1、2022-8-51第二章 流体静力学 流体静力学研究流体在静止状态下的受力平衡规律 根据力学平衡条件研究静压强的空间分布规律，确定各种承压面上静压强产生的总压力 2.1 流体静压强特性 2.2 流体平衡微分方程 2.3 重力场中静水压强的分布 2.4 平面上的总压力计算 2.5 曲面上的总压力计算2022-8-522.1 静止流体中应力的特性1、流体静压强的方向沿作用面的内法线方向AppAA0limATAA0limFSpTyTz2022-8-532、静止流体中任一点处的静压强大小与其作用面的方位无关静水压强方向示意静水压强方向示意 hpcpcpccc2022-8-541p2pAp1=p2202
2、2-8-55 任一点静水压强大小与受压面方向无关任一点静水压强大小与受压面方向无关 证证 明明?pypxpz如果能证明，任意点在三个方向的压强相等即可如果能证明，任意点在三个方向的压强相等即可2022-8-56从静止液体中任取一微元四面体，考虑其受力平衡从静止液体中任取一微元四面体，考虑其受力平衡OxyzzxydPndPxdPydPzABC2022-8-57证：表面力 12xxxxdPp dApdydz12yyyydPp dApdxdz12zzzzdPp dApdxdynnndPp dA任取一点O，以包含O点的四面体OABC为研究对象OxyzzxydPndPxdPydPzABC2022-8-5
3、8质量力 16Xdxdydz16Y dxdydz16Z dxdydzxyzOdzdxdyXYZ2022-8-590 xF0yF0zF1cos(,)06xxxnnFp dAp dAn xXdxdydz由于 1cos(,)2nxdAn xdAdydzxOyzdzdxdyn2022-8-5101110226xnpdydzpdydzXdxdydz103xnppXdxxnpp1cos(,)06xxxnnFp dAp dAn xXdxdydz当四面体无限缩小，dx0，于是xOyzdzdxdyn2022-8-511同理 ynppznppxyznpppp(,)pp x y z静水压强是空间点坐标的标量函数 由
4、于O点和四面体是任意选取的，于是命题得证。2022-8-5122.2 流体平衡微分方程流体平衡微分方程的推导 在静止流体中任取一边长为 dx，dy和dz的微元平行六面体的流体微团，该点压强为 pdydzdxxpp21dydzdxxpp21xyzxyzpMM2022-8-51321()()()()()()2ooooof xf xfxxxfxxx点的压强为 1(,)2Mxdx y z()2p dxpx（1）表面力六面体中心点M(x，y，z)的压强为 p根据泰勒级数展开式 3332222d612d212dxxpxxpxxpp略去二阶小量，即2022-8-5141(,)2Mxdx y z点的压强为()
5、2p dxpx()2ABp dxdPpdydzx()2CDp dxdPpdydzx 3332222d612d212dxxpxxpxxpp略去二阶小量，即垂直于轴的后、前两个微元面上的总压力分别为：2022-8-515（2）质量力 XdxdydzYdxdydzZ dxdydzX方向平衡微分方程()()022p dxp dxpdydzpdydzXdxdydzxx10pXx2022-8-516由瑞士学者欧拉于1775年首次导出，称为欧拉平衡微分方程10pXx10pYy10pZz01pf,ZYXf,zyx哈密尔顿算子2022-8-517 平衡微分方程的全微分式(,)WW x y zdWXdxYdyZd
6、z1()pppXdx YdyZdzdxdydzxyz()dpXdxYdyZdzdW？由曲线积分定理知：该式右边成为某个函数全微分的充分必要条件是yZzYzXxZxYyX通过对欧拉平衡微分方程的三个式子进行交叉求偏导数，即可得到上述条件。于是，存在势函数2022-8-518WWWdWdxdydzxyzWXxWYyWZz又于是于是dWdzzWdyyWdxxWZdzYdyXdxdp积分可得(空间任意两点)(00WWpp)(00WWpp2022-8-519 等压面上任意点处的质量力与等压面正交()dpXdx YdyZdz0XdxYdyZdz0f ds 等压面在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面
7、。其中,d ,dzdydxsZYXf2022-8-5202.3 重力场中静水压强的分布 重力场中流体的平衡方程()dpXdxYdyZdz X=Y=0,Z=-g dp=-gdz p=-gz+C pzCgxzzhz0mp0g2022-8-521ooppzzgg()oooppg zzpgh液体静力学基本方程xzzhz0mp0g自由液面条件：z=z0,p=p02022-8-522推论 静压强呈线性变化规律 静压强与液体的体积无关。两点之间的静压强差等于两点竖向单位面积液柱的重量。平衡状态下，液体内任意点压强的变化，等值地传递到其它各点。（帕斯卡原理）2022-8-523 水压机、液压千斤顶、液压制动闸
8、的基本原理F1F2F2F1F1作用下产生的压强11AFp p 等值地传到活塞2上，112121122FAAFAAFpAF2022-8-524 标准大气压 p标准=13.610009.810.76=101.293KN/m2 工程大气压 p工程=10009.8110=98.1KN/m2 当地大气压 pa 压强的计量和表示方法2022-8-525 绝对压强 pabs 相对压强 p 负压 真空 真空压强（真空度）ppaopvApApBpBaabspppppppabsa2022-8-526 重力作用下的等压面条件：重力作用下的等压面条件：连通、同一种液体、水平面连通、同一种液体、水平面 等压面的应用 (
9、a)连通容器连通容器 非等压面非等压面等压面等压面(b)不连通不连通 非等压面非等压面2022-8-527压强的测量 测压管hpaAAph 2022-8-528hpaAAsinpL L2022-8-529 U形水银测压计0Bmppg hga 0Bmpgapg h2022-8-530 压差计hAsABhBhA Am mB BAA ABB BmABABmBABA()()Aphphhhshhpphhs 2022-8-531 倒倒U形压差计形压差计ABhAhshBn nA ABhhhpphphhpnAABBABBBBnAAA2022-8-532 真空计真空计 pA=-hhA2022-8-533gdzd
10、zfdyfdxfdpzyx)(CgzpCpz位置水头Z，压强水头静止液体内各点处,测压管水头等于常数,即相等。Z 单位重量液体所具有的位置势能,位能单位重量液体所具有的压强势能,压能p静止液体内各点处,单位重量流体所具有的势能相等ppo2z2P1/gz1p2/g10 流体静力学基本方程的物理意义和几何意义2022-8-534p能量意义几何意义Z单位重量液体所具有的位置势能，位能位置水头单位重量液体所具有的压强势能，压能压强水头单位重量液体所具有的总势能测压管水头pz 2022-8-535 例：在管道M上装一复式U形水银 测压计，已知测压计上各液面及 A点的标高为：1=1.8m，2=0.6m，3
11、=2.0m，4=1.0m，A=5=1.5m。试确定管中A点压强。解：12323454()()()()Aammppgggg 12343254()()ampgg 2p3p4p5p2022-8-5362101.3274.9376.2/AabspKN m2274.9/ApKN m(1.80.62.0 1.0)(2.00.6 1.5 1.0)ampgg3313.6 109.81 2.2 109.81 1.9ap32274.88 10(/)apN m2022-8-537例.如 图 所 示 容 器，上 层 为 空 气，下 层 为11250kg/m3的 甘 油，中 层 为2834kg/m3的 石 油，试 求：
12、当 测 压 管 中 的 甘 油 表 面 高 程 为9.14m时 压 力 表 的 读 数。GBA空气石油甘油7.623.661.529.14m2022-8-538解：解：作作 等等 压压 面面 1-1，则则 有有)66.362.7()66.314.9(211gpgpGgpgG2196.348.5ggpG2196.348.596.38.934.848.58.912502kN/m8.341GBA空气石油甘油7.623.661.529.14m12022-8-5392.4 平面上的总压力计算 压强分布图2022-8-5402022-8-541适用于上、下边与水面平行的矩形平面上的静水总压力及其作用点位置
13、。Pb 总压力计算的图解法1.静止液体总压力的大小2022-8-542梯形压强分布13eh121223a bbebb2.静止液体总压力的作用点 三角形压强分布总压力的作用线通过压强分布图的形心，作用线和总压力的作用线通过压强分布图的形心，作用线和受压面的交点，即为总压力的作用点。受压面的交点，即为总压力的作用点。2022-8-543静水总压力图的绘制静水总压力图的绘制 按照一定比例，用线段长度代表静水压强的大按照一定比例，用线段长度代表静水压强的大小（以相对压强表示）小（以相对压强表示）用箭头表示静水压强方向，并与作用面垂直用箭头表示静水压强方向，并与作用面垂直 计算压强分布图的面积，再乘宽度
14、计算压强分布图的面积，再乘宽度P=HH2022-8-544计算压强分布图的面积计算压强分布图的面积p=Hp=hHh2022-8-5451.静止液体总压力的大小任意平面上总压力计算的解析法xyohyDycyyccx DDbbaadAPhchD2022-8-546sindPpdAghdAgydAsinAPdPgydAsinAgydAsincgy Acgh Acp A面积矩(静矩)oxyhyDycyyccx DDbbaadAPhchD在平板上任取一微元面积dA，dA中心在水下的深度为h2022-8-5472.静止液体总压力的作用点DAAP yydPypdA1DAyypdAP1sinsinDAcyy
15、gydAgy A21Acy dAy AxcIy A合力矩定理：合力对任一轴的力矩等于各分力对同一轴力矩之和xyhyDycyyccx DDbbaadAPhchD惯性矩2022-8-548 惯性矩的平行移轴定理2xxccIIy AcPp AxcDccIyyy A于是ccxccccxccxDyAyIyAyAyIAyIy2在工程实际中，受压面多为以y轴为对称轴的轴对称面，yD算出后，压力中心D的位置就完全确定。若受压面不是轴对称面，则确定yD后尙需确定xD，可类似上述yD的推导来推出xDAyIxAyIxcxycccxyD2022-8-549如图所示，四个容器装有同一种液体，则液体对容器底部的作用力是相
16、同的，而与容器的形状无关，这一现象称为静水奇象。注意：液体作用在容器上的总压力不要和容器所盛液体的重量相混淆。AAAA1p2p3p4p?静水奇象容器底部的压强1P2P3P4P?液体对容器底部的作用力2022-8-550 由于水平面是水平放置的，压强分布是均匀分布的，那么仅有液体作用在底面为A、液深为h的水平面的总压力：F=ghA 总压力的作用点是水平面面积的形心。可见，仅由液体产生作用在水平平面上的总压力同样只与液体的密度、平面面积和液深有关。静止液体作用在水平平面上的总压力2022-8-551三角形矩形 对通过形心轴的惯性矩Ixc 形心坐标yC 面积A 几何图形名称 h213121bh441
17、r3361bhbh21h322rycyCyxbhcyCxbhcyxrbh园r常见图形的 A、yc 及 Ixc 值2022-8-5523m2mABC油水0.6m2.4mO解：作用在ABC上的合力等于PAB+PBC。求得每一个力和作用点后，利用力矩原理可以确定合力的作用点。例 如图水箱内装油和水，求作用在1.2米宽的侧面ABC上的合力。已知油的密度为800kg/m3。（1）ABAB2bhhgPAB油kN 34.4232.1238.98.0作用点：距油面m 2321ABDhy（2）将作用在水面上的油换算成具有等效深度的水，可以方便地计算PBC。则3米深的油相对于0.832.4米的水。得到所谓虚水面。
18、kN 0.8022.1)14.2(8.91BCcBCbhghP水2022-8-553作用点距离O点m5.322.14.322.14.33121222AyIyycxccD或距离A点m1.45.36.02Dy合力作用点D距离A的距离yD21DBCDABDyPyPyP总合力PPAB+PBC122.34 kN1.480234.4234.12Dym 37.3Dy2022-8-5542.5 曲面上的总压力计算2022-8-555由于曲面各点静水压强方向不同，可以将曲面上静水由于曲面各点静水压强方向不同，可以将曲面上静水总压力分解为水平分力和垂直分力，再合成总压力。总压力分解为水平分力和垂直分力，再合成总压
19、力。1.静水总压力的大小静水总压力在x方向投影cosxxdPghdAghdAxxxxAxAxPdPghdAghdAcxgh APxAxoxzPzdAhAdPzdAdPxdPdAxdAzPx2022-8-556静水总压力在z方向投影 sinzdPghdAzghdAzzzzAPdPghdAzzAghdAgVoxzPzdAhAdPzdAdPxdPdAxdAzPx2022-8-5572.静水总压力的方向22xzPPp静水总压力的大小tanzxPParctanzxPPPxPZPPxPPZ3.静水总压力的作用点总压力P的作用线通过Px 和Pz的交点，P的作用点在其作用线与曲面的交点上。Px作用线通过面积
20、Ax的压力中心。Pz作用线通过压力体的重心，方向铅垂指向受力面。2022-8-558双值曲面+=压力体中含有液体FzV 压力体中不含有液体FzV实压力体虚压力体压力体的绘制实压力体和虚压力体 压力体由三部分构成：（1）曲面本身;（2）通过曲面周界的铅垂面;（3）自由液面或其延续面2022-8-559Px=Px1-Px2=0Px1Px2例例 求水下圆球体表面的压强合力。pa2022-8-560阿基米德浮力定理paVFzFz1Fz231243zzzFFFgVgR2022-8-561例 挡水建筑物一侧挡水，该建筑物为二维曲面（柱面），Zax2，a为常数，试求单位宽度曲面上静水总压力的水平分力Px和铅
21、垂分力Pz以及作用点D。解：zPxPPxyhBAax2OxcxAghP221ghgVPz1 OABgShdzazg021hazg02332ahgh322022-8-562所以有ahPPxz34tan水平力作用线hzD31铅垂力作用线AxdAxDahahhhadxdzxdxdzhazhaz833214120000 2022-8-563则合力作用线为tanDDxxzz于是合力作用点D为tanDDxxzz2axz 2022-8-564例 圆柱形压力水罐半径R0.5m，长l2m，压力表读数pM23.72 kN/m2。求（1）端部平面盖板所受水压力；（2）上、下半圆筒所受水压力；（3）连接螺栓所受总压力
22、。lR2022-8-565解:（1）端部：圆形平面RApPc2RgRpM25.014.35.08.972.23kN47.22（2）上半圆筒0 xp压力体如右图RgphMpzP2T2TgphMpm42.28.972.232022-8-566下半圆筒上上gVPzlRRRhgp221225.014.3215.025.042.28.92kN54.49压力体如右图RgphMpzP2T2TN下下gVPzlRRRhgp22122022-8-567（3）螺栓所受拉力25.014.3215.025.042.28.92kN93.64kNPTz54.49上NPz下或lRggV2下kN54.49N：支座反力，由整体受力得到。RzP2T2TNRzP2T2T2022-8-568曲线积分定理2022-8-569本章作业 第一次：选择题、2.17 第二次：2.21、2.24、2.29
