1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第三节 函数的奇偶性与周期性 考纲传真 1.了解函数奇偶性的含义 .2.会运用基本初等函数的图像分析函数的奇偶性 .3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 (对应学生用书第 11 页 ) 基础知识填充 1奇函数、偶函数的概念 图像关于 原点 对称的函数叫作奇函数 图像关于 y 轴 对称的函数叫作偶函数 2判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是 (1)考察定义域是否关于原点对称 (2)考察表达式 f( x)是否等于 f(x)或 f(x)： 若 f( x) f(x)，则 f(x)为奇函数； 若 f( x)
2、 f(x)，则 f(x)为偶函数； 若 f( x) f(x)且 f( x) f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数； 若 f( x) f(x)且 f( x) f(x)，则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数 3函数的周期性 (1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在非零实数 T，对定义域内的任意一个 x，都有 f(x T) f(x)，就把 f(x)称为周期函数， T 称为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所 有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期 知识拓展 1函数奇偶性常用结论 (1)如果函数 f(x)是偶
3、函数，那么 f(x) f(|x|) (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 (3)在公共定义域内有：奇 奇奇，偶 偶偶，奇 奇偶，偶 偶偶，奇 偶奇 2函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(x a) f(x)，则 T 2a(a 0) =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若 f(x a) 1f x ，则 T 2a(a 0) (3)若 f(x a) 1f x ，则 T 2a(a 0) 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)偶函数图像不一定过原点，奇函
4、数的图像一定过原点 ( ) (2)若函数 y f(x a)是偶函数，则函数 y f(x)关于直线 x a 对称 ( ) (3)若函数 y f(x b)是奇函数，则函数 y f(x)关于点 (b,0)中心对称 ( ) (4)函数 f(x)在定义域上满足 f(x a) f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a 0)的周期函数 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2已知 f(x) ax2 bx 是定义在 a 1,2a上的偶函数，那么 a b 的值是 ( ) A 13 B 13 C 12 D 12 B 依题意 b 0，且 2a (a 1)， b 0 且 a 13，则 a b 13. 3 (2
5、015 广东高考 )下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ( ) A y x sin 2x B y x2 cos x C y 2x 12x D y x2 sin x D A 项，定义域为 R， f( x) x sin 2x f(x)，为奇函数，故不符合题意； B 项，定义域为 R， f( x) x2 cos x f(x)，为偶函数，故不符合题意； C 项，定义域为 R， f( x) 2 x 12 x 2x 12x f(x)，为偶函数，故不符合题意； D 项，定义 域为 R， f( x) x2 sin x， f(x) x2 sin x，因为 f( x) f(x)，且 f( x) f(x)，
6、故为非奇非偶函数 4 (2017 全国卷 )已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x ( ， 0)时， f(x) 2x3 x2，则 f(2) _. 12 法一：令 x 0，则 x 0. f( x) 2x3 x2. 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f( x) f(x) =【 ;精品教育资源文库 】 = f(x) 2x3 x2(x 0) f(2) 22 3 22 12. 法 二： f(2) f( 2) 2( 2)3 ( 2)2 12. 5 (教材改编 )已知函数 f(x)是奇函数，在 (0， ) 上是减函数，且在区间 a， b(a b0)上的值域为 3,4，则在区间 b， a上
7、 ( ) A有最大值 4 B有最小值 4 C有最大值 3 D有最小值 3 B 法一：根据题意作出 y f(x)的简图，由图知，选 B 法二：当 x b， a时， x a， b， 由题意得 f(b) f( x) f(a)， 即 3 f(x)4 ， 4 f(x)3 ， 即在区间 b， a上 f(x)min 4， f(x)max 3，故选 B (对应学生用书第 12 页 ) 函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x) (x 1) 1 x1 x； (2)f(x) lg( 1 4x2 2x)； (3)f(x) 3 x2 x2 3； (4)f(x)? x2 x， x 0，x2 x， x 0.
8、 【导学号： 00090021】 解 (1)由 1 x1 x0 可得函数的定义域为 ( 1,1 函数定义域不关于原点对称， 函数为非奇非偶函数 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)函数的定义域为 R，且 f( x) lg( 1 4x2 2x) lg? ?11 4x2 2x lg( 1 4x2 2x) f(x) 故原函数为奇函数 (3)由? 3 x20 ，x2 30 ， 得 x2 3， x 3， 即函数 f(x)的定义域为 3， 3， 从而 f(x) 3 x2 x2 3 0. 因此 f( x) f(x)且 f( x) f(x)， 函数 f(x)既是奇函数又是偶函数 (4)易知函数的定义域为
9、( ， 0) (0， ) ，关于原点对称，又当 x 0 时， f(x)x2 x， 则当 x 0 时， x 0， 故 f( x) x2 x f(x)； 当 x 0 时， f(x) x2 x，则当 x 0 时， x 0， 故 f( x) x2 x f(x)，故原函数是偶函数 规律方法 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤： 2判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f( x)与 f(x)的关系，只有对各段上的 x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图像进行判断 变式训练 1 (1)(2018 商丘模拟 )已知函数 f(x) ln(e x) ln(e x)，则 f(x)是 ( ) A奇函
10、数，且在 (0， e)上是增加的 B奇函数，且在 (0， e)上是减少的 C偶函数，且在 (0， e)上是增加的 D偶函数，且在 (0， e)上是减少的 (2)(2014 全国卷 )设函数 f(x)， g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是 ( ) 【导学号： 00090022】 A f(x)g(x)是偶函数 =【 ;精品教育资源文库 】 = B |f(x)|g(x)是奇函数 C f(x)|g(x)|是奇函数 D |f(x)g(x)|是奇函数 (1)D (2)C (1)f(x)的定义域为 ( e， e)，关于原点对称 f( x) ln(e x)
11、 ln(e x) f(x)， 函数 f(x)是偶函数 又 f(x) ln(e2 x2)，所以 f(x)在 (0， e)上是减少的 (2)A：令 h(x) f(x) g(x)，则 h( x) f( x) g( x) f(x) g(x) h(x)， h(x)是奇函数， A 错 B：令 h(x) |f(x)|g(x)，则 h( x) |f( x)|g( x) | f(x)| g(x) |f(x)|g(x) h(x)， h(x)是偶函数， B 错 C：令 h(x) f(x)|g(x)|，则 h( x) f( x)|g( x)| f(x)| g(x)| h(x)， h(x)是奇函数， C 正确 D：令
12、h(x) |f(x) g(x)|，则 h( x) |f( x) g( x)| | f(x) g(x)|f(x) g(x)| h(x)， h(x)是偶函数， D 错 函数奇偶性的应用 (1)(2015 全国卷 )若函数 f(x) xln(x a x2)为偶函数，则 a _. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f(x) x2 4x，则 f(x) _. (1)1 (2)? x2 4x， x 0，0， x 0， x2 4x， x 0(1) f(x)为偶函数， f( x) f(x) 0 恒成立， xln( x a x2) xln(x a x2) 0 恒成立， xln a 0
13、 恒成立， ln a 0，即 a 1. (2) f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(0) 0. 又当 x 0 时， x 0， f( x) x2 4x.又 f(x)为奇函数， f( x) f(x)， 即 f(x) x2 4x(x 0)， f(x)? x2 4x， x 0，0， x 0， x2 4x， x 0. 规律方法 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据 f(x) f(x) 0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程 (组 )，进而得出参=【 ;精品教育资源文库 】 = 数的值 2已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，
14、再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关 于 f(x)的方程 (组 )，从而可得 f(x)的值或解析式 变式训练 2 (1)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数当 x0 时， f(x) 2x 2x b(b 为常数 )，则 f( 1) ( ) A 3 B 1 C 1 D 3 (2)(2018 青岛模拟 )若 f(x) ln(e3x 1) ax 是偶函数，则 a _. (1)A (2) 32 (1)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以有 f(0) 20 20 b 0，解得 b 1，所以当 x0 时， f(x) 2x 2x 1，所以 f( 1) f(1) (21 21 1) 3. (2)f(
15、 x) ln(e 3x 1) ax ln1 e3xe3x ax ln(1 e3x) 3x ax，依题意得，对任意 x R，都有 f( x) f(x)，即 ln(1 e3x) 3x ax ln(1 e3x) ax， 化简得 2ax 3x 0(x R)，因此 2a 3 0，解得 a 32. 函数的周期性及其应用 (1)(2017 山东高考 )已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x 4) f(x 2)若当 x 3,0时， f(x) 6 x，则 f(919) _. (2)设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x 2) f(x)，且当 x 0,2)时， f(x) 2x x2，则f(0) f(1) f(2) ? f(2 017) _. (1)6 (2)1 009 (1) f(x 4) f(x 2)， f(x 2) 4) f(x 2) 2)，即 f(x
