1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第五节 两角和与差及二倍角的三角函数 考纲传真 (教师用书独具 )1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 .2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 .3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 .4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换 (包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆 ) (对应学生用书第 57 页 ) 基础知识填充 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin( ) sin cos cos sin ； (2)cos( ) cos cos ?sin s
2、in ； (3)tan( ) tan tan 1?tan tan . 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2 2sin cos ； (2)cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 ； (3)tan 2 2tan 1 tan2 . 3 有关公式的变形、逆用 (1)tan tan tan( )(1?tan tan )； (2)cos2 1 cos 22 ， sin2 1 cos 22 ， sin cos sin 22 ； (3)1 sin 2 (sin cos )2,1 sin 2 (sin cos )2， sin cos 2sin? ? 4 . 知识拓展 1 辅助
3、角公式 asin bcos a2 b2sin( )? ?其中 tan ba . 2 sin 15 6 24 ， cos 15 6 24 ， tan 15 2 3. 3 tan 2 sin 1 cos 1 cos sin . 4 sin 2 2tan 1 tan2 ， cos 2 1 tan21 tan2 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)存在实数 ， ，使等式 sin( ) sin sin 成立 ( ) (2)在锐角 ABC 中， sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定 (
4、) (3)公式 tan( ) tan tan 1 tan tan 可以变形为 tan tan tan( )(1 tan tan )，且对任意角 ， 都成立 ( ) (4)y 3sin x 4cos x 的最大值是 7.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )sin 20cos 10 cos 160sin 10 ( ) A 32 B 32 C 12 D 12 D sin 20cos 10 cos 160sin 10 sin 20cos 10 cos 20sin 10 sin(20 10) sin 30 12，故选 D 3 (2017 全国卷 ) 已知 sin cos 43
5、，则 sin 2 ( ) A 79 B 29 C 29 D 79 A sin cos 43， (sin cos )2 1 2sin cos 1 sin 2 169 ， sin 2 79.故选 A 4函数 f(x) 3sin x cos x 的最小值为 _ 2 函数 f(x) 2sin? ?x 6 的最小值是 2. 5若锐角 ， 满足 tan tan 3 3tan tan ，则 _. 3 由已知可得tan tan 1 tan tan 3，即 tan( ) 3.又 (0 ， ) ，所以 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = (对应学生用书第 58 页 ) 三角公式的基本应用 (1)(2017 山
6、西长治二中等五校第四次联考 )若 cos 23， 为第四象限角，则cos? ? 4 的值为 ( ) A 2 106 B 2 2 106 C 2 106 D 2 2 106 (2)(2018 南宁、钦州第二次适应性考试 )若锐角 ， 满足 sin 45， tan( ) 23，则 tan _. (1)B (2)617 (1)因为 cos 23， 为第四象限角，则 sin 53 ，故 cos? ? 4 22 cos 22 sin 22 ? ?23 53 2 2 106 ，故选 B (2)因为锐角 满足 sin 45，所以 cos 1 sin2 35，则 tan sin cos 43， tan tan
7、 ( ) tan tan( )1 tan tan( )43231 89 617. 规律方法 三角函数公式的应用策略 使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征 . 使用公式求值，应先求出相关角的三角函数值，再代入公式求值 . 跟踪训练 已知 ? ? 2 ， ， sin 55 ，则 cos? ?56 2 的值为 _. 【导学号： 79140121】 4 3 310 因为 ? ? 2 ， ， sin 55 ， 所以 cos 1 sin2 2 55 . =【 ;精品教育资源文库 】 = sin 2 2sin cos 2 55 ? ? 2 55 45， cos 2 1 2sin2 1 2
8、? ?552 35， 所以 cos? ?56 2 cos56 cos 2 sin56 sin 2 ? ? 32 35 12 ? ? 45 4 3 310 . 三角公式的逆用与变形应用 (1)计算 sin 110sin 20cos2155 sin2155 的值为 ( ) A 12 B 12 C 32 D 32 (2)(2017 河北名师俱乐部模拟 )已知 ? ?0， 4 ，且 sin cos 144 ，则 2cos2 1cos? ? 4 ( ) A 23 B 43 C 34 D 32 (1)B (2)D (1) sin 110sin 20cos2155 sin2155 sin 70sin 20c
9、os 310 cos 20sin 20cos 50 12sin 40sin 40 12. (2)由 sin cos 144 ， 得 sin? ? 4 74 ， ? ?0， 4 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 0 4 4 ， cos ? ? 4 34. 2cos2 1cos? ? 4 cos 2sin? ? 4 sin? ? 2 2sin? ? 4 sin? ?2? ? 4 sin? ? 4 2cos? ? 4 32. 规律方法 1.三角函数公式的活用方法 逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式 . tan ， tan tan 或 tan tan ， 或 三者中可以知二求
10、一，注意公式的正用、逆用和变形使用 . 2.三角函数公式逆用和变形应用应注意的问题 公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系 . 注意特殊角的 应用，当式子中出现 12， 1， 32 ， 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把 “ 值变角 ” 构造适合公式的形式 . 跟踪训练 (1)cos 15 sin 15cos 15 sin 15 _. (2)已知 cos? ? 6 sin 4 35 ，则 sin? ? 76 的值是 _ (1) 33 (2) 45 法一：原式 1 tan 151 tan 15 tan 45 tan 151 tan 45tan 15 tan 30 33 . 法二：
11、原式 2(sin 45cos 15 cos 45sin 15 )2(sin 45cos 15 cos 45sin 15 ) sin 30sin 60 1232 33 . 法三： ? ?cos 15 sin 15cos 15 sin 15 2 1 sin 301 sin 30 13. 又 cos 15 sin 15cos 15 sin 15 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = cos 15 sin 15cos 15 sin 15 33 . (2)由 cos? ? 6 sin 4 35 ，可得 32 cos 12sin sin 4 35 ，即 32sin 32 cos 4 35 ，所以 3si
12、n? ? 6 4 35 ， sin? ? 6 45， 所以 sin? ? 76 sin? ? 6 45. 角的变换 (1)(2017 深圳一模 )若 ， 都是锐角，且 cos 55 ， sin( ) 1010 ，则 cos ( ) A 22 B 210 C 22 或 210 D 22 或 210 (2)(2018 海口调研 )若 cos? ? 8 15，则 cos? ?34 2 的值为 ( ) A 2325 B 2325 C 78 D 78 (1)A (2)A (1)因为 ， 都是锐角，且 cos 55 ， sin( ) 1010 ，所以sin 2 55 ， cos( ) 3 1010 ，从而
13、 cos cos ( ) cos cos( ) sin sin( ) 22 ，故选 A (2) 因为 cos ? ? 8 15 ，则 cos ? ?34 2 cos ? ? ? ? 4 2 cos? ? 4 2 1 2cos2? ? 8 2325，故选 A 规律方法 利用角的变换求三角函数值的策略 当 “ 已知角 ” 有两个时：一般把 “ 所求角 ” 表示为两个 “ 已知角 ” 的和或差的形式 . 当 “ 已知角 ” 有一个时：此时应着眼于 “ 所求角 ” 与 “ 已知角 ” 的和或差 的关系，然后应用诱导公式把 “ 所求角 ” 变成 “ 已知角 ”. =【 ;精品教育资源文库 】 = 跟踪训练 (1)已知 tan( ) 1， tan? ? 3 13，则 tan? ? 3 的值为 ( ) 【导学号： 79140122】 A 23 B 12 C 34 D 45 (2)(2017 山西太原五中 4 月模拟 )已知角 为锐角，若 sin? ? 6 13，则cos? ? 3 ( ) A 2 6
