1、6.2.3- 6.2.4 组合与组合数 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第三册，第六章计数原理，本节课主本节课主要学习组合与组合数.排列与组合是在学习了两个计数原理之后，由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两个计数原理为基础，同时排列和组合又能进一步简化和优化计数问题。教学的重点是组合的理解，利用计数原理及排列数公式推导组合数公式，注意区分排列与组合的区别，难点是运用组合解决实际问题。课程目标学科素养A. 理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.B.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之中.C.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问
2、题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力.1.数学抽象：组合的概念 2.逻辑推理：组合数公式的推导 3.数学运算：组合数的计算及性质4.数学建模：运用组合解决计数问题重点：组合、组合数的概念并运用排列组合公式解决问题 难点：组合与排列之间的联系与区别 多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 问题探究问题1. 从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别？分析：在6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午” 2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、乙两名同学，然后再分配上午和下午而得到
3、的.同样，先选出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2种方法.从而甲、乙、丙3名同选2名去参加一项活动，就只需考虑选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序。于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：甲乙、甲丙、乙丙.从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组？一、组合的相关概念1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.名师点析排列与组合的区别与联系(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(
4、mn)个元素.(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.1.校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？（2）从中选2辆给3位同学有多少种不同的方法？（1）与顺序无关，是组合问题；（2）选出2辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。例5.平面内有A，B，C，D共4个点.（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑他们的顺序是排列问题；（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序
5、是组合问题.解：（1）一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为A42=43=12.这12条有向线段分别为AB,BA, AC,CA, AD,DA, BC,CB, BD, DB,CD, DC.（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是中平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：AB,AC,AD,BC,BD,CD.问题2：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同” 为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？
6、进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？二、组合数与组合数公式1.组合数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号Cnm 表示.例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为C32，从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为C42.思路：从4个不同元素中取出3个元素的组合数C43，设这4个元素为a,b,c,d，那么从中取出3个元素的排列数A43 =24，以“元素相同”为标准将这24个排列分组如图，一共有4组，因此组合数C43 =4.问题3：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列
7、数Anm来求组合数Cnm呢？也可以这样理解，求“从4个元素中取出3个元素的排列数A43” 第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有C43种不同的取法；第2步，将取出的3个元素做全排列，共有A33种不同的取法.于是，根据分布乘法计数原理有A43=C43A33即C43=A43A33=4.同样的从n个不同对象中取出m个做排列，可以分成两个步骤完成，第一步从n个不同对象中取出 m个，有Cnm种选法；第二步将选出的m个对象做全排列，有Amm种排法.由分步乘法计数原理有Anm=Cnm Amm，所以Cnm =AnmAmm=nn-1n-(m-1)mm-121=n!n-m!m!上述公式称为组合数公式.2.
8、组合数公式:Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!,这里n,mN*,并且mn.另外,我们规定Cn0=1.二、典例解析例6.计算：（1）C103；（2）C107；（3）C1010；（4）C100.解:根据组合数公式，可得（1） C103= A103A33=1098321 =120;（2） C107 =10!7!10-7!=109877!3!=120；(3)C1010=A1010A1010=10!10!=1;(4)C100=1; 观察例6的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现？（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什
9、么想法？1.公式Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)m!(m,nN*,且mn),一般用于求值计算.2.公式Cnm=n!m!(n-m)!(m,nN*,且mn),一般用于化简证明.在具体选择公式时,要根据题目特点正确选择.3.根据题目特点合理选用组合数的两个性质Cnm=Cnn-m,Cn+1m=Cnm+Cnm-1,能起到简化运算的作用,需熟练掌握.跟踪训练1. (1)计算:3C83-2C52+C88;C10098+C200199.(2)求证:Cnm+1+Cnm-1+2Cnm=Cn+2m+1.分析:(1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,再利用组合数公式展开计算.(2)式子中
10、涉及字母,可以用阶乘式证明.(1)解:3C83-2C52+C88=3876321-25421+1=149.C10098+C200199=C1002+C2001=1009921+200=5 150.(2)证明左边=n!(m+1)!(n-m-1)!+n!(m-1)!(n-m+1)!+2n!m!(n-m)!=n!(m+1)!(n-m+1)!(n-m)(n-m+1)+m(m+1)+2(m+1)(n-m+1)=n!(m+1)!(n-m+1)!(n+2)(n+1)=(n+2)!(m+1)!(n-m+1)!=Cn+2m+1=右边.例7. 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出
11、3件.（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 分析:（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数；（2）分两步，第一步从2件次品中抽出1件次品，第二步从98件合格品中抽出2件合格品，由乘法原理可得；（3）可从反面考虑，其反面是抽出的3件全是合格品，求出方法数后，由第（1）题的结论减去这个结果即可得解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，共有(种)；（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次
12、品的抽法有(种).（3）抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即(种).组合问题的基本解法(1)判断是否为组合问题;(2)是否分类或分步;(3)根据组合的相关知识进行求解.跟踪训练2.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?(1)任意选5人;(2)甲、乙、丙三人必须参加;(3)甲、乙、丙三人不能参加;(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加;(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.分析:本题属于组合问题中的最基本的问题,可根据题意分别对不同问题中的“含”与“
13、不含”作出正确的判断和分析.注意“至少”“至多”问题,运用间接法求解会简化思维过程.解:(1)C125=792(种)不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有C92=36(种)不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有C95=126(种)不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选1人,有C31=3(种)选法,再从另外的9人中选4人有C94种选法.共有C31C94=378(种)不同的选法.(5)(方法一直接法)可分为三类:第1类,甲、乙、丙中有1人参加,有C31C94种选法;第2类,甲、乙、丙中有2人参加
14、,有C32C93种选法;第3类,甲、乙、丙3人均参加,有C33C92种选法.所以,共有C31C94+C32C93+C33C92=666(种)不同的选法.(方法二间接法)12人中任意选5人共有C125种,甲、乙、丙三人不能参加的有C95种,所以,共有C125-C95=666(种)不同的选法.变式： 若本例题条件不变,甲、乙、丙三人至多2人参加,有多少种不同的选法?解:(方法一直接法)甲、乙、丙三人至多2人参加,可分为三类:第1类,甲、乙、丙都不参加,有C95种选法;第2类,甲、乙、丙中有1人参加,有C31C94种选法;第3类,甲、乙、丙中有2人参加,有C32C93种选法.共有C95+C31C94
15、+C32C93=756(种)不同的选法.(方法二间接法)12人中任意选5人共有C125种,甲、乙、丙三人全参加的有C92种选法,所以共有C125-C92=756(种)不同的选法.通过具体问题，分析、比较、归纳出组合的概念。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。 在典例分析和练习中让学生熟悉组合和组合数的概念，进而灵活运用排列数解决问题。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 三、达标检测1.从10个不同的数中任取2个数,求其和、差、积、商这四个问题中,属于组合的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析:因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响,
16、所以属于组合的有2个.答案:B2.若An2=3Cn-12,则n的值为()A.4 B.5 C.6 D.7 解析:因为An2=3Cn-12,所以n(n-1)=3(n-1)(n-2)2,解得n=6.故选C.答案:C 3.若集合A=a1,a2,a3,a4,a5,则集合A的子集中含有4个元素的子集共有个.解析:满足要求的子集中含有4个元素,由集合中元素的无序性,知其子集个数为C54=5.答案:54.平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线,以这些点为顶点,可得多少个不同的三角形?解:(方法一)我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准:第1类,共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点,
17、共有C42C81=48(个)不同的三角形;第2类,共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点,共有C41C82=112(个)不同的三角形;第3类,共线的4个点中没有点作为三角形的顶点,共有C83=56(个)不同的三角形.由分类加法计数原理,不同的三角形共有48+112+56=216(个).(方法二间接法)C123-C43=220-4=216(个).通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。在本节课的教学中，学生可能遇到的问题（或困难、障碍）是学生对组合概念的理解，并能区分出组合与排列。要解决这一问题，就要要通过典型的、学生比较熟悉的实例，经过概括得出组合的定义，然后借助计数原理好排列数，推导出组合数公式，其中关键是在具体情境中运用组合解决计数问题。
