1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (二十五 ) 解三角形实际应用举例 A 组 基础达标 一、选择题 1如图 388，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40 ，灯塔 B 在观察站南偏东 60 ，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ( ) 图 388 A北偏东 10 B北偏西 10 C南偏东 80 D南偏西 80 D 由条件及题图可知， A B 40 ，又 BCD 60 ，所以 CBD 30 ，所以 DBA 10 ，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80. 2如图 389 所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距 离都等于 a km，
2、灯塔 A 在观察站 C的北偏东 20 ，灯塔 B在观察站 C的南偏东 40 ，则灯塔 A与灯塔 B的距离为 ( ) 图 389 A a km B. 3a km C. 2a km D 2a km B 在 ABC 中， AC BC a， ACB 120 ， AB2 a2 a2 2a2cos 120 3a2， AB 3a. 3如图 3810，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，测得 BCD 15 ， BDC 30 ， CD 30 m，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60 ，则塔高 AB 等于 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 3810 A
3、 5 6 m B 15 3 m C 5 2 m D 15 6 m D 在 BCD 中， CBD 180 15 30 135. 由正弦定理得 BCsin 30 30sin 135 ， 解得 BC 15 2(m) 在 Rt ABC 中， AB BCtan ACB 15 2 3 15 6(m) 4如图 3811，一条河的两岸平行，河的宽度 d 0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB 1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为 ( ) 【导学号： 79140138】 图 3811 A 8
4、km/h B 6 2 km/h C 2 34 km/h D 10 km/h B 设 AB 与河岸线所成的角为 ，客船在静水中的 速度为 v km/h，由题意知， sin 0.61 35，从而 cos 45，所以由余弦定理得 ?110v2 ? ?11022 12 2 11021 45，解得 v 6 2. 5如图 3812，在塔底 D 的正西方 A 处测得塔顶的仰角为 45 ，在塔底 D 的南偏东 60的 B 处测得塔顶的仰角为 30 ， A、 B 的距离是 84 m，则塔高 CD 为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 3812 A 24 m B 12 5 m C 12 7 m D 3
5、6 m C 设塔高 CD x m， 则 AD x m， DB 3x m. 又由题意得 ADB 90 60 150 ， 在 ABD 中，利用余弦定理，得 842 x2 ( 3x)2 2 3 x2cos 150 ， 解得 x 12 7(负值舍去 )，故塔高为 12 7 m 二、填空题 6已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80 处，且 A 到 C 的距离为 2 km， B 船在灯塔 C 北偏西 40 ，A， B 两船的距离为 3 km，则 B 到 C 的距离为 _ km. 6 1 如图，由条件知， ACB 80 40 120 ， 设 BC x km， 则由余弦定理知 9 x2 4 4xcos 120
6、， x 0， x 6 1. 7在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与 塔底的俯角分别为 30 ， 60 ，则塔高是 _ m. 4003 如图，设塔 AB 高为 h， 在 Rt CDB 中， CD 200 m， BCD 90 60 30 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = BC 200cos 30 400 33 (m) 在 ABC 中， ABC BCD 30 ， ACB 60 30 30 ， BAC 120. 在 ABC 中，由正弦定理得 BCsin 120 ABsin 30 ， AB BCsin 30sin 120 4003 (m) 8 (2018 福州质检 )如图 3813，小明同学
7、在山顶 A 处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在 A 处测得公路上 B， C 两点的俯角分别为 30 ， 45 ，且 BAC 135. 若山高 AD 100 m，汽车从 B 点到 C 点历时 14 s，则这辆汽车的速度为_ m/s(精确到 0.1)参考数据： 21.414 ， 52.236. 【导学号： 79140139】 图 3813 22.6 由题意可得 AB 200， AC 100 2，在 ABC 中，由余弦定理可得 BC2 AB2AC2 2AB ACcos BAC 105，则 BC 100 10141.42.236 ，又历时 14 s，所以速度为 BC1422.6
8、 m/s. 三、解答题 9如图 3814，航空测量组驾驶飞机飞行的航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为 10 000 m，速度为 50 m/s，某一时刻飞机看山顶的俯角为 15 ，经过 420 s后看山顶的俯角为 45 ，求山顶的海拔高度 (取 21.4 ， 31.7) 图 3814 解 如图，作 CD 垂直直线 AB 于点 D， A 15 ， DBC 45 ， ACB 30 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 又在 ABC 中， BCsin A ABsin ACB， AB 50420 21 000， BC 21 00012sin 15 10 500( 6 2) CD AD， C
9、D BCsin DBC 10 500( 6 2) 22 10 500( 3 1)7 350. 故山顶的海拔高度为 10 000 7 350 2 650(m) 10如图 3815，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60 方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以 10 海里 /小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上 图 3815 (1)求渔船甲的速度； (2)求 sin 的值 解 (1)依题意知， BAC 120 ， AB 12， AC 102 20， BCA . 在 ABC 中，由余弦定理，得 BC2 AB
10、2 AC2 2AB ACcos BAC 122 202 21220cos 120 784，解得 BC 28. 所以渔船甲的速度为 BC2 14 海里 /小时 (2)在 ABC 中，因为 AB 12， BAC 120 ， BC 28， BCA ，由正弦定理，得 ABsin BCsin 120 ， 即 sin ABsin 120BC 12 3228 3 314 . B 组 能力提升 11一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45 ，沿点 A 向北偏东 30 前进 100 m=【 ;精品教育资源文库 】 = 到达点
11、B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30 ，则水柱的高度是 ( ) A 50 m B 100 m C 120 m D 150 m A 设水柱高度是 h m，水柱底端为 C(图略 )，则在 ABC 中， A 60 ， AC h， AB 100， BC 3h，根据余弦定理得， ( 3h)2 h2 1002 2 h100cos 60 ，即h2 50h 5 000 0，即 (h 50)(h 100) 0，即 h 50，故水柱的高度是 50 m 12在不等边三角形 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，其中 a 为最大边，如果sin2(B C) sin2B sin2C，则角 A
12、 的取值范围为 ( ) A.? ?0， 2 B ? ? 4 ， 2 C.? ? 6 ， 3 D ? ? 3 ， 2 D 由题意得 sin2A sin2B sin2C， 再由正弦定理得 a2 b2 c2，即 b2 c2 a2 0.则 cos A b2 c2 a22bc 0， 0 A ， 0 A 2. 又 a 为最大边， A 3.因此角 A 的取值范围是 ? ? 3 ， 2 . 13如图 3816，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得M 点的仰角 MAN 60 ， C 点的仰角 CAB 45 以及 MAC 75 ；从 C 点测得 MCA 60. 已知山高 B
13、C 100 m，则山高 MN _m. 图 3816 150 根据 题图， AC 100 2 m. 在 MAC 中， CMA 180 75 60 45. 由正弦定理得 ACsin 45 AMsin 60 ?AM 100 3 m. 在 AMN 中， MNAM sin 60 ， MN 100 3 32 150(m) 14 “ 德是 ” 号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回=【 ;精品教育资源文库 】 = 舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救 援中心，如图 3817(记为 B， C， D)当返回舱在距地面 1 万米的 P 点时 (假定以后垂直下落，并在 A 点着陆
14、 )， C 救援中心测得飞船位于其南偏东 60 方向，仰角为 60 ， B 救援中心测得飞船位于其南偏西 30 方向，仰角为 30 ， D 救援中心测得着陆点 A 位于其正东方向 . 【导学号： 79140140】 图 3817 (1)求 B， C 两救援中心间的距离； (2)求 D 救援中心与着陆点 A 间的距离 解 (1)由题意知 PA AC， PA AB，则 PAC， PAB 均为直角三角形 在 Rt PAC 中， PA 1， PCA 60 ，解得 AC 33 ，在 Rt PAB 中， PA 1， PBA 30 ，解得 AB 3，又 CAB 90 ， BC AC2 AB2 303 万米 (2)sin ACD sin ACB 310， cos ACD 110，又 CAD 30 ， 所以 sin ADC sin(30 ACD) 3 3 12 10 ，在 ADC 中，由正弦定理， ACsin ADCADsin ACD， 得 AD ACsin ACDs
