1、2021-2022学年四川省成都市天府新区高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1（5分）已知向量（2，1），（2，4），则|（）A2B3C4D52（5分）若等差数列an的前n项和为Sn，且a2+a38，则S4的值为（）A8B16C24D323（5分）已知实数a，b，c满足cba，ac0，那么下列选项中一定成立的是（）Aac（ac）0Bcb2ca2CabacDc（ba）04（5分）计算下列式子，结果为的是（）Asin35cos25+cos35sin25Btan25+tan35+tan25tan35CDcos4s
2、in45（5分）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）A6+B6+2C12+D12+26（5分）已知向量（1，2），（1，0），（3，4）若为实数，（+），则（）ABC1D27（5分）已知sin+sin（+）1，则sin（+）（）ABCD8（5分）已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5（）A35B33C31D299（5分）在ABC中，点D在线段BC上，AB2BD12，AD10，则AC（）ABCD10（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）AA1EDC1BA1EBC1CA1EBDDA
3、1EAC11（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高度是60m，则河流的宽度BC等于（）AmBmCmDm12（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D中，点E，F分别是棱C1D1，A1D1上的动点给出下面四个命题：若直线AF与直线CE共面，则直线AF与直线CE相交；若直线AF与直线CE相交，则交点一定在直线DD1上；若直线AF与直线CE相交，则直线DD1与平面ACE所成角的正切值最大为；直线AF与直线CE所成角的最大值是其中，所有正确命题的序号是（）ABCD二、填空题：每小题5分，共20分请把答案直接填在答题卡对应题中横线上13（5分）已知x0
4、，则的最小值为 14（5分）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm315（5分）在矩形ABCD中，已知AB2，AD1，若，2，则 16（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ABC的面积为，则的最大值为 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10分）解不等式：x18（12分）已知，为锐角，（1）求cos2的值；（2）求tan（）的值19（12分）已知平面四边形ABCD中，|2|2，|，向量，的夹角为（）求证：；（）点
5、E在线段BC上，求的最小值20（12分）如图，在三棱锥DABC中，ABC是边长为2的正三角形，ADC是以AC为底边的等腰直角三角形，E为AC的中点（）证明：平面BED平面ACD；（）若BD2，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求FA与平面ABC所成角的正弦值21（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A，cos2B，cos2C成等差数列（）证明：2b2a2+c2；（）若b4，cosB，求ABC的周长22（12分）设数列an的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且nSn+（n+2）an4n（nN*）（）求证：数列是等比数列；（）求数列an的通项公式及前n项和Sn；（）
6、证明：（S1S2S3Sn）Tn（nN*）参考答案一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1D； 2B； 3C； 4B； 5D； 6B； 7B； 8C； 9D； 10B； 11D； 12D；二、填空题：每小题5分，共20分请把答案直接填在答题卡对应题中横线上134； 1412； 15； 162；三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10分）解不等式：x【解答】解：x，x即，解得：x1或x1所以解集为：x|x1或x118（12分）已知，为锐角，（1）求cos2的值；（2）求tan（）的值【解答】解：（1
7、）由tan，得cos2（2）由，为锐角，得+（0，），2（0，），又cos（+），sin（+），由，得，则19（12分）已知平面四边形ABCD中，|2|2，|，向量，的夹角为（）求证：；（）点E在线段BC上，求的最小值【解答】解：（）证明：根据题意作出示意图，如图，平面四边形ABCD中，|2|2，|，向量，的夹角为ABD是等边三角形，|2，|1，|，|2，BDC是直角三角形，则，sin，（）由（）知：，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，则A（0，2），D（，1），设E（a，0），a0，则（a，2），（a，1），（a，2）（，1）（a）2+，当a时，的最小值20（12分）如图，在三棱锥D
8、ABC中，ABC是边长为2的正三角形，ADC是以AC为底边的等腰直角三角形，E为AC的中点（）证明：平面BED平面ACD；（）若BD2，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求FA与平面ABC所成角的正弦值【解答】解：（）证明：在三棱锥DABC中，ABC是边长为2的正三角形，ADC是以AC为底边的等腰直角三角形，E为AC的中点，ACDE，ACBE，DEBEE，AC平面BDE，AC平面ACD，平面BED平面ACD；（）依题意，ABACBCBD2，点F在BD上，ACB60，AECE1，BE，ADCD，ADCD，DE1，DE2+BE2BD2，DEBE，ACBEE，AC，BE平面ABC，DE平面ABC，
9、ADBCDB，FABFBC，BFBF，FBAFBC，ABCB，FBAFBC，AFCF，EFAC，当EF最短时，AFC的面积取最小值，过E作EFBD，垂足为F，在RtBED中，解得EF，DF，BF2DF，过F作FHBE，垂足为H，则FHDE，FH平面ABC，且，FH，AF，当AFC的面积最小时，FA与平面ABC所成角的正弦值为：sinFAH21（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A，cos2B，cos2C成等差数列（）证明：2b2a2+c2；（）若b4，cosB，求ABC的周长【解答】解：证明：（）由题意知：2cos2Bcos2A+cos2C，即2（2cos2B
10、1）2cos2A1+2cos2C1，将cos2A1sin2A，cos2B1sin2B，cos2C1sin2C代入上式得：2sin2Bsin2A+sin2C，结合正弦定理得：2b2a2+c2；（）因为b4，结合（1）的结论得：a2+c22b232，又，所以16a2+c22accosB，由得ac，所以（a+c）2a2+c2+2ac49，故a+c7，所以ABC的周长为a+b+c1122（12分）设数列an的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且nSn+（n+2）an4n（nN*）（）求证：数列是等比数列；（）求数列an的通项公式及前n项和Sn；（）证明：（S1S2S3Sn）Tn（nN*）【解答】证明：（）因为nSn+（n+2）an4n，即，当n2时，两式相减可得，整理可得，所以数列是等比数列；解：（）当n1时，S1+3a14，又a1S1，所以a11，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，则，所以；证明：（）（S1S2S3Sn）Tn（S1S2S3Sn）（a1a2a3an）a1S1a2S2a3S3anSn，由nSn+（n+2）an4n可得，当且仅当等号成立，整理可得，并不是所有的nN*等号都成立，所以，所以
