1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第八节 函数与方程 考纲传真 (教师用书独具 )结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数 (对应学生用书第 27 页 ) 基础知识填充 1函数的零点 (1)定义：函数 y f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点 (2)函数零点与方程根的关系：方程 f(x) 0 有实根 ?函数 y f(x)的图像与 x 轴 有交点 ?函数 y f(x)有 零点 (3)零点存在性定理 若函数 y f(x)在闭区间 a， b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即 f(a) f(b) 0，则在区间 (a， b
2、)内，函数 y f(x)至少有一个零点，即相应方程 f(x) 0 在区间 (a， b)内至少有一个实数解 (4)二分法：对于在区间 a， b上连续不断且 f(a) f(b) 0 的函数 y f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使区间的两个端点逐步逼近 零点 ，进而得到零点所似值的方法叫作二分法 2二次函数 y ax2 bx c(a 0)的图像与零点的关系 b2 4ac 0 0 0 二次函数 y ax2bx c (a 0)的图像 与 x 轴的交点 (x1,0)， (x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 知识拓展 有关函数零点的结论 (1)若连续不断
3、的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点 (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 (3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)函数的零点就是函数的图像与 x 轴的交点 ( ) (2)函数 y f(x)在区间 (a， b)内有零点 (函数图像连续不断 )，则 f(a) f(b)0.( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)若函数 f(x)在 (a， b)上单调且 f(a) f(b) 0，则函数 f(x)在 a， b上有且只有一个
4、零点 ( ) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值 ( ) (5)二次函数 y ax2 bx c 在 b2 4ac 0 时没有零点 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2函数 f(x) ln x 2x的零点所在的区间是 ( ) A (1,2) B (2,3) C ? ?1e， 1 和 (3,4) D (4， ) B 易知 f(x)为增函数，由 f(2) ln 2 1 0， f(3) ln 3 23 0，得 f(2) f(3)0.故选 B 3下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 ( ) A y cos x B y sin x C y ln x D y x2
5、1 A 由于 y sin x 是奇函数； y ln x 是非奇非偶函数， y x2 1 是偶函数但没有零点，只有 y cos x 是偶函数 又有零点 4 (教材改编 )函数 f(x) ex 3x 的零点个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 B f( 1) 1e 3 0， f(0) 1 0， f(x)在 ( 1,0)内有零点， 又 f(x)为增函数， 函数 f(x)有且只有一个零点 5函数 f(x) ax 1 2a 在区间 ( 1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是 _ ?13， 1 函数 f(x)的图像为 直线， 由题意可得 f( 1) f(1) 0， ( 3a 1)(1
6、a) 0，解得 13 a 1， 实数 a 的取值范围是 ? ?13， 1 . (对应学生用书第 28 页 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 判断函数零点所在区间 (1)已知函数 f(x) ln x ? ?12x 2的零点为 x0，则 x0所在的区间是 ( ) A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,4) (2)(2018 北京东城区综合练习 (二 )已知函数 f(x) ln x 2x 6 的零点在?k2，k 12 (k Z)内，那么 k _. (1)C (2)5 (1) f(x) ln x ? ?12x 2在 (0， ) 上是增函数， 又 f(1) ln 1 ? ?12
7、1 ln 1 2 0， f(2) ln 2 ? ?120 0， f(3) ln 3 ? ?121 0， x0(2,3) ，故选 C (2) f( x) 1x 2 0， x(0 ， ) ， f(x)在 x(0 ， ) 上单调递增，且 f? ?52 ln 52 1 0， f(3) ln 3 0， f(x)的零点在 ? ?52， 3 内，则整数 k 5. 规律方法 判断函数零点所在区间的方法 解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上来判断 . 利用零点存在性定理进行判断 . 数形结合画出函数图像，通过观察图像与 x 轴 在给定区间内是否有交点来判断 . 跟踪训练 (1)设
8、 f(x) ln x x 2，则函数 f(x)的零点所在的区间为 ( ) A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,4) (2)函数 f(x) x2 3x 18 在区间 1,8上 _(填 “ 存在 ” 或 “ 不存在 ”) 零点 (1)B (2)存在 (1)函数 f(x)的零点所在的区间可转化为函数 g(x) ln x， h(x)x 2 图像交点的横坐标所在的取值范围作图如下： =【 ;精品教育资源文库 】 = 可知 f(x)的零点所在的区间为 (1,2) (2)法一： f(1) 12 31 18 20 0， f(8) 82 38 18 22 0， f(1) f(8) 0， 又
9、 f(x) x2 3x 18， x1,8 的图像是连续的， 故 f(x) x2 3x 18 在 x1,8 上存在零点 法二：令 f(x) 0，得 x2 3x 18 0， ( x 6)(x 3) 0. x 61,8 ， x 3?1,8， f(x) x2 3x 18 在 x1,8 上存在零点 判断函数零点的个数 (1)函数 f(x) |x 2| ln x 在定义域内的零点的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 (2)(2017 秦皇岛模拟 )函数 f(x)? ln x x2 2x， x 0，4x 1， x0 的零点个数是_. 【导学号： 79140061】 (1)C (2)3 (1)由题
10、意可知 f(x)的定义域为 (0， ) 在同一直角坐标系中画出函数 y |x 2|(x 0)， y ln x(x 0)的图像，如图所示： 由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2. (2)当 x 0 时，作函数 y ln x 和 y x2 2x 的图像， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由图知，当 x 0 时， f(x)有 2 个零点； 当 x0 时，由 f(x) 0 得 x 14， 综上， f(x)有 3 个零点 规律方法 判断函数零点个数的三种方法 解方程法：所对应方程 f x 0 有几个不同的实数解就有几个零点 . 零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断
11、. 数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题 .先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数 . 跟踪训练 (1)函数 f(x) 0.9x 221x 的零点个数是 ( ) A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 (2)函数 f(x) 2x|log0.5x| 1 的零点个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 (1)B (2)B (1)因为 f(x) 0.9x 221x，则函数 f(x)为减函数，值域为 R，所以函数f(x)的图像必与 x 轴有一个交点，即方程 0.9x 221x 0 有一解 (2)令 f(x) 2x|log0.5x| 1 0， 可
12、得 |log0.5x| ? ?12x. 设 g(x) |log0.5x|， h(x) ? ?12x，在同一坐标系下分别画出函数 g(x)， h(x)的图像，可以发现两个函数图像一定有 2 个交点，因此函数 f(x)有 2 个零点 函数零点的应用 (1)设函数 f(x) ex x 2， g(x) ln x x2 3.若实数 a， b 满足 f(a) 0， g(b) 0，则 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A g(a) 0 f(b) B f(b) 0 g(a) C 0 g(a) f(b) D f(b) g(a) 0 (2)(2016 山东高考 )已知函数 f(x)? |x|， x m，x
13、2 2mx 4m， xm， 其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x) b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 _ (1)A (2)(3， ) (1) f(x) ex x 2， f( x) ex 1 0， 则 f(x)在 R 上为增 函数， 又 f(0) e0 2 0， f(1) e 1 0， 且 f(a) 0， 0 a 1. g(x) ln x x2 3， g( x) 1x 2x. 当 x(0 ， ) 时， g( x) 0， g(x)在 (0， ) 上为增函数， 又 g(1) ln 1 2 2 0， g(2) ln 2 1 0，且 g(b) 0， 1 b 2， a b， ?
14、 f(b) f(a) 0，g(a) g(b) 0. 故选 A (2)作出 f(x)的图像如 图所示 当 xm 时， x2 2mx 4m (x m)2 4m m2， 要使方程 f(x) b 有三个不同的根，则有 4m m20.又 m0，解得 m3. 规律方法 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围 . 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决 . 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解 . 跟踪训练 (1)已知函数 f(x) ex x， g(x) ln x x，
15、h(x) ln x 1 的零点依次为 a，b， c，则 ( ) A a b c B c b a C c a b D b a c =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)函数 f(x) 2x 2x a 的一个零点在区间 (1,2)内，则实数 a 的取值范围是 ( ) 【导学号： 79140062】 A (1,3) B (1,2) C (0,3) D (0,2) (1)A (2)C (1)e a a， a 0， ln b b，且 b 0， 0 b 1， ln c 1， c e 1，故选 A (2) 函数 f(x) 2x 2x a 在区间 (1,2)上单调递增，又函数 f(x) 2x 2x a 的一个零点在区间 (1,2)内，则有 f(1) f(2) 0， ( a)(4 1 a) 0，即 a(a 3) 0，0 a 3.
