1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课堂达标 (二十四 ) 平面向量基本定理及坐标表示 A 基础巩固练 1如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 DC 边的中点，且 AB a， AD b，则 BE 等于 ( ) A b 12a B b 12a C a 12b D a 12b 解析 BE BA AD DE a b 12a b 12a. 答案 A 2 (2018 昆明一中摸底 )已知点 M(5， 6)和向量 a (1， 2)，若 MN 3a，则点 N的坐标为 ( ) A (2,0) B ( 3,6) C (6,2) D ( 2,0) 解析 MN 3a 3(1， 2) ( 3,6)， 设 N(x，
2、 y)，则 MN (x 5， y 6) ( 3,6)， 所以? x 5 3，y 6 6， 即 ? x 2，y 0， 选 A. 答案 A 3在 ABC 中，点 P 在 BC 上，且 BP 2PC ，点 Q 是 AC 的中点，若 PA (4,3)， PQ (1,5)，则 BC 等于 ( ) A ( 2,7) B ( 6,21) C (2， 7) D (6， 21) 解析 BC 3PC 3(2PQ PA ) 6PQ 3PA (6,30) (12,9) ( 6,21) 答案 B 4 (2018 广东六校联考 )已知 A( 3,0)， B(0,2)， O 为坐标原点，点 C 在 AOB 内，|OC |
3、2 2，且 AOC 4 ，设 OC OA OB ( R)，则 的值为 ( ) A 1 B.13 =【 ;精品教育资源文库 】 = C.12 D.23 解析 过 C 作 CE x 轴于点 E. 由 AOC 4 ，知 |OE| |CE| 2， 所以 OC OE OB OA OB ， 即 OE OA ，所以 ( 2,0) ( 3,0)，故 23. 答案 D 5 (2018 江苏五市联考 )已知向量 a ? ?8， 12x ， b (x,1)，其中 x0，若 (a 2b) (2a b)，则 x 的值为 ( ) A 4 B 8 C 0 D 2 解析 a 2b ? ?8 2x， 12x 2 ， 2a b
4、(16 x， x 1)，由已知 (a 2b) (2a b)，显然 2a b0 ，故有 ? ?8 2x， 12x 2 (16 x， x 1)， R， ? 8 2x x ，12x 2 x?x 4(x0) 答案 A 6 (2018 抚顺二模 )若向量 a (2,1)， b ( 1,2)， c ? ?0， 52 ，则 c 可用向量 a， b表示为 ( ) A.12a b B 12a b C.32a 12b D.32a 12b 解析 设 c xa yb，则 ? ?0， 52 (2x y， x 2y)， 所以? 2x y 0x 2y 52 ，解得 ? x 12，y 1，则 c 12a b. 答案 A 7在
5、平行四边形 ABCD 中， E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点若 AC AE AF ，其中=【 ;精品教育资源文库 】 = ， R，则 _. 解析 选择 AB ， AD 作为平面向量的一组基底，则 AC AB AD ， AE 12AB AD ， AF AB 12AD ，又 AC AE AF ?12 AB ? 12 AD ，于是得? 12 1， 12 1，即? 23， 23，故 43. 答案 43 8已知向量 OA (1， 3)， OB (2， 1)， OC (k 1， k 2)，若 A， B， C 三点能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是 _ 解析 若点 A， B， C 能构成三
6、角形，则向量 AB ， AC 不共线 AB OB OA (2， 1) (1， 3) (1,2)， AC OC OA (k 1， k 2) (1， 3) (k， k 1)， 1( k 1) 2k0 ，解得 k1. 答案 k1 9如图所示， A， B， C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交于圆 O 外的一点 D，若 OC mOA nOB ，则 m n 的取值范围是 _ 解析 由题意得， OC kOD (k 0)，又 |k| |OC |OD | 1， 1 k 0. 又 B， A， D 三点共线， OD OA (1 )OB ， mOA nOB k OA k(1 )OB ，
7、m k ， n k(1 )， m n k，从而 m n=【 ;精品教育资源文库 】 = ( 1,0) 答案 ( 1,0) B 能力提升练 1非零不共线向量 OA 、 OB ，且 2OP xOA yOB ，若 PA AB ( R)，则点 Q(x， y)的轨迹方程是 ( ) A x y 2 0 B 2x y 1 0 C x 2y 2 0 D 2x y 2 0 解析 PA AB ，得 OA OP (OB OA )，即 OP (1 )OA OB ，又 2OP xOA yOB ， ? x 2 2 ，y 2 ， 消去 得 x y 2，故选 A. 答案 A 2已知 ABC 是边长为 4 的正三角形， D，
8、P 是 ABC 内的两点，且满足 AD 14(AB AC )，AP AD 18BC ，则 APD 的面积为 ( ) A. 34 B. 32 C. 3 D 2 3 解析 取 BC 的中点 E，连接 AE，由于 ABC 是边长为 4 的正三角形，则 AE BC， AE 12(AB AC )，又 AD 14(AB AC )，所以点 D 是 AE 的中点， AD 3.取 AF 18BC ，以 AD， AF 为邻边作平行四边形，可知 AP AD 18 BC AD AF .而 APD 是直角三角形， AF 12，所以 APD 的面积为 12 12 3 34 . 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 =
9、3.给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ，它们的夹角为 23 .如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动若 OC xOA yOB ，其中 x， y R，则 x y 的最大值为 _ 解析 以 O 为坐标原点， OA 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则 A(1,0)， B? ? 12， 32 ， 设 AOC ? ? ? ?0， 23 ， 则 C(cos ， sin )， 由 OC xOA yOB ，得? cos x 12y，sin 32 y，所以 x cos 33 sin ， y 2 33 sin ， 所以 x y cos 3sin 2sin? ? 6
10、 ， 又 ? ?0， 23 ， 所以当 3 时， x y 取得最大值 2. 答案 2 4如图， G 是 OAB 的重心， P， Q 分别是边 OA， OB 上的动点， =【 ;精品教育资源文库 】 = 且 P， G， Q 三点共线设 OP xOA ， OQ yOB ，则 1x 1y _. 解析 点 P， G， Q 在一条直线上， PG PQ . OG OP PG OP PQ OP (OQ OP ) (1 )OP OQ (1 )xOA y OB ， 又 G 是 OAB 的重心， OG 23OM 23 12(OA OB ) 13OA 13OB . 而 OA ， OB 不共线， 由 ，得? x 13
11、，y 13.解得? 1x 3 3 ，1y 3 . 1x 1y 3. 答案 3 5已知 A(2,3)， B(5,4)， C(7,10)， (1)求 AB ； (2)若 AB mAC nBC ，求 m， n； (3)若 AP AB AC ( R)，试求 为何值时，使点 P 在一、三象限的角平分线上 解 (1)AB (5,4) (2,3) (3,1) (2) AC (7,10) (2,3) (5,7)， BC (7,10) (5,4) (2,6)， mAC nBC m(5,7) n(2,6) (5m 2n,7m 6n) AB mAC nBC (3,1)， ? 5m 2n 37m 6n 1 ， ? m
12、 1n 1 . (3)设 P(x， y)，则 AP (x， y) (2,3) (x 2， y 3) AB AC (5,4) (2,3) (7,10) (2,3) =【 ;精品教育资源文库 】 = (3 5 ， 1 7 ) AP AB AC ， ? x 2 3 5 ，y 3 1 7 ， ? x 5 5 ，y 4 7 . 若点 P 在第一、三象限的角平分线上 则 5 5 4 7 ， 12. C 尖子生专练 (2018 山东莱芜模拟 )如图，已知 OCB 中，点 C 是以 A 为中点的点 B 的对称点， D是将 OB 分为 2 1 两部分的一 个内分点， DC 和 OA 交于点 E，设 OA a， OB b. (1)用 a 和 b 表示向量 OC 、 DC ； (2)若 OE OA ，求实数 的值 解 (1)由题意知， A 是 BC 的中点，且 OD 23OB . 由平行四边形法则，得 OB OC 2OA . OC 2OA OB 2a b， DC OC OD (2a b) 23b 2a 53b. (2)如题图， EC DC .又 EC OC OE (2a b) a (2 )a b， DC 2a 53b， 2 2 1 53， 45.
