1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪训练 (十五 ) 导数与函数的单调性 基础巩固 一、选择题 1已知函数 f(x) x2 2cosx，若 f( x)是 f(x)的导函数，则函数 f( x)的图象大致是 ( ) 解析 设 g(x) f( x) 2x 2sinx， g( x) 2 2cosx0 ，所以函数 f( x)在 R上单调递增 答案 A 2若幂函数 f(x)的图象过点 ? ?22 ， 12 ，则函数 g(x) exf(x)的单调递减区间为 ( ) A ( ， 0) B ( ， 2) C ( 2， 1) D ( 2,0) 解析 设幂函数 f(x) x ，因为图象过点 ? ?22 ， 1
2、2 ，所以 12 ? ?22 ， 2，所以 f(x) x2，故 g(x) exx2，令 g( x) exx2 2exx ex(x2 2x)0)的单调递增区间为 ( ) A.? ?0， 2a B ? ?2a， C.? ? ， 2a D ( ， a) 解析 由 f( x) 2x a0，得 00， f( x) 1 ax.要使函数 f(x) x alnx 不是单调函数，则需方程 1 ax 0 在 x0 上有解，所以 a2，则 f(x)2x 4 的解集为 ( ) A ( 1,1) B ( 1， ) C ( ， 1) D ( ， ) 解析 由 f(x)2x 4，得 f(x) 2x 40.设 F(x) f(
3、x) 2x 4，则 F( x) f( x) 2.因为 f( x)2，所以 F( x)0 在 R 上恒成立，所以 F(x)在 R 上单调递增，而 F( 1) f( 1) 2( 1) 4 2 2 4 0，故不等式 f(x) 2x 40 等价于 F(x)F( 1)，所以 x 1，选 B. 答案 B 二、填空题 7函数 f(x) x2 ax 3 在 (1， ) 上是增函数，则实数 a 的取值范围是 _ 解析 f( x) 2x a， f(x)在 (1， ) 上是增函数， =【 ;精品教育资源文库 】 = 2x a0 在 (1， ) 上恒成立 即 a2 x， a2. 答案 ( ， 2 8已知函数 f(x)
4、(x R)满足 f(1) 1，且 f(x)的导数 f( x)1， 即 x ( ， 1) (1， ) 答案 ( ， 1) (1， ) 9已知函数 f(x) ax x3，若对区间 (0,1)上的任意 x1， x2，且 x1x2 x1成立，则实数 a 的取值范围是 _ 解析 问题等价于函数 g(x) f(x) x 在区间 (0,1)上为增函数，即 g( x) a 13x20 ，即 a1 3x2在 (0,1)上恒成立，即 a4 ，所以实数 a 的取值范围是 4， ) 答案 4， ) 三、解答题 10已知函数 f(x) x4 ax lnx 32，其中 a R，且曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处
5、的切线垂直于直线 y 12x. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间 解 (1)对 f(x)求导得 f( x) 14 ax2 1x，由 f(x)在点 (1， f(1)处的切线垂直于直线 y 12x 知 f(1) 34 a 2，解得 a 54. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由 (1)知 f(x) x4 54x lnx 32，则 f( x) x2 4x 54x2 . 令 f( x) 0，解得 x 1 或 x 5. 因为 x 1 不在 f(x)的定义域 (0， ) 内，故舍去 当 x (0,5)时， f( x)0， 故 f(x)在 (5， ) 内为增函数 综上， f(x
6、)的单调增区间为 (5， ) ，单调减区间为 (0,5) 能力提升 11已知函数 f(x) xsinx， x R，则 f? ? 5 ， f(1)， f? ? 3 的大小关系为 ( ) A f? ? 3 f(1)f? ? 5 B f(1)f? ? 3 f? ? 5 C f? ? 5 f(1)f? ? 3 D f? ? 3 f? ? 5 f(1) 解析 由 f( x) ( x)sin( x) xsinx f(x)，知 f(x)是偶函数 f( x) sinx xcosx，当 00，所以 f(x)在 (0， 2)上为增函数又0f(1)f? ? 5 .故选 A. 答案 A 12 (2017 湖北华北师大
7、附中模拟 )若 f(x) ex ae x为偶函数，则 f(x 1)0，即 f(x)在 ( ， 0)上单调递减，在 (0， ) 上单调递增，且图象关=【 ;精品教育资源文库 】 = 于 y 轴对称由 f(x 1)0) 设 g(x) 2x2 (a 6)x a(x0)， 因为函数 f(x)在 (0,3)上不是单调函数， 等价于函数 g(x) 2x2 (a 6)x a(x0)在 (0,3)上不会恒大于零或恒小于零 又 g(0) a， g(3) 4a，所以? g a0，00，解得 0 3 时， g( x)0，当 x0，所以 exf(x) ex(x2 2)在 R 上单调递增，故 f(x) x2 2 具有
8、M 性质故填 . 答案 =【 ;精品教育资源文库 】 = 15 (2015 全国卷 改编 )已知函数 f(x) lnx a(1 x) (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)在 (2， ) 上为单调函数，求实数 a 的取值范围 解 (1)f(x)的定义域为 (0， ) ， f( x) 1x a.若 a0 ，则 f( x)0， f(x)在 (0， ) 上单调递增；若 a0，则当 x ? ?0， 1a 时， f( x)0；当 x ? ?1a， 时， f( x)0 时 f(x)在 ? ?0， 1a 单调递增，在 ? ?1a， 单调递减 (2)由 (1)知，当 a0 时， f(x)在 (0，
9、 ) 上单调递增，符合要求；当 a0 时， f(x)在 ? ?1a， 上单调递减，则 2 1a，即 a 12. 实数 a 的取值范围是 ( ， 0 ? ?12， . 16 (2016 全国卷 )已知函数 f(x) (x 2)ex a(x 1)2.讨论 f(x)的单调性 解 f( x) (x 1)ex 2a(x 1) (x 1)(ex 2a) ( )设 a0 ，则当 x ( ， 1)时， f( x)0，所以f(x)在 ( ， 1)上单调递减，在 (1， ) 上单调递增 ( )设 a e2，则 ln( 2a)0；当 x (ln( 2a)， 1)时， f( x)1，故当 x ( ， 1) (ln(
10、2a)， ) 时， f( x)0；当 x (1， ln( 2a)时， f( x)0)若函数 f(x)在 1,2上为单调函数，则 a 的取值范围是 _ 解析 f( x) 3a 4x 1x，若函数 f(x)在 1,2上为单调函数，即 f( x) 3a 4x 1x=【 ;精品教育资源文库 】 = 0 或 f( x) 3a 4x 1x0 在 1,2上恒成立即 3a4 x 1x或 3a4 x 1x在 1,2上恒成立令h(x) 4x 1x，则 h(x)在 1,2上单调递增，所以 3a h(2)或 3a h(1)，即 3a 152 或 3a3 ，又 a0，所以 0a 25或 a1. 答案 ? ?0， 25 1， )
