1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2.11.1 导数与函数的单调性 课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标 1函数 f(x)的导函数 f( x)有下列信息： f( x) 0 时， 1 x 2； f( x) 0 时， x 1 或 x 2； f( x) 0 时， x 1 或 x 2. 则函数 f(x)的大致图象是 ( ) 解析：根据信息知，函数 f(x)在 ( 1,2)上是增函数在 ( ， 1)， (2， ) 上是减函数，故选 C. 答案： C 2 f(x) x2 aln x 在 (1， ) 上单调递增，则实数 a 的取值范围为 ( ) A ( ， 1) B ( ， 1 C ( ， 2) D (
2、， 2 解析：由 f(x) x2 aln x，得 f( x) 2x ax， f(x)在 (1， ) 上单调递增， 2x ax0 ， 即 a2 x2在 (1， ) 上恒成立， 2x2 2， a2. 故选 D. 答案： D 3若幂函数 f(x)的图象过点 ? ?22 ， 12 ，则函数 g(x) exf(x)的单调递减区间为 ( ) A ( ， 0) B ( ， 2) C ( 2， 1) D ( 2,0) 解析：设幂函数 f(x) x ，因为图象过点 ? ?22 ， 12 ，所以 12 ? ?22 ， 2，所以 f(x) x2，故 g(x) exx2，令 g( x) exx2 2exx ex(x2
3、 2x) 0，得 2 x 0，故函数 g(x)的单调递减区间为 ( 2,0) 答案： D 4 (2017 届河北石家庄市高三 9 月摸底 )若函数 f(x) x33a2x2 x 1 在区间?12， 3 上=【 ;精品教育资源文库 】 = 单调递减，则实数 a 的取值范围为 ( ) A.? ?52， 103 B ? ?103 ， C.? ?103 ， D 2， ) 解析： f( x) x2 ax 1， 函数 f(x) x33a2x2 x 1 在区间?12， 3 上单调递减 ?f( x) x2 ax 10 在区间?12， 3 上恒成立 ? f ? ?12 12a 540 ，f 3a 100 ，解之
4、得 a 103.故选 C. 答案： C 5函数 f(x) x3 ax 是 R 上的增函数的一个充分不必要条件是 ( ) A a0 B a 0 C a0 D a 0 解析：函数 f(x) x3 ax 为 R 上的增函数的一个充分不必要条件是 f( x) 3x2 a 0在 R 上恒成立，所以 a (3x2)min，因为 (3x2)min 0，所以 a 0.故选 B. 答案： B 6 (2017 届贵阳市监测考试 )对于 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足 (x 3)f( x)0 ，则必有 ( ) A f(0) f(6)2 f(3) B f(0) f(6) 2f(3) C f(0) f(6)2
5、f(3) D f(0) f(6) 2f(3) 解析：由题意知，当 x3 时， f( x)0 ，所以函数 f(x)在 3， ) 上单调递减或为常数函数；当 x 3 时， f( x)0 ，所以函数 f(x)在 ( ， 3)上单调递增或为常数函数，所以 f(0) f(3)， f(6) f(3)，所以 f(0) f(6)2 f(3)，故选 A. 答案： A 7设函数 f(x) ex x 2， g(x) ln x x2 3.若实数 a， b 满足 f(a) 0， g(b) 0，则 ( ) A g(a) 0 f(b) B f(b) 0 g(a) C 0 g(a) f(b) D f(b) g(a) 0 解析
6、：因为函数 f(x) ex x 2 在 R 上单调递增，且 f(0) 1 2 0， f(1) e 1 0，所以 f(a) 0 时 a (0,1)又 g(x) ln x x2 3 在 (0， ) 上单调递增，且 g(1) 2 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 g(a) 0.由 g(2) ln 2 1 0， g(b) 0 得 b (1,2)，又 f(1) e 1 0， 所以 f(b) 0.综上可知， g(a) 0 f(b) 答案： A 8定义在 R 上的函数 f(x)满足 xf( x)f(x)恒成立，则有 ( ) A f( 5)f( 3) B f( 5)5f( 3) D 3f( 5)0
7、， g(x)在 R 上单调递增， g( 5)f(cosB) B f(sinA)f(sinB) D f(cosA)0 时， (x k)f( x) x 10，求 k 的最大值 解： (1)函数 f(x)的定义域为 R， f( x) ex a， 若 a0 ，则 f( x)0， f(x)在 R 上单调递增； 若 a0，则 f( x) 0，解得 x ln a， 所以 f(x)的单调递减区间是 ( ， ln a)，增区间 为 (ln a， ) (2)由于 a 1，所以 (x k)f( x) x 1 (x k)(ex 1) x 1， 故当 x0 时， (x k)f( x) x 10 等价于 k0， 所以 f
8、(x)在 (0， ) 上有唯一的零点，故 g( x)在 (0， ) 上存在唯一的零点， 设此零点 为 a，则 a (1,2)， 当 x (0， a)时， g( x)0， 所以 g(x)在 (0， ) 的最小值为 g(a)， 又因为 g( a) 0，可得 ea a 2，所以 g(a) a 1 (2,3)， 所以 ke 时， f( x) 0，为减函数， 当 0 x e 时， f( x) 0，为增函数 因为 b a 3 e. 所以 ab b a b2 ab a e， 所以 f(a) f( ab) f? ?a b2 f(b) f(ab)故选 D. 答案： D 2设函数 f(x) 12sin2x aco
9、sx 在 (0， ) 上是增函数，则实数 a 的取值范围为 ( ) A 1， ) B ( ， 1 C ( ， 0) D (0， ) 解析： f(x) 12sin2x acosx 在 (0， ) 上是增函数， 所以 f( x) cos2x asinx0 在 (0， ) 上恒成立， 所以 1 2sin2x asinx0 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 设 t sinx， t (0,1，即 2t2 at 10 ， t (0,1时恒成立， 所以 a 2t 1t. 令 g(t) 2t 1t，则 g( t) 2 1t2 0， 所以 g(t)在 (0,1上单调递减，所以 a g(1) 1， 故选 B.
10、 答案： B 3 (2017 年江苏卷 )已知函数 f(x) x3 2x ex 1ex，其中 e 是自然对数的底数若 f(a 1) f(2a2)0 ，则实数 a 的取值范围是 _ 解析： f( x) 3x2 2 ex e x0 ， f(x)在定义域内为单调递增函数， 又 f( x) x3 2x 1ex ex f(x)， f(x)为奇函数 f(a 1) f(2a2)0 ， f(a 1) f(2a2)，即 f(a 1) f( 2a2) 又 f(x)为单调递增函数， a 1 2a2， 即 2a2 a 10 ，解得 1 a 12， 实数 a 的取值范围是 ? ? 1， 12 . 答案： ? ? 1，
11、12 4 (2018 届辽宁省葫芦岛第六高级中学期中 )已知函数 f(x) ax2 ln x(a R) (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若存在 x (1， ) ， f(x) a，求 a 的取值范围 解： (1)f( x) 2ax 1x 1 2ax2x ， 当 a0 时， f (x)0，所以 f(x)在 (0， ) 上递增， 当 a0 时，令 f( x) 0，得 x 12a， 令 f( x)0，得 x ? ?0， 12a ；令 f( x) a，得 a(x2 1) ln x0， 当 a0 时， a(x2 1) ln x1)， g( x) 2ax2 1x 0， 所以 g(x)在 (1， ) 上递增，所以 g(x)g(1) 0，不合题意， 当 00，得 x ? ?12a， ，令 g( x)0，得 x ? ?1， 12a ， 所以 g(x)max g? ?12a g(1) 0，则 ? x0 (1， ) ， g(x0)0， 综上， a 的取值范围是 ? ? ， 12 .
