1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 单元评估检测 (八 ) 第 8 章 平面解析几何 (120 分钟 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1已知两条直线 y ax 2 和 3x (a 2)y 1 0 互相平行，则 a 等于 ( ) A 1 或 3 B 1 或 3 C 1 或 3 D 1 或 3 答案 A 2若直线 l1： x 2y m 0(m 0)与直线 l2： x ny 3 0 之间的距离是 5，则 m n ( ) A 0 B 1 C 1 D 2 答案 A 3直线 y 2x 为双曲线 C： x2
2、a2y2b2 1(a 0， b 0)的一条渐近线，则双曲线 C 的离心率是( ) 【导学号： 79140430】 A. 3 B. 32 C. 5 D. 52 答案 C 4直线 x 2y 5 5 0 被圆 x2 y2 2x 4y 0 截得的弦长为 ( ) A 1 B 2 C 4 D 4 6 答案 C 5当 a 为任意实数时， 直线 (a 1)x y a 1 0 恒过定点 C，则以 C 为圆心，半径为 5的圆的方程为 ( ) A x2 y2 2x 4y 0 B x2 y2 2x 4y 0 C x2 y2 2x 4y 0 D x2 y2 2x 4y 0 答案 C 6设 F 为抛物线 C： y2 3x
3、 的焦点，过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C 于 A， B 两点，则 |AB| ( ) A. 303 B 6 C 12 D 7 3 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 7 (2018 黄山模拟 )已知双曲线 x2 y23 1 的左顶点为 A1，右焦点为 F2， P 为双曲线右支上一点，则 PA 1 PF 2的最小值为 ( ) A 2 B 8116 C 1 D 0 答案 A 8椭圆 x2100y264 1 的焦点为 F1， F2，椭圆上的点 P 满足 F1PF2 60 ，则 F1PF2的面积是( ) A.64 33 B.91 33 C.16 33 D.643 答案 A 9 (2017
4、 南昌模拟 )已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，准线方程为 x 1，直线 l 与抛物线 C 相交于 A， B 两点若线段 AB 的中点为 (2,1)，则直线 l 的方程为 ( ) A y 2x 3 B y 2x 5 C y x 3 D y x 1 答案 A 10设双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)，离心率 e 2，右焦点 F(c,0)方程 ax2 bx c 0的两个实数根分别为 x1， x2，则点 P(x1， x2)与圆 x2 y2 8 的位置关系是 ( ) A点 P 在圆外 B点 P 在圆上 C点 P 在圆内 D不确定 答案 C 11抛物线 y2 8x 的焦点 F 与双曲线 x
5、2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右焦点重合，又 P 为两曲线的一个公共点，且 |PF| 5，则双曲线的实轴长为 ( ) A 1 B 2 C. 17 3 D 6 答案 B 12已知双曲线 x2a2y2b2 1， a R， F1， F2 分别为双曲线的左、右焦点， O 为坐标原点，点 P为双曲线上一点，满足 |OP| 3a，且 |PF1|， |F1F2|， |PF2|成等比数列，则此双曲线的离心率为 ( ) A. 213 B.73 C.2 73 D.7 33 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 A 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中横线上
6、 ) 13已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A( 2,2)， B(4， 2)等距离， 则直线 l 的方程为 _ 答案 2x 3y 18 0 或 2x y 2 0 14已知双曲线 S 与椭圆 x29y234 1 的焦点相同，如果 y34x 是双曲线 S 的一条渐近线，那么双曲线 S 的方程为 _. 【导学号： 79140431】 答案 y29x216 1 15已知直线 y x a 与圆 C： x2 y2 4x 4y 4 0 相交于 A， B 两点，且 ABC 的面积S 2，则实数 a _. 答案 2 或 2 16已知 P 是双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)上的点， F1，
7、F2是其焦点，双曲线的离心率是54，且 PF 1 PF 2 0，若 PF1F2的面积为 9，则 a b 的值为 _ 答案 7 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17 (本小题满分 10 分 )已知圆 C： x2 (y 1)2 5，直线 l： mx y 1 m 0. (1)求证：对 m R，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点； (2)设直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，若 |AB| 17，求直线 l 的倾斜角 . 【导学号： 79140432】 解 (1)将已知直线 l 化为 y 1 m(x 1)， 直线 l 恒过定点
8、P(1,1) 因为 12 (1 1)2 1 5， 所以点 P(1,1)在已知圆 C 内， 从而直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 (2) 3 或 23 . 18 (本小题满分 12 分 )(2017 太原模拟 )圆 M 和圆 P： x2 y2 2 2x 10 0 相内切，且过定点 Q( 2， 0) (1)求动圆圆心 M 的轨迹方程； (2)斜率为 3的直线 l 与动圆圆心 M 的轨迹交于 A， B 两点，且线段 AB 的垂直平分=【 ;精品教育资源文库 】 = 线经过点 ? ?0， 12 ，求直线 l 的方程 解 (1)x23 y2 1. (2)y 3x 52. 19 (本小题满分 12
9、分 )(2018 郑州模拟 )已知抛物线 C： y2 2px(p 0)，焦点为 F，过点G(p,0)作直线 l 交抛物线 C 于 A， M 两点，设 A(x1， y1)， M(x2， y2) (1)若 y1y2 8，求抛物线 C 的方程； (2)若直线 AF 与 x 轴不垂直，直线 AF 交抛物线 C 于另一点 B，直线 BG 交抛物线 C于另一点 N.求证：直线 AB 与直线 MN 斜率之比为定值 解 (1)设直线 AM 的方程为 x my p， 代入 y2 2px 得 y2 2mpy 2p2 0，则 y1y2 2p2 8，得 p 2. 所以抛物线 C 的方程为 y2 4x. (2)设 B(
10、x3， y3)， N(x4， y4) 由 (1)可知 y1y2 2p2， y3y4 2p2， y1y3 p2. 又直线 AB 的斜率 kAB y3 y1x3 x1 y3 y1y232py212p 2py1 y3， 直线 MN 的斜率 kMN y4 y2x4 x2 y4 y2y242py222p 2py2 y4， 所以 kABkMN y2 y4y1 y3 2p2y1 2p2y3y1 y3 2p2y1y3 (y1 y3)y1 y3 2. 故直线 AB 与直线 MN 斜率之比为定值 20 (本小题满分 12 分 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的离心率为22 ，且过点 ?12，1
11、44 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设 F 是椭圆 C 的左焦点，过点 P( 2,0)的直线交椭圆于 A， B 两点，求 ABF 面积的最大值 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 【导学号： 79140433】 解 (1)x22 y2 1 (2) 24 21 (本小题满分 12 分 )如图 81，设椭圆 x2a2 y2 1(a1) 图 81 (1)求直线 y kx 1 被椭圆截得的线段长 (用 a， k 表示 )； (2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围 解 (1)设直线 y kx 1 被椭圆截得的线段为 AM，由? y kx
12、1，x2a2 y2 1 得 (1 a2k2)x2 2a2kx 0， 故 x1 0， x2 2a2k1 a2k2. 因此 |AM| 1 k2|x1 x2| 2a2|k|1 a2k2 1 k2. (2)假设圆与椭圆的 公共点有 4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P， Q，满足 |AP| |AQ|. 记直线 AP， AQ 的斜率分别为 k1， k2，且 k1， k2 0， k1 k2. 由 (1)知， |AP| 2a2|k1| 1 k211 a2k21 ， |AQ| 2a2|k2| 1 k221 a2k22 ， 故 2a2|k1| 1 k211 a2k21 2a2|k2| 1 k
13、221 a2k22 ， 所以 (k21 k22)1 k21 k22 a2(2 a2)k21k22 0. 由于 k1 k2， k1， k2 0， 得 1 k21 k22 a2(2 a2)k21k22 0， 因此 ? ?1k21 1 ? ?1k22 1 1 a2(a2 2) 因为 式关于 k1， k2的方程有解的充要条件是 1 a2(a2 2) 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 a 2. 因此，任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件是 1 a 2， 由 e ca a2 1a 得，所求离心率的取值范围是 0 e22 . 22 (本小题满分 12 分 )如图
14、82 平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率是 32 ，抛物线 E： x2 2y 的焦点 F 是 C 的一个顶点 图 82 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点A， B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. 求证：点 M 在定直线上； 直线 l 与 y 轴交于点 G，记 PFG 的面积为 S1， PDM 的面积为 S2，求 S1S2的最大值及取得最大值时点 P 的坐标 解 (1)由题意 F 点的坐标为 ? ?0， 12
15、 ，所以 b 12，又 e ca 32 ， 所以 a2 b2a2 34，易得 a2 4b2 1，于是椭圆 C 的方程为 x2 4y2 1. (2) 设 P(2t,2t2)(t 0)，则直线 l 的斜率 kl 2t，直线 l 的方程为： y 2t2 2t(x 2t)， 即 y 2tx 2t2，将其与 x2 4y2 1 联立得， (16t2 1)x2 32t3x 16t4 1 0， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x2 32t316t2 1， y1 y2 2t(x1 x2) 4t2 4t216t2 1. 所以 D? ?16t316t2 1， 2t216t2 1 ，所以 k
16、OD18t，可得直线 OD 的方程为： yx8t， 由题意， xM 2t，所以 yM 2t8t 14，所以点 M 在定直线 y 14上 =【 ;精品教育资源文库 】 = 由图可知， |OG| 2t2， |FG| 2t2 12， 所以 S1 12 ? ?2t2 12 2 t， S DOG 122 t2 16t316t2 1. 显然， DPM 与 DGO 相似，所以 S2 122 t2 16t316t2 1 ?2t2 142t22 122 t ? ?2t2 1424t2 14. 所以 S1S22t2 12?2t2 142 ?4t2 14 (8t2 2)(16t2 1)(8t2 1)2 ? ?(8t2 2) (16t2 1)22 1(8t2 1)2 94. 当且仅当 8t2 2 16t2 1，即 t 24 时，取等号所以
