1、9.2点与直线、两条直线的 位置关系,-2-,知识梳理,双基自测,2,1,自测点评,1.两条直线的位置关系,A1B2-A2B1,A1A2+B1B2=0,-3-,知识梳理,双基自测,2,1,自测点评,k1=k2,b1b2,A1B2-A2B1,B1C2-B2C1,A1B2-A2B1,A2C1-A1C2,k1=k2,b1=b2,-4-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,1,2.点到直线的距离公式(1)平面上任意一点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.(2)两条平行线间的距离公式一般地,两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离d=.,2,-5-,
2、知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)如果直线l1与直线l2互相平行,那么这两条直线的斜率相等.()(2)如果直线l1与直线l2互相垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(5)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1l2,则A1A2+B1B2=0.(),答案,-6-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2.(2017福建莆田一模)设a为实数,直线l1:ax+y=1,l2:x
3、+ay=2a,则“a=-1”是“l1l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件,答案,解析,-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0,答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,4.已知点A(a,1),B(4,8)到直线l:x+y+1=0的距离相等,则a的值为.,答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,5.若直线(3a
4、+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a=.,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,自测点评,1.对于直线l1与直线l2相互平行(垂直)的条件一定要注意其适用范围.2.求解点到直线的距离和两平行线间的距离时,注意直线方程要用一般式.,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1已知直线l1:ax+2y+6=0和l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断l1与l2是否平行;(2)当l1l2时,求a的值.思考解含参数的直线方程有关问题时如何分类讨论?,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,解 (1)(方法一)当a=1时,直线l1的方程为x+
5、2y+6=0,直线l2的方程为x=0,l1不平行于l2;当a=0时,直线l1的方程为y=-3,直线l2的方程为x-y-1=0,l1不平行于l2;综上可知,当a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行.,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,综上可知,当a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行.(方法二)由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-12=0;由A1C2-A2C10,得a(a2-1)-160.故当a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行.,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)(方法一)当a=1时,直线l1的方程为x+2y+6=0,直线l2的方程为x=0,l1与l2
6、不垂直,故a=1不成立.当a=0时,直线l1的方程为y=-3,直线l2的方程为x-y-1=0,l1不垂直于l2.,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,还要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两条直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数之间的关系得出结论.,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)已知直线l的倾斜角为 ,直线l1经过点A(3,2),B(-a,1),且l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行
7、,则a+b=()A.-4B.-2C.0D.2(2)已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.l1l2,且l1过点(-3,-1);l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)B解析: 由题意知,直线l的斜率为1,则直线l1的斜率为-1,所以 =-1,所以a=-4.又l1l2,所以- =-1,b=2,所以a+b=-4+2=-2,故选B.(2)解: 由已知可得l2的斜率存在,故k2=1-a.若k2=0,则1-a=0,即a=1.l1l2,直线l1的斜率k1必不存在,即b=0.又l1过点(-3,-1
8、),-3a+4=0,即a= (矛盾),此种情况不存在,k20,即k1,k2都存在.又l1过点(-3,-1),-3a+b+4=0.(*)联立(*)(*),解得a=2,b=2.,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.思考求两条直线的交点坐标的一般思路是什么?,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,法二:直线l过直线l1和l2的交点,可设直线l的方程为x-2y+4+(x+y-2)=0,即(1+)x+(-2)y+4-2=0.l与l
9、3垂直,3(1+)+(-4)(-2)=0,=11,直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.求两条直线的交点坐标,一般思路就是解由这两条直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.2.常见的三大直线系方程:(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(mR,且mC).(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(mR).(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R)
10、,但不包括l2.,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2(1)若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=()(2)过两条直线2x-y-5=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为.,答案: ( 1)B(2)3x+y=0,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,答案: (1)C(2)4,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y
11、0-b|;(2)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数相等.,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3已知点P(2,-1).(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程.(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,解 (1)过点P的直线l与原点的距离为2,而点P的坐标为(2,-1),显然,过P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件,此时l的斜率不存在,其方程为x=2.若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-
12、y-2k-1=0.此时l的方程为3x-4y-10=0.综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,如图.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.所以直线2x-y-5=0是过点P且与原点O的距离最大的直线,最大距离为(3)由(2)可知,过点P不存在到原点的距离超过 的直线,因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向一点关于点的对称问题例4过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:
13、x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为.思考有关点关于点的对称问题该如何解?,答案,解析,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向二点关于直线的对称问题例5已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),则点A关于直线l的对称点A的坐标为.思考有关点关于直线的对称问题该如何解?,答案,解析,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向三直线关于直线的对称问题例6已知直线l:2x-3y+1=0,求直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m的方程.思考有关直线关于直线的对称问题该如何解?,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,解 在直线m上任取一点,如M(2
14、,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上.设对称点M(a,b),则又m经过点N(4,3),所以由两点式得直线m的方程为9x-46y+102=0.,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.点关于点的对称:求点P关于点M(a,b)的对称点Q的问题,主要依据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b.2.直线关于点的对称:求直线l关于点M(m,n)的对称直线l的问题,主要依据l上的任一点T(x,y)关于M(m,n)的对称点T(2m-x,2n-y)必在l上.3.点关于直线的对称:求已知点A(m,n)关于已知直线l:y=kx+b的对称点A(x0,y0)的坐标,一
15、般方法是依据l是线段AA的垂直平分线,列出关于x0,y0的方程组,由“垂直”得一方程,由“平分”得另一方程.4.直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4(1)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过ABC的重心,则AP等于.(2)光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.,-36-,考点1,考点2,
16、考点3,考点4,-37-,考点1,考点2,考点3,考点4,-38-,考点1,考点2,考点3,考点4,-39-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.对于两条直线的位置关系的判断或求解:(1)若直线斜率均存在且不重合,则一定有:l1l2?k1=k2.(2)若直线斜率均存在,则一定有:l1l2?k1k2=-1.2.中心对称问题(1)点关于点的对称一般用中点坐标公式解决.(2)直线关于点的对称,可以在已知直线上任取两点,利用中点坐标公式先求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再根据这两点确定直线的方程;也可以先求出一个对称点,再利用两对称直线平行关系,由点斜式得到所求直线的方程.,-40-,考点1,考点2,考点3,考点4,3.轴对称问题(1)点关于直线的对称(2)直线关于直线的对称,若两直线平行,则可用距离公式解决;若两直线不平行,则转化为点关于直线的对称问题解决.,-41-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.运用两平行直线间的距离公式时,一定要统一两个方程中x,y的系数,还要清楚该公式其实是通过点到直线的距离公式推导而来的.2.讨论直线的位置关系涉及含参数直线方程时,一定不要遗漏斜率不存在、斜率为0等特殊情形.3.“l1l2?A1A2+B1B2=0”适用于任意两条互相垂
