1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第八节 曲线与方程 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 .2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法 .3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程 (对应学生用书第 146 页 ) 基础知识填充 1曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程 f(x， y) 0 的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个 方程的解 (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上的点 那么，这条曲线 叫作方程的曲线；这个方程叫作曲线的方程 2求动
2、点轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对 (x， y)表示曲线上任意一点 M 的坐标 (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P M|p(M) (3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x， y) 0. (4)化方程 f(x， y) 0 为最简形式 (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 3圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为 定值 e. (1)当 0 e 1 时，圆锥曲线是椭圆 (2)当 e 1 时，圆锥曲 线是双曲线 (3)当 e 1 时，圆锥曲线是抛物线 4两曲线的交点 设曲线 C1的方程为 f1(x， y) 0
3、，曲线 C2的方程为 g(x， y) 0，则 (1)曲线 C1， C2的任意一个交点坐标都满足方程组? f1(x， y) 0，g(x， y) 0. (2)反之，上述方程组的任何一组实数解都对应着两条曲线某一个交点的坐标 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)f(x0， y0) 0 是点 P(x0， y0)在曲线 f(x， y) 0 上的充要条件 ( ) (2)方程 x2 xy x 的曲线是一个点和一条直线 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的 ( ) (4)方程 y x与 x y2表示同一曲
4、线 ( ) 解析 对于 (2)，由方程得 x(x y 1) 0，即 x 0 或 x y 1 0，所以方程表示两条直线，错误；对于 (3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于 (4)，曲线 y x是曲线 x y2的一部分，错误 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教 材改编 )已知点 F? ?14， 0 ，直线 l： x 14，点 B 是 l 上的动点若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是 ( ) A双曲线 B椭圆 C圆 D抛物线 D 由已知 |MF| |MB|，根据抛物线的定义知，点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的
5、抛物线 3已知点 F(0,1)，直线 l： y 1， P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且 QP QF FP FQ ，则动点 P 的轨迹 C 的方程为 ( ) A x2 4y B y2 3x C x2 2y D y2 4x A 设点 P(x， y)，则 Q(x， 1) QP QF FP FQ ， (0 ， y 1)( x,2) (x， y 1)( x， 2)， 即 2(y 1) x2 2(y 1)，整理得 x2 4y， 动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2 4y.故选 A 4已知 ABC 的顶点 B(0,0)， C(5,0)， AB 边上的中线长 |CD| 3，则顶
6、点 A 的轨迹方程为_ (x 10)2 y2 36(y0) 设 A(x， y)， 则 D? ?x2， y2 | CD| ? ?x2 52 y24 3， 化简得 (x 10)2 y2 36，由于 A， B， C 三点构成三角形， A 不能落在 x 轴上，即 y0. 5过椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，则线段 MN 中点的轨迹方程是 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = x2a24y2b2 1 设 MN 的中点为 P(x， y)，则点 M(x,2y)，又点 M 在椭圆上， x2a2(2y)2b2 1，即所求的轨迹方程为 x2a24y2b2 1.
7、 (对应学生用书第 147 页 ) 直接法求轨迹方程 设 F(1,0)， M 点在 x 轴上， P 点在 y 轴上，且 MN 2MP ， PM PF ，当点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程 . 【导学号： 79140299】 解 设 M(x0,0)， P(0， y0)， N(x， y)， PM PF ， PM (x0， y0)， PF (1， y0)， ( x0， y0)(1 ， y0) 0， x0 y20 0. 由 MN 2MP 得 (x x0， y) 2( x0， y0)， ? x x0 2x0，y 2y0， 即 ? x0 x，y0 12y， x y24 0，即 y2 4x.
8、 故所求的点 N 的轨迹方程是 y2 4x. 规律方法 用直接法求曲线方程的关键是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，但要注意翻译的等价性 .通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略 . 跟踪训练 (1)设点 A 为圆 (x 1)2 y2 1 上的动点， PA 是圆的切线，且 |PA| 1，则 P点的轨迹方程为 ( ) A y2 2x B (x 1)2 y2 4 C y2 2x D (x 1)2 y2 2 (2)已知 M( 2,0)， N(2,0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程为 ( ) A x2 y2 2 B x2 y2
9、4 C x2 y2 2(x2) D x2 y2 4(x2) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)D (2)D (1)如图，设 P(x， y)，圆心为 M(1,0)连接 MA， PM，则 MA PA，且|MA| 1， 又 | PA| 1， | PM| |MA|2 |PA|2 2，即 |PM|2 2， ( x 1)2 y2 2. (2)设 P(x， y)， MPN 为以 MN 为斜边的直角三角形， | MP|2 |NP|2 |MN|2， ( x 2)2 y2 (x 2)2 y2 16， 整理得 x2 y2 4. M， N， P 不共线， x2 ， 轨迹方程为 x2 y2 4(x2) ，故选 D
10、 定义法求轨迹方程 如图 881 所示，已知点 C 为圆 (x 2)2 y2 4 的圆心，点 A( 2， 0) P 是圆上的动 点，点 Q 在圆的半径 CP 所在的直线上，且 MQ AP 0， AP 2 AM .当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程 图 881 解 由 (x 2)2 y2 4 知圆心 C( 2， 0)，半径 r 2. MQ AP 0， AP 2AM ， MQ AP，点 M 为 AP 的中点， 因此 QM 垂直平分线段 AP. 如图，连接 AQ，则 |AQ| |QP|， =【 ;精品教育资源文库 】 = | QC| |QA| |QC| |QP| |CP| 2. 又 |AC
11、| 2 22， 根据双曲线的定义，点 Q 的轨迹是以 C( 2， 0)， A( 2， 0)为焦点，实轴长为 2 的双曲线 由 c 2， a 1，得 b2 1， 因此点 Q 的轨迹方程为 x2 y2 1. 若将本例中的条件 “ 圆 C 的方程 (x 2)2 y2 4” 改为 “ 圆 C 的方程 (x 2)2 y2 16” ，其他条件不变，求点 Q 的轨迹方程 解 由 (x 2)2 y2 16 知圆心 C( 2， 0)，半径 r 4. MQ AP 0， AP 2 AM ， QM 垂直平分 AP，连接 AQ， 则 |AQ| |QP|， | QC| |QA| |QC| |QP| r 4. 根据椭圆定义
12、，点 Q 的轨迹是以 C( 2， 0)， A( 2， 0)为焦点，长轴长为 4 的椭圆 由 c 2， a 2，得 b 2. 因此点 Q 的轨迹方程为 x24y22 1. 规律方法 定义法求轨迹方程的方法、关键及注意点 求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程 . 关键：理解解 析几何中有关曲线的定义是解题关键 . 利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，=【 ;精品教育资源文库 】 = 如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 x 或 y 进行限制 . 跟踪训练 (1)若动点 M
13、(x， y)到点 F(4,0)的距离比它到直线 x 5 的距离小 1，则点 M的轨迹方程是 ( ) A x 4 B x 4 C y2 8x D y2 16x (2)已知 A( 5,0)， B(5,0)，动点 P 满足 |PB |， 12|PA |， 8 成等差数列，则点 P 的轨迹方程为 _ (1)D (2)x216y29 1(x4) (1)依题意可知点 M 到点 F 的距离等于点 M 到直线 x 4 的距离，因此点 M 的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上， p 8，所以点 M 的轨迹的方程为 y2 16x，故选 D (2)由已知得 |PA | |PB | 8， 所以点 P
14、的轨迹是以 A， B 为焦点的双曲线的右支， 且 a 4， b 3， c 5， 所以点 P 的轨迹方程为 x216y29 1(x4) 相关点 (代入 )法求轨迹方程 (2017 全国卷 ) 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： x22 y2 1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 NP 2NM . (1)求点 P 的轨迹方程； (2)设点 Q 在直线 x 3 上，且 OP PQ 1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C的左焦点 F. 解 (1)设 P(x， y)， M(x0， y0)， 则 N(x0,0)， NP (x x0， y)， NM (0， y0
15、) 由 NP 2NM 得 x0 x， y0 22 y. 因为 M(x0， y0)在 C 上，所以 x22y22 1. 因此点 P 的轨迹方程为 x2 y2 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)证明：由题意知 F( 1,0)设 Q( 3， t)， P(m， n)，则 OQ ( 3， t)， PF ( 1 m， n)， OQ PF 3 3m tn， OP (m， n)， PQ ( 3 m， t n) 由 OP PQ 1 得 3m m2 tn n2 1， 又由 (1)知 m2 n2 2，故 3 3m tn 0. 所以 OQ PF 0，即 OQ PF . 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 规律方法 “ 相关点法 ” 求轨迹方程的基本步骤 设点：设被动点坐标为 x
