1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第五节 垂直关系 考纲传真 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理 .2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 (对应学生用书第 104 页 ) 基础知识填充 1直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线 l 与平面 内的 任何 直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直 ?l al ba b Oa b ?l 性质定理 两直线垂直于同一个
2、平面，那么这两条直线 平行 ?a b ?a b 2平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角 ，就说这两个平面互相垂直 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面经过另一个平面的一条 垂线 ，则这 两个平面互相垂直 ?l l ? =【 ;精品教育资源文库 】 = 性质定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们 交线 的直线 垂直 于另一个平面 ? al al ?l 知识拓展 1若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 2一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直 3
3、两个相交平面同时垂直于第三个平 面，它们的交线也垂直于第三个平面 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l .( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行 ( ) (3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 ( ) (4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )设 ， 是两个不同的平面， l， m 是两条不同的直线，且 l ， m .( ) A若 l ，则 B若 ，则 l m C若 l ，则 D
4、若 ，则 l m A l ， l ， (面面垂直的判定定理 )，故 A 正确 3 (2016 浙江高考 )已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线 m， n 满足 m ， n ，则 ( ) A m l B m n C n l D m n C l， l . n ， n l. 4如图 751，已知 PA 平面 ABC， BC AC，则图中直角三角形的个数为 _. 【导学号： 00090253】 图 751 4 PA 平面 ABC， =【 ;精品教育资源文库 】 = PA AB， PA AC， PA BC， 则 PAB， PAC 为直角三角形 由 BC AC，且 AC PA A， BC 平面 P
5、AC，从而 BC PC 因此 ABC， PBC 也是直角三角形 5边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，则折叠后 AC 的长为 _ a 如图所示，取 BD 的中点 O，连接 A O， CO， 则 A OC 是二面角 A BDC 的平面角 即 A OC 90 ，又 A O CO 22 a， A C a22a22 a，即折叠后 AC 的长 (A C)为 A (对应学生用书第 105 页 ) 线面垂直的判定与性质 如图 752 所示，在四棱锥 PABCD 中， PA 底面 ABCD， AB AD， AC CD， ABC60 ， PA AB BC， E 是 PC 的中点证明：
6、图 752 (1)CD AE； (2)PD 平面 ABE. 证明 (1)在四棱锥 PABCD 中， PA 平面 ABCD， CD 平面 ABCD， PA CD 又 AC CD，且 PA AC A， CD 平面 PAC 而 AE 平面 PAC， CD AE. (2)由 PA AB BC， ABC 60 ，可得 AC PA =【 ;精品教育资源文库 】 = E 是 PC 的中点， AE PC 由 (1)知 AE CD，且 PC CD C， AE 平面 PCD 又 PD 平面 PCD， AE PD PA 底面 ABCD， PA AB 又 AB AD，且 PA AD A， AB 平面 PAD，而 PD
7、 平面 PAD， AB PD 又 AB AE A， PD 平面 ABE. 规律方法 1证明直线与平面垂 直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理 (2)利用 “ 两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直 ” (3)利用 “ 一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直 ” (4)利用面面垂直的性质定理 2证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系 (2)利用等腰三角形底边中线的性质 (3)利用勾股定理的逆定理 (4)利用直线与平面垂直的性质 变式训练 1 如图 753 所示，在四棱锥 PABCD 中， AB 平面 PAD， AB CD， PD AD， E是 P
8、B 的中点， F 是 DC 上 的点，且 DF 12AB， PH 为 PAD 中 AD 边上的高 图 753 (1)证明： PH 平面 ABCD； (2)证明： EF 平面 PAB 证明 (1)因为 AB 平面 PAD， PH 平面 PAD，所以 PH AB 因为 PH 为 PAD 中 AD 边上的高，所以 PH AD 因为 AB AD A， AB， AD 平面 ABCD， 所以 PH 平面 ABCD (2)如图所示，取 PA 的中点 M，连接 MD， ME. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 E 是 PB 的中点，所以 ME 綊 12AB 又因为 DF 綊 12AB， 所以 ME 綊
9、DF， 所以四边形 MEFD 是平行四边形， 所以 EF MD 因为 PD AD，所以 MD PA 因为 AB 平面 PAD，所以 MD AB 因为 PA AB A，所以 MD 平面 PAB， 所以 EF 平面 PAB 面面垂直的判定与性质 (2017 郑州调研 )如图 754，三棱台 DEFABC 中， AB 2DE， G， H 分别为 AC， BC的中点 图 754 (1)求证： BD 平面 FGH； (2)若 CF BC， AB BC，求证：平面 BCD 平面 EGH. 证明 (1)如图所示，连接 DG， CD，设 CD GF M， 连接 MH. 1 分 在三棱台 DEFABC 中， =
10、【 ;精品教育资源文库 】 = AB 2DE， G 为 AC 的中点， 可得 DF GC， DF GC， 所以四边形 DFCG 为平行四边形 3 分 则 M 为 CD 的中点， 又 H 为 BC 的中点， 所以 HM BD， 由于 HM 平面 FGH， BD 平面 FGH， 故 BD 平面 FGH. 5 分 (2)连接 HE， GE， CD， 因为 G， H 分别为 AC， BC 的中点， 所以 GH AB 6 分 由 AB BC，得 GH BC 又 H 为 BC 的中点， 所以 EF HC， EF HC， 因此四边形 EFCH 是平行四边 形， 所以 CF HE. 10 分 由于 CF BC
11、，所以 HE BC 又 HE， GH 平面 EGH， HE GH H. 所以 BC 平面 EGH. 又 BC 平面 BCD， 所以平面 BCD 平面 EGH. 12 分 规律方法 1.面面垂直的证明的两种思路： (1)用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线； (2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题 2垂直问题的转化关系： 变式训练 2 (2017 全国卷 )如图 755，在四棱锥 PABCD 中， AB CD，且 BAP CDP 90 。 (1)证明：平面 PAB 平面 PAD； =【 ;精品教育
12、资源文库 】 = (2)若 PA PD AB DC， APD 90 ，且四棱锥 PABCD 的体积为 83，求该四棱锥的侧面积 图 755 解 (1)证明：由已知 BAP CDP 90 ， 得 AB AP， CD PD 由于 AB CD，故 AB PD，从而 AB 平面 PAD 2 分 又 AB 平面 PAB， 所以平面 PAB 平面 PAD 4 分 (2)如图，在平面 PAD 内作 PE AD， 垂足为 E. 由 (1)知， AB 平面 PAD，故 AB PE， AB AD， 可得 PE 平面 ABCD 6 分 设 AB x，则由已知可得 AD 2x， PE 22 x. 故四棱锥 PABCD
13、 的体积 VPABCD 13AB AD PE 13x3. 8 分 由题设得 13x3 83，故 x 2. 从而结合已知可得 PA PD AB DC 2， AD BC 2 2， PB PC 2 2. 10 分 可得四棱锥 PABCD 的侧面积为 12PA PD 12PA AB 12PD DC 12BC2sin 60 6 2 3. 12 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = 平行与垂直的综合问题 角度 1 多面体中平行与垂直关系的证明 (2018 潍坊模拟 )在如图 756 所示的空间几何体中， EC 平面 ABCD，四边形ABCD 是菱形， CE BF，且 CE 2BF， G， H， P 分别为
14、 AF， DE， AE 的 中点求证： (1)GH 平面 BCEF； (2)FP 平面 ACE. 【导学号： 00090254】 图 756 证明 (1)取 EC 中点 M， FB 中点 N，连接 HM， GN. 则 HM 綊 12DC， GN 綊 12AB， 2 分 AB CD， AB CD， HM 綊 GN， HMNG 是平行四边形， GH MN， 4 分 GH 平面 BCEF， MN 平面 BCEF， GH 平面 BCEF； 6 分 (2)连接 BD，与 AC 交于 O，连接 OP，则 OP 綊 FB， PFBO 是平行四边形， 8 分 PF BO， BO AC， BO EC， AC EC C， BO 平面 ACE， 10 分 FP 平面 ACE. 12 分 规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化 2垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用 角度 2 平行垂直中探索开放问题 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2017
