1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第三节 平面向量的数量积及其应用 考纲传真 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 .2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系 .3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 .4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 .5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 .6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 (对应学生用书第 61 页 ) 基础知识填充 1向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，如图 431，作 OA a， OB b，则 AOB (0 180) 叫作 a 与 b 的夹角 图
2、431 (2)当 0 时， a 与 b 共线同向 当 180 时， a 与 b 共线反向 当 90 时， a 与 b 互相垂直 2平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 ，则数量 |a|b|cos 叫做 a与 b 的数量积 (或内积 )规定：零向量与任一向量的数量积为 0. (2)几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos 的乘积或 b 的长度 |b|与 a 在 b 方向上射影 |a|cos 的乘积 3平面向量数量积的运算律 (1)交换律： a b b a； (2)数乘结合律： ( a) b (a b) a(
3、 b)； (3)分配律： a( b c) a b a C 4平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量 a (x1， y1)， b (x2， y2)， a， b 结论 几何表示 坐标表示 模 |a| a a |a| x21 y21 数量积 a b a b x1x2 y1y2 =【 ;精品教育资源文库 】 = |a|b|cos 夹角 cos a b|a|b| cos x1x2 y1y2x21 y21 x22 y22a b a b 0 x1x2 y1y2 0 |a b|与 |a|b|的关系 |a b| a|b| |x1x2 y1y2| x21 y21 x22 y22 知识拓展 1两个向量 a，
4、b 的夹角为锐角 ?ab 0 且 a， b 不共线； 两个向量 a， b 的夹角为钝角 ?ab 0 且 a， b 不共线 2平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a b)( a b) a2 b2. (2)(a b)2 a2 2a b b2. (3)(a b)2 a2 2a b b2. 3当 a 与 b 同向时， ab |a|b|； 当 a 与 b 反向时， ab |a|b|. 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量 ( ) (2)由 a b 0，可得 a 0 或 b 0.( )
5、(3)由 a b a c 及 a0 不能推出 b C ( ) (4)在四边形 ABCD 中， AB DC 且 AC BD 0，则四边形 ABCD 为矩形 . ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (2016 全国卷 )已知 向量 BA ? ?12， 32 ， BC ? ?32 ， 12 ，则 ABC ( ) A 30 B 45 C 60 D 120 A 因为 BA ? ?12， 32 ， BC ? ?32 ， 12 ，所以 BA BC 34 34 32 .又因为 BA BC |BA|BC |cos ABC 11cos ABC，所以 cos ABC 32 .又 0 ABC180 ，所
6、以 ABC 30. 故选 A 3 (2015 全国卷 )向量 a (1， 1)， b ( 1,2)，则 (2a b) a ( ) A 1 B 0 C 1 D 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 法一： a (1， 1)， b ( 1,2)， a2 2， a b 3， 从而 (2a b) a 2a2 a b 4 3 1. 法二： a (1， 1)， b ( 1,2)， 2a b (2， 2) ( 1,2) (1,0)， 从而 (2a b) a (1,0)(1 ， 1) 1，故选 C 4 (教材改编 )已知 |a| 5， |b| 4， a 与 b 的夹角 120 ，则向量 b 在向量 a 方
7、向上的投影为 _ 2 由数量积的定义知， b 在 a 方向上的投影为 |b|cos 4cos 120 2. 5 (2017 全国卷 )已知向量 a ( 1,2)， b (m,1)若向量 a b 与 a 垂直，则 m_. 7 a ( 1,2)， b (m,1)， a b ( 1 m,2 1) (m 1,3) 又 a b 与 a 垂直， (a b) a 0， 即 (m 1)( 1) 32 0， 解得 m 7. (对应学生用书第 62 页 ) 平面向量数量积的运算 (1)(2016 天津高考 )已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D， E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到
8、点 F，使得 DE 2EF，则 AF BC 的值为 ( ) A 58 B 18 C 14 D 118 (2)已知正方形 ABCD的边长为 1，点 E是 AB边上的动点，则 DE CB 的值为 _； DE DC的最大值为 _. 【导学号： 00090135】 (1)B (2)1 1 (1)如图所示， AF AD DF . 又 D， E 分别为 AB， BC 的中点， 且 DE 2EF，所以 AD 12AB ， DF 12AC 14AC 34AC ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 AF 12AB 34AC . 又 BC AC AB ， 则 AF BC ? ?12AB 34AC ( AC
9、AB ) 12AB AC 12AB 2 34AC 2 34AC AB 34AC 2 12AB 2 14AC AB . 又 |AB | |AC | 1， BAC 60 ， 故 AF BC 34 12 1411 12 18.故选 B (2)法一：以射线 AB， AD 为 x 轴， y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则 A(0,0)， B(1,0)，C(1,1)， D(0,1)，设 E(t,0)， t 0,1，则 DE (t， 1)， CB (0， 1)，所以 DE CB (t， 1)(0 ， 1) 1. 因为 DC (1,0)，所以 DE DC (t， 1)(1,0) t1 ， 故 DE DC 的
10、最大值为 1. 法二：由图知，无论 E 点在哪个位置， DE 在 CB 方向上的投影都是 CB 1，所以 DE CB |CB|1 1， 当 E 运动到 B 点时， DE 在 DC 方向上的投影最大，即为 DC 1， 所以 (DE DC )max |DC |1 1. 规律方法 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运 算；利用数量积的几何意义 2 (1)要有 “ 基底 ” 意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量 (2)注意向量夹角的大小，以及夹角 0 ， 90 ， 180 三种特殊情形 =【 ;精品教育资源文库 】 = 变式训练 1 (1)已知 AB (2,1)，点 C(
11、1,0)， D(4,5)，则向量 AB 在 CD 方向上的投影为 ( ) A 3 22 B 3 5 C 3 22 D 3 5 (2)(2018 榆林模拟 )已知在矩形 ABCD 中， AB 3， BC 3， BE 2EC ，点 F 在边 CD 上若AB AF 3，则 AE BF 的值为 ( ) 【导学号： 00090136】 A 0 B 8 33 C 4 D 4 (1)C (2)C (1)因为点 C( 1,0)， D(4,5)，所以 CD (5,5)，又 AB (2,1)，所以向量 AB在 CD 方向上的投影为 |AB |cos AB ， CD AB CD|CD | 155 2 3 22 .
12、(2)由 AB AF 3 得 AB ( AD DF ) AB DF 3， 所以 |DF | 1， |CF | 2， 所以 AE BF (AB BE )( BC CF ) AB BC AB CF BE BC BE CF AB CF BE BC 6 2 4. 平面向量数量积的性质 角度 1 平面向量的模 (1)(2017 合肥二次质检 )已知不共线的两个向量 a， b 满足 |a b| 2 且 a (a 2b)，则 |b| ( ) A 2 B 2 C 2 2 D 4 (2)(2018 西安模拟 )已知平面向量 a， b 的夹角为 6 ，且 |a| 3， |b| 2，在 ABC 中，AB 2a 2b
13、， AC 2a 6b， D 为 BC 的中点，则 |AD | _. (1)B (2)2 (1)由 a (a 2b)得 a( a 2b) |a|2 2a b 0.又 |a b| 2， |a b|2 |a|2 2a b |b|2 4，则 |b|2 4， |b| 2，故选 B =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)因为 AD 12(AB AC ) 12(2a 2b 2a 6b) 2a 2b， 所以 |AD |2 4(a b)2 4(a2 2ba b2) 4(3 22 3cos 6 4) 4， 所以 |AD | 2. 角度 2 平面向量的夹角 (1)已知单位向量 e1与 e2的夹角为 ，且 cos
14、13，向量 a 3e1 2e2与 b 3e1 e2的夹角为 ，则 cos _. (2)若向量 a (k,3)， b (1,4)， c (2,1)，已知 2a 3b 与 c 的夹角为钝角，则 k 的取值范围是 _ (1)2 23 (2)? ? ， 92 ? ? 92， 3 (1)因为 a2 (3e1 2e2)2 9 2321 2cos 4 9， 所以 |a| 3， 因为 b2 (3e1 e2)2 9 2311 2cos 1 8， 所以 |b| 2 2， ab (3e1 2e2)(3 e1 e2) 9e21 9e1 e2 2e22 9 911 13 2 8， 所以 cos ab|a|b| 832 2 2 23 . (2) 2a 3b
