1、第七章 采样控制系统7.1采样系统的基本概念7.2 信号的采样与保持信号的采样与保持7.3 Z变换理论变换理论7.4离散系统的数学模型离散系统的数学模型7.5 采样系统分析采样系统分析第七章 采样控制系统7.1.1 引言连续控制系统离散控制系统采样控制系统和数字控制系统采样控制系统是指间断地对系统中某些变量进行测量和控制的系统。7.1采样系统的基本概念离散系统离散系统：系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码计算机控制系统的优缺点计算机控制系统的优缺点离散系统类型：离散系统类型：采样系统采样系统 时间离散，数值连续时间离散，数值连续数字系统数字系统 时间离散，数
2、值量化时间离散，数值量化(1)(1)控制计算由程序实现，便于修改，容易实现复杂的控制律；控制计算由程序实现，便于修改，容易实现复杂的控制律；(2)(2)抗干扰性强；抗干扰性强；(3)(3)一机多用，利用率高；一机多用，利用率高；(4)(4)便于联网，实现生产过程的自动化和宏观管理。便于联网，实现生产过程的自动化和宏观管理。(1)(1)采样点间信息丢失，与相同条件下的连续系统相比，性能采样点间信息丢失，与相同条件下的连续系统相比，性能 会有所下降；会有所下降；(2)(2)需附加需附加A/D,D/A转换装置。转换装置。)(sG)(sH)(tr)(te)(ty -st)(te)(*tetK执行电机放
3、大器与s1燃料供应阀11sTes炉炉温 给定信号 误差 信号-电机 转速 阀门 开度计算机控制系统计算机控制系统 计算机控制系统计算机控制系统 analogdigital 计算机控制系统计算机控制系统 计算机控制系统计算机控制系统 analogdigital 字长足够字长足够 认为认为 e*(kt)=e(kt)（1 1）A/D 过程过程 采样采样 时间上离散时间上离散量化量化 数值上离散数值上离散 T T 认为采样瞬时完成认为采样瞬时完成理想采样过程理想采样过程（2 2）计算过程描述）计算过程描述 零阶保持器零阶保持器 (ZOH)（3 3）D/A 过程过程计算机控制系统的描述方法计算机控制系统
4、的描述方法 7.2 7.2 信号的采样与保持信号的采样与保持7.2.1 采样过程s T)(tx)(*txtx(t)t)(*txp)(*tx0TT2T30TT2T3理想采样过程的数学描述：理想采样过程的数学描述：)()()(*tteteT0)()(nTnTtt00*)()()()()()()(nnTnTtnTenTttettete采样信号的采样信号的Laplace变换：变换：000*)()()()()()()(nnTsnnenTenTtLnTenTtnTeLteLsE例1 设 ，求 的L变换 )(1)(tte)(*te)1(1111)()(20*TsTsTsTsTsTsnTseeeeeeenTe
5、sEateteat,0,)(例2 设 为常数，求 的L变换)(*te)1(11)()()(0)(0*TasaTTsTsTasnTasnnTsanTeeeeeeeesE香农采样定理香农采样定理：如果采样器的 输入信号 具有有限带宽，具有最高频率为 的分量，只要采样周期满足以下条件：)(teh)2(hs)(22sThs信号 可以从采样信号 中恢复过来。)(te)(*te信号保持信号保持：D/A转换器的输出信号是台阶型的，在其内部是“保持器”在起作用。每个采样值能保持到下一个采样值到来之前，信号幅值没有变化。2.2.2 香农采样定理采样信号的频谱采样信号的频谱T(t)=njnntsecs=2/T为采
6、样角频率为采样角频率,Cn是傅氏系数是傅氏系数,其值为：其值为：njn*tse)t(eT1)t(e 00nT1dt)t(T1CT(t)=njntseT1)n(j ET1)j(Ens*ns*)jns(ET1)s(E连续信号的频谱为连续信号的频谱为)j(E 采样信号的频谱为采样信号的频谱为)j(E*h-h0)j(E h-h0s2s3s-3s-2s-s)j(E*T1h-h0)j(E*T1s-sh-h0s2s3s-3s-2s-s)j(E*T1s=2h滤波器的宽度满足什么滤波器的宽度满足什么条件时能从条件时能从得到得到)j(E*)j(E?!s 2h或：或：T/h在设计离散系统时，香农采样定理是必须严格遵
7、守的一条准则，因为它指明了从采样信号中不失真地复现原连续信号所必须的理论上的所必须的理论上的最小采样周期T。是等价的。达式与复现出来。采样定理表中可以完满地从采样信号，信号列条件：满足下样周期的频率分量，则只要采并且有直到具有有限带宽，果采样器的输入信号香农采样定理指出：如max*maxmax2)()()(22)/()(stxtxsTTsradtx2s2s0)(jG因此在离散控制系统中，为了不失真地复现采样器输入端原信号，应满足两个主要条件。s21的信号通过，而角频率高于1/2ws的信号均被滤掉。理想滤波器的频率特性采样角频率的选择，应满足香农采样定理。采样信号应通过理想低通滤波器，它只允许角
8、频率低于0)(1)(1)()(khTkTtkTtkTxtx01)()(kTskTshseekTxsX（1）零阶保持器的传递函数零 阶保持器)(tx)(*tx)(*txp)(txh)(1)(*sXsesXTsh7.2.3 信号的保持 零阶保持器的数学模型t0T 2T 3T 4T 5T 6T 7T)(txh)(*txp)(txh零阶保持器传函为零阶保持器传函为sesXsXsGTshh1)()()(*（2）零阶保持器的频率特性jejGjTh1)(0ss2s3)(jGh)(jGh零阶保持器具有如下特性零阶保持器具有如下特性由于幅频特性的幅值随频率值的增大而迅速衰减，说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器
9、，但与理想滤波器特性相比，在 其幅值只有初值的63.7%，且截止频率不止一个，所以零阶2/s 保持器允许主要频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过。由相频特性可见，零阶保持器要产生相角迟后，从而使闭环系统的稳定性变差。定不利。的延迟环节，对系统稳为系统增加一个延迟时间，相当于给上要迟后表明输出比输入在时间其平均响应为梯信号零阶保持器的输出为阶2/2/),2/()(TTTtxtxh低通特性低通特性：相角特性相角特性：时间迟后时间迟后：7.3 Z7.3 Z变换理论变换理论1 Z变换定义离散信号的拉氏变换为0*)()(nnTsenTxsX式中 )()(*txsX上式中各项均含有sTe因子，为便于计算
10、定义一个新变量sTez，其中T为采样周期，z是复数平面上定义的一个复变量通常称为z变换算子。zTsezsTln1 0*00*0*)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(ksKTsKTststkkststkTsteKTxsXedteKTtKTfdttfKTtdteKTtKTxdteKTtKTxdtetxsXKTtKTxttxtxtxtxdtetxsX（质广义脉冲函数的筛选性换为，故采样信号的拉氏变，有号周期采样，成为离散信经过满足采样定理的等连续信号为换的，则拉氏变换定义设连续函数是可拉氏变0ln1*)()()(knzTsznTxsXzX)()()(*tx
11、ZtxZzX记作2 z变换方法（1）级数求和法 级数求和法是直接根据z变换定义将上式写成展开形式021)()2()()0()()(nnnznTxzTxzTxxznTxzX对于常用函数z变换的级数形式都可以写出其闭合形式。（2）部分分式展开法利用部分分式法求z变换时，先求出已知连续时间函数x(t)的拉氏变换X(s)，然后将有理分式函数X(s)展成部分分式之和的形式，最后求出（或查表）给出每一项相应的z变换。变换求已知例zsssX,)1(1)(1.3)(1()1(1)(11;11111)1(1)()(TTTTezzezezzzzzXzezzzszzzszsssssXsX变换为于是变换为的变换为的变
12、换表得：查分式按它的极点展开为部分解：将 niTsssezzsXszXi1)(Re)(关于函数TsezzsX)(在极点处的留数计算方法如下：若若is为单极点为单极点，则，则 )()(lim)(ReTsissssTsezzsXssezzsXsii 若若TsezzsX)(有有ir阶重极点，阶重极点，则则 11)()(lim)!1(1)(ReiiiiirsTrirssisssTdsezzsXssdrezzsXs(3)留数计算法 已知连续信号x(t)的拉氏变换X(s)及它的全部极点,可用下列的留数计算公式求X(z)。例例3.2 已知已知 ，应用留数计算法求，应用留数计算法求X（z）。)1(1)(sss
13、X解：X（s）的极点为单极点：，按计算公式求X（z）1,021ss)(1()1(1)1()1(1lim)1(1lim)1(1Re)1(1Re)(Re)(1010212TTTTssTssTsssTsssisTssezzezezzzzezzsssezzsssezzsssezzsssezzsXszXii例例3.2 已知已知 ，应用留数计算法求，应用留数计算法求X（z）。)1(1)(sssX解：X（s）的极点为单极点：，按计算公式求X（z）1,021ss)(1()1(1)1()1(1lim)1(1lim)1(1Re)1(1Re)(Re)(1010212TTTTssTssTsssTsssisTssezz
14、ezezzzzezzsssezzsssezzsssezzsssezzsXszXii例例 3.3 ttx)(0t，求，求)(tx的的 z变换变换)(zX 解：21)(stLsX X（s）有两个 s=0 的极点，即2,011rs 20220)1(lim1lim)!12(1)(zTzezzdsdezzssdsdzXTssTss 4 z变换性质1)线性定理线性定理 )()()()(),()(),()(21212211zbXzaXtbxtaxZbazXtxZzXtxZ则有，和对于任何常数若2）实数位移定理实数位移定理又称平移定理。实数位移含义，是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干个采样周期，其中向左平
15、移为超前，向右平移为延迟。)()()()()(),()(10nkknnzkTxzXznTtxZzXznTtxZzXtxZ及则有若)()()()()()()()()()(210201020120121zbXzaXzkTxbzkTxazkTbxzkTaxzkTbxkTaxtbxtaxZzkkkkkkkkkk变换定义证明：由3）复域位移定理)()(),()(zeXtxeZzXtxZaTat则若。取代原算子中，以变换表达式的变换，就等于在的乘以指数序列含义是函数zzezXztxzetxaTat)()()(.3.3变换的函数试用复数位移定理计算例zteat22)2)()1()()1()()(,)(aTa
16、TaTaTataTezTzezezeTteZzeXzTztZzXttx根据复数位移定理，有查表知解：令)()()()(00zeXzekTxzkTxetxeZzaTkkaTkkakTat变换定义证明：由4）复数微分定理dzzdXTzttxZzXtxZ)()(),()(则若5）初值定理)(lim)0(,0)(0),()(zXxtxtzXtxZz则时，且当若6）终值定理)()1(lim)()()1(),()(1zXzxzzXzzXtxZz位圆内，则平面的单的全部极点位于且若7）卷积定理)()()()(),()(),()(021212211mmTkTxmTxZzXzXzXtxZzXtxZ则若。试用终值
17、定理确定变换函数为设例)(,)208.0416.0)(1(792.0)(5.322xzzzzzXz1208.0416.0792.0lim)208.0416.0)(1(792.0)1(lim)(221221zzzzzzzzxzz解：由终值定理得 (1)幂级数展开法 由 z 变换表知，z 变换函数 X（z）通常可以表示为按 1z升幂排列的两个多项式之比：)(1)(221122110nmzazazazbzbzbbzXnnmm 其中jiba,均为常系数。通过对上式直接作综合除法，得到按 1z升幂排列的幂级数展开式 5 z5 z反变换反变换 5.1 z反变换定义 5.2 z反变换方法)()(1zXZkT
18、x如果得到的无穷级数是收敛的，则按 z 变换定义可知（0*)()()(kkzkTxtxZzX）上式中的系数 kC（k=0，1，）就 是采样脉冲序列)(*tx的脉冲强度 x（kT）。因此可直接写出)(*tx的脉冲序 列表达式 0*)()(kkkTtCtx 上式就是我们要求的通过 z 反变换得到的离散信号)(*tx。求解时应注意 在进行综合除法之前，必须先将 X（z）的分子，分母多项式按 z 的降幂形式排列。实际应用中，常常只需计算有限的几项就够了。因此用这种方法计算)(*tx最简便，这是这一方法优点之一。要从一组 x（kT）值中求出通项表达式，一般是比较困难的。022110)(kkkkkzczc
19、zczcczX例例 5.1 已知已知 5.05.05.02)(22zzzzzX，试用幂级数法求，试用幂级数法求 X（z）的的 z 反变换。反变换。解：用综合除法得到 321875.025.15.02)(zzzzX 因为 01*)()()()(kkTtkTxzXZtx 又因为 875.0)3(,25.1)2(,5.0)(,2)0(TxTxTxx 所以有 )3(875.0)2(25.1)(5.02)(*TtTtTttx 例例 5.2 设设)(1()1()(aTaTezzzezX，试求，试求 x（kT）。）。解：aTaTaTezBzAezzezzX1)(1(1)(2)部分分式展开法 在z变换表中，所
20、有z变换函数X（z）在其分子上都普遍含有因子z，所以应将X（z）/z展开为部分分式，然后将所得结果每一项都乘以z，即得X（z）的部分分式展开式。经计算有 A=1，B=-1 所以有 aTezzzzX111)(aTezzzzzX1)(查 z 变换表得 )2,1,0(1)(kekTxakT根据 z 变换定义有 0)()(kkzkTxzX 根据柯西留数定理有 nizzkizzXskTx11)(Re)(式中izzkzzXs)(Re1表示1)(kzzX在极点 iz处的留数。关于函数1)(kzzX在极点处的留数计算方法如下计算方法如下：1111111)()(lim)!1(1)(Re)()()(lim)(ReiiiiiiirkrirzzizzkikkizzzzkidzzzXzzdrzzXsrzzXzzXzzzzXsz阶重极点，则有若为单极点，则若（3）留数计算法)(25.0)2)(1()5.0(limRe00kzzzzzzskzz上式中 z=0 的极点只有在 k=0 时存在，当 k 大于 0 时，这个极点就消失了。式中0001)(kkk所以有 kkkkTx)2(75.0)1(5.0)(25.0)(相应的采样函数 0*)()()(kkTtkTxtx
