1、第九节函数模型及其应用,总纲目录,教材研读,1.几种常见的函数模型,考点突破,2.三种增长型函数模型的图象与性质,3.解函数应用题的步骤（四步八字）,考点二指数函数、对数函数模型,考点一二次函数模型,考点三函数y=ax+?的模型充要条件的应用,考点四分段函数,1.几种常见的函数模型,教材研读,常见抽象函数的性质与对应的特殊函数模型的对照表,2.三种增长型函数模型的图象与性质,3.解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模
2、型,得出数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:,1.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据:,与这组数据最吻合的函数模型是?()A.一次函数模型B.幂函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型,答案A根据已知数据可知,自变量每增加1,函数值增加2,因此函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型.,A,2.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是?(),C,答案C小明匀速行驶时,图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.
3、后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C.,3.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过?()A.12小时B.4小时C.3小时D.2小时,答案C设需经过t小时,由题意知24t=4 096,即16t=4 096,解得t=3.,C,4.某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元.销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为万元.,1 024,答案1 024,解析依题意得?即?解得?所以y=2log4x-2.当y=8时,
4、2log4x-2=8,解得x=1 024(万元).,5.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.3元,普通车存车费是每辆一次0.2元.若普通车存车量为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式为 .,y=-0.1x+1 200,x0,4 000,答案y=-0.1x+1 200,x0,4 000,解析由题意知,y=0.2x+0.3(4 000-x)=-0.1x+1 200,其中x0,4 000.,6.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为.,3,答案3,典例1某自来水厂的蓄水池存有400
5、吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120?吨(0t24).(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,则在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?,考点一二次函数模型,考点突破,解析(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨,则y=400+60t-120?,令?=x,则x2=6t,即y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,所以当x=6,即t=6时,ymin=40,即从供水开始到第6小时时,蓄水池中的存水量最少,只有40吨.,(2)由(1)及题
6、意有400+10x2-120x80,得x2-12x+320,解得4x8,即4?8,?t200,则lg130(1+12%)n-1lg 200,lg 130+(n-1)lg 1.12lg 2+2,2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12lg 2+2,0.11+(n-1)0.050.30,解得n?,又nN*,n5,该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.故选B.,规律总结一般地,涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等,都可以考虑用指数函数的模型求解.求解时注意指数式与对数式的互化,指数函数的值域的影响以及实际问题中的条件限制.,2-1一种放射性元素的质量按每年10%衰减
7、,这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期)是(精确到0.1,已知lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)?()A.5.2B.6.6C.7.1D.8.3,答案B设这种放射性元素的半衰期是x年,则(1-10%)x=?,化简得0.9x=?,即x=log0.9?=?=?=?6.6(年).故选B.,B,考点三 函数y=ax+?的模型,典例3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系C(
8、x)=?(0x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.,解析(1)由已知条件得C(0)=8,则k=40,因此f(x)=6x+20C(x)=6x+?(0x10).(2)f(x)=6x+10+?-102?-10=70,当且仅当6x+10=?,即x=5时,等号成立.所以当隔热层厚度为5 cm时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元.,规律总结应用函数y=ax+?模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=?叠
9、加而成的.(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+?的模型,有时可以将所列函数关系式转化为f(x)=ax+?的形式.(3)利用模型f(x)=ax+?求解最值时,要注意自变量的取值范围,及取得最值时等号成立的条件.,3-1某养殖场需定期购买饲料,已知该场每天需要饲料200千克,每千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元,购买饲料每次支付运费300元.求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.,典例4国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少
10、10元,直到达到规定的75人为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数关系式;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?,考点四分段函数,解析(1)设旅行团人数为x,由题得0x75(xN*),飞机票的价格为y元,则y=?(xN*),即y=?(xN*).(2)设旅行社获利S元,则S=?(xN*),即S=?(xN*).,因为S=900x-15 000在区间(0,30上为单调增函数,故当x=30时,S取最大值12 000,又S=-10(x-60)2+21 000的定义域为(30,75,当x=60时,S取得最大值21 000.故当x=60时,旅
11、行社可获得最大利润.,4-1(2018山东济南质检)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成交通堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当20x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0x200时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=xv(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时),解
12、析(1)由题意可知当0x20时,v(x)=60;当20x200时,设v(x)=ax+b(a0),显然v(x)=ax+b在20,200上是减函数,由已知得?解得?故函数v(x)的表达式为v(x)=?(2)依题意及(1)可得,f(x)=?当0x20时, f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为6020=1 200;当20x200时, f(x)=?x(200-x)?=?,当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立,所以,当x=100时, f(x)在区间20,200上取得最大值?.综上,当x=100时, f(x)在区间0,200上取得最大值?3 333(辆/小时),即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3 333辆/小时.,
