1、 重庆育才中学重庆育才中学 2021-2022 学年（上）学期高学年（上）学期高 2024 届期中考试届期中考试 数学试卷数学试卷 本试卷为第本试卷为第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150分，考试时间分，考试时间120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回考试结束后，将答题卡交回.第第卷卷 选
2、择题（满分选择题（满分 60 分）分）一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合2430AxR xx=+，22,ByR yxxR=+，则AB=（）A.(1,3 B.1,3 C.(2,3 D.2,3 2.已知函数2()45f xxx=+，则函数()yf x=的单调递增区间为（）A.(,2 B.(,2 C.2,)+D.2,)+3.已知命题p：任意xR，有31xx+，则命题p的否定形式为（）A.存在0 xR，有0031xx+.
3、B.存在0 xR，有0031xx+.C.任意0 xR，有31xx+.D.存在0 xR，有0031xx+.4.设:3px，:45qx B.cab C.acb D.bca 7.若函数2()1f xxax=+的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为（）A.2 2（，）B.22+（，）（，）C.22+（，）D.2 2，8.设函数22(1)5,1(),1xaxxf xxa x+=+，若函数()yf x=在R上是减函数，则实数a的取值范围是（）A.(2,3)B.2,3 C.(1,3)D.1,3 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给
4、出的四个分在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的选项中，至少有两项是符合题目要求的 9.下列函数中，在定义域上是单调函数的是（）A.()21f xx=+B.1()f xxx=+C.()2xf x=D.4()f xx=10.对任意的正数,a b m，下列选项正确的是（）A.若ab，则ambm+B.若ab，则ambm C.若ab，则mmab D.若ab，则aambbm+11.已知幂函数232()(21)mmf xax+=，其中,a mR，则下列说法正确的是（）A.1a=B.()f x恒过定点(1,1)C.若3m=时，()yf x=关于y轴对称 D.若112m时，(2)(1)ff 12
5、.对于任意实数x，x均能写成的整数部分 x与小数部分 x的和，其中 x称为x的整数部分函数，x称为x的小数部分函数，即 xxx=+.比如1.71.7 1.710.7=+=+，其中1.71,1.70.7=；，1.72,1.70.3=，则下列的结论正确的是（）A.1233=B.0 1x是定义在1,1上的“ZX函数”，则实数m的取值范围为_ 四、解答题：共四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.计算下列各式的值：（1）120240220241225()(2021)()254+.（2）332log 9(log 2)(log 3)+.
6、18.已知函数22()1xaf xx+=+（其中aR）为定义在R上的奇函数.（1）求实数a的值；（2）设1(),()g xf x=试判断函数()yg x=在(0,1)的单调性，并用定义法证明你的结论？19.某公司生产某种电子仪器的固定成本为10000元，每生产一台仪器需增加投入100元，最大月产量是400台.已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：214002Rxx=.（1）将总利润y（单位：元）表示为月产量x（单位：台）的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+总利润）20.已知函数2()23=+f xxx.（1）设函数()()2
7、f xg x=，求函数()yg x=在0,3上的值域；（2）若方程(2)20 xxfk=在1,3上有解，求k的取值范围 21.已知函数1()1xxaf xa=+（其中0a 且1a），且1(1)3f=.（1）求函数()yf x=的解析式；（2）试判断()yf x=的奇偶性，并证明；（3）设1()()g xf x=，请直接写出()yg x=的单调区间（无需证明）.22.定义：如果函数()yf x=在定义域内给定区间,a b上存在()00 xaxb，满足：()()()0f bf af xba=，则称函数()yf x=是,a b上的“平均值函数”，0 x是它的平均值点.（1）函数22yx=是否是1,1
8、上的“平均值函数”，如果是请求出它的平均值点；如果不是，请说明理由；（2）现有函数211221xxym+=+是1,1上的平均值函数，求实数m的取值范围.重庆育才中学重庆育才中学 2021-2022 学年（上）学期高学年（上）学期高 2024 届期中考试届期中考试 数学试卷数学试卷 本试卷为第本试卷为第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150分，考试时间分，考试时间120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上
9、，写在本试卷及草稿纸上无效作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回考试结束后，将答题卡交回.第第卷卷 选择题（满分选择题（满分 60 分）分）一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合2430AxR xx=+，22,ByR yxxR=+，则AB=（）A.(1,3 B.1,3 C.(2,3 D.2,3【答案】D【解析】【分析】分别求出集合 A、B,求出AB.【详解】243013
10、1,3AxR xxxx=+=，)22,By y=+，所以AB=2,3.故选：D 2.已知函数2()45f xxx=+，则函数()yf x=的单调递增区间为（）A.(,2 B.(,2 C.2,)+D.2,)+【答案】A【解析】【分析】求出函数的对称轴，再根据开口方向，即可求解.【详解】解：()22()4529f xxxx=+=+，故函数的对称轴为：2x=，又函数开口向下，故函数的单调递增区间为：(,2，故选:A.3.已知命题p：任意xR，有31xx+，则命题p的否定形式为（）A.存在0 xR，有0031xx+.B.存在0 xR，有0031xx+.C.任意0 xR，有31xx+.D.存在0 xR，
11、有0031xx+.【答案】B【解析】【分析】利用全称量词命题的否定变换形式即可得出答案.【详解】命题p：任意xR，有31xx+，命题p的否定形式为存在0 xR，有0031xx+.故选：B 4.设:3px，:45qx，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解绝对值不等式求p对应 x的范围，根据充分、必要性的定义及p、q对应 x范围的包含关系即可知p、q的关系.【详解】由题设，:33px，:45qx B.cab C.acb D.bca【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的单调性比较可得选项.【详解】解：1.60.61
12、.61.6ca=，0.6000.60.61b=，所以acb 故选：C 7.若函数2()1f xxax=+的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为（）A.2 2（，）B.22+（，）（，）C.22+（，）D.2 2，【答案】D【解析】【详解】因为函数()21f xxax=+的定义域为实数集R，所以开口向上的二次函数的图象，与x 轴没有交点，即240,22aa=，即实数a的取值范围为2 2，故选 D.【方法点睛】本题考查函数的定义域、二次函数的图象与性质以及一元二次方程的根与系数的关系，属于简答题.对于定义域为R求参数的题型，主要有三种：（1）根式型，()2f xaxbxc=+，只需00a ；（2
13、）对数型，()()2logmf xaxbxc=+，只需00a ，（3）分式型，()21f xaxbxc=+，只需00a ，若函数()yf x=在R上是减函数，则实数a的取值范围是（）A.(2,3)B.2,3 C.(1,3)D.1,3【答案】B【解析】【分析】根据()yf x=在R上是减函数，于是可知对称轴1 1xa=，且(,1x 的函数最小值大于(1,)x+的函数的最大值，联立方程可求解.【详解】解：由题意得：函数()yf x=在R上是减函数 22(1)5()xxf xa=+在(-1a，上单调递减，则1 1a 当(,1x 时，min()(1)1 2(1)582f xfaa=+=当(1,)x+时
14、，max()(1)1f xfa=故8211 1aaa，解得23a，所以a的取值范围为2,3 故选：B 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的选项中，至少有两项是符合题目要求的 9.下列函数中，在定义域上是单调函数的是（）A.()21f xx=+B.1()f xxx=+C.()2xf x=D.4()f xx=【答案】AC【解析】【分析】分别求出各个选项的定义域，并判断函数在定义域内的单调性，即可得出答案.【详解】解：对于 A，函数()21f xx=+的定义域为
15、R，且在R上递减，故 A符合题意；对于 B，函数1()f xxx=+的定义域为()(),00,+，又()()155,12,2222fff=，所以函数在定义域内不是单调函数，故 B不符题意；对于 C，函数()2xf x=的定义域为 R，且在R上递增，故 C 符合题意；对于 D，函数4()f xx=的定义域为 R，又()()()11,00,11fff=，所以函数在定义域内不是单调函数，故 D不符题意.故选：AC.10.对任意的正数,a b m，下列选项正确的是（）A.若ab，则ambm+B.若ab，则ambm C.若ab，则mmab D.若ab，则aambbm+0，ab，所以()()0ambmab
16、+=，所以ambm+.故 A正确；对于 B：对任意的正数,a b m，因为ab，所以ambm.故 B正确；对于 C：对任意的正数,a b m，因为ab，所以mmab.故 C 错误；对于 D：()()()()()am ba bmm baamabmbb bmb bm+=+.因为 m0，ab+，所以0amabmb+，即aambbm+.故 D 正确.故选：ABD.11.已知幂函数232()(21)mmf xax+=，其中,a mR，则下列说法正确的是（）A.1a=B.()f x恒过定点(1,1)C.若3m=时，()yf x=关于y轴对称 D.若112m时，(2)(1)ff【答案】ABC【解析】【分析】
17、根据()f x为幂函数，可求得 a 值，即可判断 A的正误；根据幂函数性质，可判断B的正误；当3m=时，根据偶函数的定义及性质，可判断 C 的正误；根据 m的范围，可得232mm+范围，根据幂函数的性质，可判断 D的正误，即可得答案.【详解】因为232()(21)mmf xax+=为幂函数，所以211a=，解得1a=，故 A 正确；则232()mmf xx+=，故恒过定点(1,1)，故 B 正确；当3m=时，2()f xx=，22()()()fxxxf x=，所以()yf x=为偶函数，则()yf x=关于y轴对称，故 C正确；当112m，则()f x在(0,)+上为增函数，所以(2)(1)f
18、f，故 D错误.故选：ABC 12.对于任意实数x，x均能写成的整数部分 x与小数部分 x的和，其中 x称为x的整数部分函数，x称为x的小数部分函数，即 xxx=+.比如1.71.7 1.710.7=+=+，其中1.71,1.70.7=；，1.72,1.70.3=，则下列的结论正确的是（）A.1233=B.0 1x C.,1x yRxyxy+=+D.存在0 xR，使得001 1xx+=.【答案】ABD【解析】【分析】A.根据 x的含义判断；B.根据 x的含义判断；C.由11,22xy=判断；D.由01x=判断.【详解】A.因为 x称为x的小数部分，所以1121333=，故正确；B.因为 x称为
19、x的小数部分，所以0 1x是定义在1,1上的“ZX函数”，则实数m的取值范围为_【答案】22116(1,2eeee+【解析】【分析】根据题意，由“ZX函数“的定义分析，若函数()f x是“ZX函数”，只需方程()()=1xxemem在1,1内有解即()2=xxeemm+在1,1内有解令(),1,1xxg xeex=+，并求出其值域为12,ee+，则2mm+的值域为12,ee+的子集，解不等式即可得答案【详解】解：由题意得：题意可转化为方程()()=1xxemem在1,1内有解，即()2=xxeemm+在1,1内有解，令(),1,1xxg xeex=+，易知()g x在(0,1单调递增，又()(
20、)gxg x=，故(0)()(1)gg xg，即()12,xxeeee+，故2mm+的值域为12,ee+的子集，又22 2mm+,故只需21meme+即可，令21meme+=+，解得221162eeeem+=，故答案为：22116(1,2eeee+四、解答题：共四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.计算下列各式的值：（1）120240220241225()(2021)()254+.（2）332log 9(log 2)(log 3)+.【答案】（1）32 （2）3【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质运算即可得出答案；（
21、2）根据对数的运算性质运算即可得出答案.【小问 1 详解】解：1202402202412251223()(2021)()()12542552+=+=；【小问 2 详解】解：233233ln3ln2log 9(log 2)(log 3)log 32log 3 13ln2ln3+=+=+=.18.已知函数22()1xaf xx+=+（其中aR）为定义在R上的奇函数.（1）求实数a的值；（2）设1(),()g xf x=试判断函数()yg x=在(0,1)的单调性，并用定义法证明你的结论？【答案】（1）2 （2）()f x在(0,1)上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义，求得
22、a的值；（2）根据单调性定义判断并证明【小问 1 详解】()f x是R上的奇函数，()()fxf x=即222211xaxaxx+=+，22xaxa+=+恒成立，解得2a=.【小问 2 详解】由（1）知，2(),1xf xx=+1(),g xxx=+令1201xx()f x在(0,1)上单调递减.19.某公司生产某种电子仪器的固定成本为10000元，每生产一台仪器需增加投入100元，最大月产量是400台.已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：214002Rxx=.（1）将总利润y（单位：元）表示为月产量x（单位：台）的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润
23、为多少元？（总收入=总成本+总利润）【答案】（1）2130010000,0400,N2yxxxxxx=+（2）当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为35000元【解析】【分析】（1）由总收入R减去固定成本再减去增加投入100 x即可得y与x的关系式，注明定义域即可；（2）根据二次函数的性质即可求解.【小问 1 详解】根据题意可得：221110000 10040010000 1003001000022yRxxxxxx=+，所以总利润y（单位：元）表示为月产量x的函数为：2130010000,0400,N2yxxxxxx=+.【小问 2 详解】由（1）可知：221130010000(3
24、00)350003500022yxxx=+=+，所以当且仅当300 x=时，y取得最大值为35000.所以当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为35000元.20.已知函数2()23=+f xxx.（1）设函数()()2f xg x=，求函数()yg x=在0,3上的值域；（2）若方程(2)20 xxfk=在1,3上有解，求k的取值范围【答案】（1）4,64 （2）3 51,28【解析】【分析】（1）求出函数()f x在0,3上的值域，再根据指数函数的单调性即可求得函数()yg x=在0,3上的值域；（2）令22,8xm=，方程可转化为2230mmkm+=，即32kmm=+，求得函
25、数3()2F mmm=+的值域，即可得出答案.【小问 1 详解】解：（1）0,3,x2()(1)22,6f xx=+，令()2,6tf x=，()2,2,6tg xt=，又2t在2,6单调递增，26minmax()24,()264g xg x=，函数()yg x=在0,3上的值域为4,64；【小问 2 详解】令22,8xm=，方程可转化为2230mmkm+=，整理得32kmm=+，令3()2F mmm=+，取1228mm，则()()()()()122121212121212133311mmF mF mmmmmmmmmm mm m=+=+=，因为1228mm，则21110m m，所以()()21
26、F mF m 所以函数3()2F mmm=+在2,8单调递增，3 51(),28F m，k的取值范围为3 51,28.21.已知函数1()1xxaf xa=+（其中0a 且1a），且1(1)3f=.（1）求函数()yf x=的解析式；（2）试判断()yf x=的奇偶性，并证明；（3）设1()()g xf x=，请直接写出()yg x=的单调区间（无需证明）.【答案】（1）21(),21xxf xxR=+（2）是定义在R上的奇函数，证明见解析 （3）在(),0和()0,+上单调递减【解析】【分析】（1）根据1(1)3f=，求得参数a，即可得解；（2）根据奇偶函数的定义，判断()(),fxf x的
27、关系，即可得出结论；（3）根据()21212121xxxg x+=+，再结合指数函数的单调性即可得出答案.【小问 1 详解】解：1(1)3f=，11(1)13afa=+，解得：2a=，函数()yf x=的解析式为21(),21xxf xxR=+；【小问 2 详解】解：函数()yf x=的定义域为R，对于任意的xR，xR，且2112()()2112xxxxfxf x=+，函数()yf x=是定义在R上的奇函数；【小问 3 详解】解：()21212121xxxg x+=+，()0 x，函数()yg x=在(),0和()0,+上单调递减.22.定义：如果函数()yf x=在定义域内给定区间,a b上
28、存在()00 xaxb的性质求参数范围.【小问 1 详解】函数22yx=是1,1上的“平均值函数”，理由如下：()()()11220112ff=，设0 x是它的平均值点.，则有()20020,f xx=解得：00 x=.函数22yx=是1,1上的“平均值函数”，0是它的平均值点.【小问 2 详解】由题意得：()()()()()2 11 12 11 12212211131511224mmffm+=，设0 x是它的平均值点，()031524f xm=，即0021131522124xxmm+=，整理得：002212 2426190 xxmm+=.令()0121,4xt+=，则2246190tmtm+
29、=有解.法一：令()()224619,1,4g ttmtmt=+，()()22344 26191611602mmm=+当()0g t=在()1,4内有一个实根时，()()140gg，可得141721310mmm 或.法二：整理得23119224tmt=，当302t=，即32t=时，解得2908=（矛盾），故m.当302t，即32t 时，整理得：211912933324,1,4328124222tmtttt=+令()129333,1,42812422g tttt=+()129328124g ttt=+在331,422 ，上单调递增，()()()()(),41,g tgg+，即()1317,102g t+.1317,102m+.
