1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第五节 指数与指数函数 考纲传真 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 .2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为 2,3,10， 12， 13的指数函数的图像 .3.体会指数函数是一类重要的函数模型 (对应学生用书第 16 页 ) 基础知识填充 1分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 a n am(a 0， m， n N ，且 n 1)；正数的负分数指 数幂的意义是 a 1n am(a 0， m， n N ，且 n 1)； 0 的正分数指数幂等于 0； 0 的
2、负分数指数幂 没有意义 (2)幂的运算性质： aman am n， (am)n amn， (ab)n anbn，其中 a 0， b 0， m， n R. 2指数函数的图像与性质 a 1 0 a 1 图像 性质 (1)定义域： R (2)值域： (0， ) (3)过点 (0,1)，即 x 0 时， y 1 (4)当 x 0 时， y 1， x 0 时， 0 y 1 (5)当 x 0 时， 0 y 1 x 0 时， y 1 (6)是 R 上的 增函数 (7)是 R 上的 减函数 知识拓展 指数函数的图像与底数大小的比较 如图是指数函数 (1)y ax， (2)y bx， (3)y cx， (4)y
3、 dx的图像，底数 a， b， c， d 与 1之间的大小关系为 c d 1 a B 由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ax(a 0，且 a1) 的图像越高，底数越大 =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 251 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)4 4 4.( ) (2)( 1) ( 1) 1.( ) (3)函数 y 2x 1是指数函数 ( ) (4)函数 y ax2 1(a 1)的值域是 (0， ) ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2化简 ( 2)6 ( 1)0的结果为 ( ) A 9 B 7 C
4、10 D 9 B 原式 (26) 1 8 1 7. 3 (教材改编 )若函数 f(x) ax(a 0，且 a1) 的图像经过点 P? ?2， 12 ，则 f( 1)等于 ( ) A 22 B 2 C 14 D 4 B 由题意知 12 a2，所以 a 22 ， 所以 f(x) ? ?22 x，所以 f( 1) ? ?22 1 2. 4函数 y ax a(a 0，且 a1) 的图像可能是 ( ) A B C D C 法一：令 y ax a 0，得 x 1，即函数图像必过定点 (1,0)，符合条件的只有选项C 法二：当 a 1 时， y ax a 是由 y ax向下平移 a 个单位，且过 (1,0)
5、， A， B， D 都不合=【 ;精品教育资源文库 】 = 适； 当 0 a 1 时， y ax a 是由 y ax向下平移 a 个单位，因为 0 a 1，故排除选项 D 5指数函数 y (2 a)x在定义域内是减函数，则 a 的取值范围是 _ (1,2) 由题意知 0 2 a 1，解得 1 a 2. (对应学生用书第 17 页 ) 指数幂的运算 化简求值： (1)? ?235 0 2 2 ? ?214 (0.01)0.5； 解 (1)原式 1 14 ? ?49 ? ?1100 1 14 23 110 1 16 110 1615. (2)原式 1a. 规律方法 1.指数幂的运算，首先将根式、分
6、数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意： (1)必须同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序 2当底数是负数时，先确定符号，再把底 数化为正数 3运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 变式训练 1 化简求值： (1)(0.027) ? ?17 2 ? ?279 ( 2 1)0； (2)56a b 2( 3a b 1)(4 a b 3) . 解 (1)原式 ? ?271 000 72 ? ?259 1 103 49 53 1 45. (2)原式 52a b 3(4 a b 3) 54a b 3( a b ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 54
7、a b 54 1ab3 5 ab4ab2 . 指数函数的图像及应用 (1)(2018 南阳模拟 )函数 y e |x 1|图像的大致形状是 ( ) (2)若曲线 y |2x 1|与直线 y b 有两个公共点，求 b 的取值范围 . 【导学号： 00090029】 (1)B y e |x 1| ? ?1e |x 1|，因此原函数的图像是函数 y ? ?1e |x|的图像向右平移一个单位得到的，故选 B (2)曲线 y |2x 1|与直线 y b 的图像如图所示，由图像可得，如果曲线 y |2x 1|与直线 y b 有两个公共点， 则 b 的取值范围是 (0,1) 规律方法 指数函数图像的画法 (
8、判断 )及应用 (1)画 (判断 )指数函数 y ax(a 0， a1) 的图像，应抓住三个关键点： (1， a)， (0,1)，? 1， 1a . (2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像 (3)一些指数 方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解 . 变式训练 2 (1)函数 f(x) ax b的图像如图 252，其中 a， b 为常数，则下列结论正确的是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 252 A a 1， b 0 B a 1， b 0 C 0 a 1， b 0 D 0 a 1， b 0 (2)方
9、程 2x 2 x 的解的个数是 _ (1)D (2)1 (1)由 f(x) ax b的图像可以观察出，函数 f(x) ax b在定义域上单调递减，所以 0 a 1，函数 f(x) ax b的图像 是在 y ax的基础上向左平移得到的，所以 b 0. (2)方程的解可看作函数 y 2x和 y 2 x 的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像 (如图 ) 由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解 指数函数的性质及应用 角度 1 比较大小或解不等式 (1)(2018 阜阳模拟 )已知 a 243， b 425， c 2513，则 ( ) A b a c B a b c C b c a D c a
10、 b (2)(2018 兰州模拟 )不等式 2x2 x 4 的解集为 _ (1)A (2)x| 1 x 2 (1)因为 a 243 1613， b 425 1615， c 2513，且幂函数 y x13在 R 上是增加的，指数函数 y 16x在 R 上是增加的，所以 b a C (2)由 2x2 x 4 得 2x2 x 22. 所以 x2 x 2，解得 1 x 2. 角度 2 复合函数的单调性、值域或最值 已知函数 f(x) ? ?13 ax2 4x 3. (1)若 a 1，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值； =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)若 f
11、(x)的值域是 (0， ) ，求 a 的值 【导学号： 00090030】 解 (1)当 a 1 时， f(x) ? ?13 x2 4x 3， 令 g(x) x2 4x 3 (x 2)2 7， 则 g(x)在区间 ( ， 2)上是增加的， 在区间 2， ) 上单调递减，又函数 y ? ?13 x在 R 上是减少的， 因此 f(x)的单调递增区间是 2， ) ，单调递减区间是 ( ， 2) (2)由 f(x)有最大值 3 知， ax2 4x 3 有最小值 1，则有? a 0，12a 164a 1，解得 a1. (3)由 f(x)的值域是 (0， ) 知， ax2 4x 3 的值域为 R，则必有 a 0. 规律方法 1.比较指数式的大小的方法是： (1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； (2)不能化成同底数的，一般引入 “1” 等中间量比较大小 2解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解 3探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性 (区间 )、奇偶性、最值 (值域 )等性质的方法一致 易错警示： 在研究指数型函数的单调性时，当底数 a 与 “1” 的大小关系不确定时，要分类讨论
