 ( ) A.-1或 B.1或 3 C.-2或 6 D.0或 4 3.过点 (3,1)作圆 (x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条 ,则该切线的方程为 ( ) A.2x+y-5=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0 4.直 线 l与圆 x2+y2+2x-4
2、y+a=0(a3)相交于 A,B两点 ,若弦 AB的中点为 (-2,3),则直线 l的方程为 ( ) A.x+y-3=0 B.x+y-1=0 C.x-y+5=0 D.x-y-5=0 5.(2017 湖南四地联考 )若圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线 2ax+by+6=0对称 ,过点 (a,b)作圆的切线 ,则切线长的最小值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 6.已知圆 C1:(x-a)2+(y+2)2=4 与圆 C2:(x+b)2+(y+2)2=1 外切 ,则 ab 的最大值为 . 7.已知直线 ax+y-1=0与圆 C:(x-1)2+(y+a)2=1 相交于 A、 B两
3、点 ,且 ABC 为等腰直角三角形 ,则实数 a的值为 . 8.在平面直角坐标系 xOy中 ,圆 C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线 x- y+ -2=0相切 . (1)求圆 C的方程 ; (2)若圆 C上有两点 M,N关于直线 x+2y=0对称 ,且 |MN|=2 ,求直线 MN的方程 . 9.(2018 云南昆明调研 )已知点 G(5,4),圆 C1:(x-1)2+(y-4)2=25,过点 G的动直线 l与圆 C1相交于 E,F两点 ,线段 EF的中点为 C. (1)求点 C的轨迹 C2的方程 ; (2)若过点 A(1,0)的直线 l1与 C2相交于 P,Q两点 ,线段 PQ的中点为
4、 M,又 l1与 l2:x+2y+2=0的交点为 N,求证 :|AM|AN| 为定值 . =【 ;精品教育资源文库 】 = B组 提升题组 1.已知直线 3x+4y-15=0与圆 O:x2+y2=25交于 A,B两点 ,点 C在圆 O上 ,且 SABC =8,则满足条件的点 C的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.过直线 kx+y+3=0上一点 P 作圆 C:x2+y2-2y=0的切线 ,切点为 Q.若 |PQ|= ,则实数 k的取值范围是 . 3.已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l与圆 C交于 A,B两点 ,线段 AB 的中点为 M,O
5、为坐标原点 . (1)求 M 的轨迹方程 ; (2)当 |OP|=|OM|时 ,求 l的方程及 POM 的面积 . 4.(2017 课标全国 理 ,20,12 分 )已知抛物线 C:y2=2x,过点 (2,0)的直线 l交 C于 A,B两点 ,圆 M是以线段 AB为直径的圆 . (1)证明 :坐标原点 O在圆 M上 ; (2)设圆 M过点 P(4,-2),求直线 l与圆 M的方程 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案精解精析 A组 基础题组 1.C 解法一 :联立 消去 y可得 ,2x2-(2a-2)x+a2-7=0,则由题意可得= -(2a-2)2-42(a 2-7)=0,整理可得 a
6、2+2a-15=0,解得 a=3或 -5. 解法二 :(x-a)2+(y-3)2=8的圆心为 (a,3),半径为 2 ,由直线 y=x+4与圆 (x-a)2+(y-3)2=8相切 ,知圆心到直线的距离等于半径 ,即 =2 ,即 |a+1|=4,解得 a=3 或 -5. 2.D 因为圆 (x-a)2+y2=4, 所以圆心为 (a,0),半径为 2, 圆心到直线的距离 d= , 因为 d2+ =r2, 解得 a=4或 0.故选 D. 3.B 过点 (3,1)作圆 (x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条 , 点 (3,1)在圆 (x-1)2+y2=r2上 , 圆心与切点连线的斜率 k= = ,
7、切线的斜率为 -2, 则圆的切线方程为 y-1=-2(x-3), 即 2x+y-7=0.故选 B. 4.C 由题意知直线 l的斜率存在 ,设直线 l的斜率为 k,又弦 AB 的中点为 (-2,3),所以直线 l的方程为y-3=k(x+2),即 kx-y+2k+3=0,由 x2+y2+2x-4y+a=0得圆的圆心坐标为 (-1,2),所以圆心到直线的距离为 ,所以 = ,解得 k=1,所以直线 l的方程为 x-y+5=0. 5.C 圆 C的标准方程为 (x+1)2+(y-2)2=2,所以圆心为 (-1,2),半径为 .因为圆 C关于直线 2ax+by+6=0对称 ,所以圆心 C在直线 2ax+b
8、y+6=0上 ,所以 -2a+2b+6=0,即 b=a-3, 点 (a,b)到圆心的距离=【 ;精品教育资源文库 】 = d= = = = .所以当 a=2时 ,d取最小值=3 ,此时切线长最小 ,为 = =4,所以选 C. 6. 答案 解析 由圆 C1与圆 C2外切 ,可得 =2+1=3, 即 (a+b)2=a2+2ab+b2=9, 根 据基本不等式可知 9=a2+2ab+b22ab+2ab=4ab, 即 ab ,当且仅当 a=b时 ,等号成立 . 7. 答案 1 解析 由题意得圆心 (1,-a)到直线 ax+y-1=0的距离为 ,所以 = ,解得 a=1. 8. 解析 (1)将圆 C:x2
9、+y2+4x-2y+m=0化为 (x+2)2+(y-1)2=5-m, 圆 C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线 x- y+ -2=0相切 , 圆心 (-2,1)到直线 x- y+ -2=0的距离 d= =2=r, 圆 C的方程为 (x+2)2+(y-1)2=4. (2)若圆 C上有两点 M,N关于直线 x+2y=0对称 ,则可设直线 MN的方程为 2x-y+c=0, |MN|=2 ,半径 r=2, 圆心 (-2,1)到直线 MN的距离为 =1, 即 =1,c=5 , 直线 MN的方程为 2x-y+5 =0. 9. 解析 (1)圆 C1的圆心为 C1(1,4),半径为 5. 设 C(x,y)
10、,则 =(x-1,y-4), =(5-x,4-y),由题设知 =0,所以 (x-1)(5-x)+(y-4)(4-y)=0,即(x-3)2+(y-4)2=4. (2)证明 :直线 l1与圆 C2相交于两点 ,斜率 必定存在 ,且不为 0,可设直线 l1的方程为 kx-y-k=0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 得 N , 又直线 C2M与 l1垂直 , 由 得 M . |AM|AN|=| |= =6, 即 |AM|AN| 为定值 6. B组 提升题组 1. C 圆心 O到已知直线的距离为 d= =3, 因此 |AB|=2 =8, 设点 C到直线 AB 的距离为 h,则 SABC = 8h
11、=8, 所以 h=2,由于 d+h=3+2=5=r(圆的半径 ), 因此与直线 AB距离为 2的两条直线中一条与圆相切 ,一条与圆相交 , 故符合条件的点 C有三个 . 2. 答案 (-, - ,+) 解析 圆 C:x2+y2-2y=0的圆心为 (0,1),半径为 r=1.根据题意 ,PQ是圆 C:x2+y2-2y=0的一条切线 ,Q是切点 ,|PQ|= ,则 |PC|=2.当 PC与直线 kx+y+3=0垂直时 ,圆心到直线的距离最大 .由点到直线的距离公式得2, 解得 k( -, - ,+). 3. 解析 (1)圆 C的方程可化为 x2+(y-4)2=16,所以圆心为 C(0,4),半径为
12、 4. 设 M(x,y),则 =(x,y-4), =(2-x,2-y). 由题设知 =0, 故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 (x-1)2+(y-3)2=2. 所以 M的轨迹方程是 (x-1)2+(y-3)2=2. (2)由 (1)可知 M的轨迹是以点 N(1,3)为圆心 , 为半径的圆 . 由于 |OP|=|OM|,故 O在线段 PM的垂直平分线上 ,又 P在圆 N上 ,从而 ONPM. 因为 ON 的斜率为 3,所以 l的斜率为 - ,故 l的方程为 y=- x+ . 又 |OM|=|OP|=2 ,O到 l的距离为 ,|PM|= ,所以 P
13、OM 的面积为 . 4. 解析 (1)证明 :设 A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2. 由 可得 y2-2my-4=0,则 y1y2=-4. 又 x1= ,x2= ,故 x1x2= =4. 因此 OA 的斜率与 OB的斜率之积为 = =-1,所以 OAOB. 故坐标原点 O在圆 M上 . (2)由 (1)可得 y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心 M 的坐标为 (m2+2,m), 圆 M 的半径 r= . 由于圆 M过点 P(4,-2),因此 =0,故 (x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0, 即 x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0. 由 (1)可得 y1y2=-4,x1x2=4.所以 2m2-m-1=0,解得 m=1或 m=- . 当 m=1时 ,直线 l的方程为 x-y-2=0,圆心 M的坐标为 (3,1),圆 M的半径为 ,圆 M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10. 当 m=- 时 ,直线 l的方程为 2x+y-4=0,圆心 M的坐标为 ,圆 M的半径为 ,圆 M的方程为+ = .
