1、=【 ;精品教育资 源文库 】 = 加练一课 (五 )空间几何体与球的切接问题 时间 / 30分钟 分值 / 80分 一、选择题 (本大题共 11小题 ,每小题 5分 ,共 55分 ,在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 ) 1.球的表面积与它的内接正方体表面积的比值是 ( ) A. B. C. D. 2.棱长分别为 1, ,2 的长方体的 8个顶点都在球 O的表面上 ,则球 O的体积为 ( ) A. B. 3 C. D. 4 3.棱长为 a 的正方体框架内部放置一个气球 ,使其充气且 尽可能地膨胀 (仍保持为球的形状 ),则气球表面积的最大值为 ( ) A. a2 B. 2
2、a2 C. 3 a2 D. 4 a2 图 J5-1 4.2017潍坊二模 一个几何体的三视图如图 J5-1所示 ,其中俯视图是半径为 r的圆 .若该几何体的体积是 9, 则它的表面积是 ( ) A. 45 B. 36 C. 54 D. 27 5.2017山东、湖北部分重点中学四模 三棱锥 S-ABC的所有顶点都在球 O的表面上 ,SA平面 ABC,AB BC,又 SA=AB=BC=1,则球 O的表面积为 ( ) =【 ;精品教育资 源文库 】 = A. B. C. 3 D. 12 6.2017武汉二调 四棱锥 P-ABCD的三视图如图 J5-2所示 , 图 J5-2 则该四棱锥的外接球的表面积
3、为 ( ) A. B. C. D. 7.2017深圳一调 已知棱长为 2的正方体 ABCD-A1B1C1D1,球 O与该正方体的各个面相切 ,则平面 ACB1截此球所得截面的面积为 ( ) A. B. C. D. 8.2017江西红色七校二联 如图 J5-3,四边形 ABCD是边长为 2的正方形 ,点 E,F分别 为边 BC,CD的中点 ,将 ABE, ECF, FDA分别沿 AE,EF,FA折起 ,使 B,C,D三点重合于点 P,若四面体 PAEF的四个顶点在同一个球面上 ,则该球的表面积是 ( ) =【 ;精品教育资 源文库 】 = 图 J5-3 A. 6 B. 12 C. 18 D. 9
4、 9.2017惠州三调 已知一个底面水平放置的棱长为 4的正四面体内有一小球 O(重量忽略不计 ),现从该正四面体的顶端向内注水 ,小球慢慢上浮 ,若注入的水的体积是该正四面体体积的 时 ,小球与该正四面体各侧面均相切 (与水面也相切 ),则球的表面积等于 ( ) A. B. C. D. 10.2017榆林二模 已知四棱锥 P-ABCD的顶点都在球 O的表面上 ,底面 ABCD为矩形 ,平面PAD底面 ABCD, PAD 为正三角形 ,AB=2AD=4,则球 O的表面积为 ( ) A. B. C. 24 D. 11.如图 J5-4所示 ,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三
5、视图 ,则该几何体的体积为 ( ) 图 J5-4 A. B. 8 +8 C. D. 二、填空题 (本大题共 5小题 ,每小题 5分 ,共 25 分 ) =【 ;精品教育资 源文库 】 = 12.已知一个正 方体的所有顶点在同一个球面上 ,若这个正方体的表面积为 18,则这个球的体积为 . 图 J5-5 13.如图 J5-5,在圆柱 O1O2内有一个球 O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切 .记圆柱 O1O2的体积为 V1,球 O的体积为 V2,则 的值是 . 图 J5-6 14.2017安徽 “皖南八校”二联 如图 J5-6所示 ,在四棱锥 P-ABCD中 ,PA平面 ABCD,四边形 AB
6、CD为正方形 ,PA=AB=2,四棱锥 P-ABCD的五个顶点都在同一个球面上 ,则这个球的表面积是 . 15.2017武汉三模 棱长均相等的四面体 ABCD的外接球的半径为 1,则四面体 ABCD的棱长为 . 16.设 A,B是球 O的球面上两点 ,且 AOB=90, 若点 C为该球面上的动点 ,三棱锥 O-ABC的体积的最大值为 ,则球 O的表面积是 . =【 ;精品教育资 源文库 】 = 加练一课 (五 ) 空间几何体与球的切接问题 1. C 解析 设正方体的边长为 a,则球的半径为 a,所以球的表面积S1=4 R2=4 a2=3 a2,正方体的表面积 S2=6a2,所以所求比值 = .
7、 =【 ;精品教育资 源文库 】 = 2. A 解析 由题意得 ,球的直径是长方体的体对角线长 ,设球的半径为 R,则2R= =2 ,得 R= ,所以球 O的体积 V= R3= ( )3= . 3. B 解析 气球最大时 ,与棱长为 a的正方体框架相切 ,球的直径等于正方体的面对角线 ,即球的直径为 a,半径为 ,故气球表面积的最大值为 4 r2=2 a2. 4. A 解析 该几何体为圆柱中挖去一个半球 ,圆柱的底面半径和高均为 r,半球的半径为r, 该几何体的体积 V= r 2 r- r3= r3=9, r= 3. S 侧 = 2r r=2 r2=18, S 底 = r 2=9, S 半球
8、= 4 r 2=2 r2=18, 该几何体的表面积 S 表 =18 +9 +18 =45 . 5. C 解析 如图所示 ,可将三棱锥扩展为正方体 ,则三棱锥的外接球即为正方体的外接球 ,外接球的直径就是正方体的体对角线的长度 , 球的半径 R= = ,球的表面积为4 R2=4 =3 . 6. C 解析 根据三视图还原四棱锥 P-ABCD的直观图 ,如图所示 .由题意知 ,平面 PAD平面 ABCD, PAD为等腰三角形 ,PA=PD=3,AD=4,四边形 ABCD为矩形 ,CD=2.过 PAD的外心 F作平面 PAD的垂线 ,过矩形 ABCD的中心 H(对角线 AC与 BD的交点 )作平面 A
9、BCD的垂线 ,两条垂=【 ;精品教育资 源文库 】 = 线交于一点 O,则点 O即为四棱锥外接球的球心 .连接 OB,OP,设 OH=x,则OB2=x2+ ,OP2=( -x)2+1.因为 OB2=OP2,所以 x= , OB= = , 该四棱锥的外接球的表面积为 4 OB2= . 7. D 解析 由题意 ,球心 O与 B的距离为 2 = ,B到平面 ACB1的距离为 2 = ,球的半径为 1,球心 O到平面 ACB1的距离为 - = , 平面 ACB1截 此球所得截面圆的半径为 = , 所得截面的面积为 = . 8. A 解析 由题意知 ,PA,PF,PE两两垂直 ,且 PA=2,PE=P
10、F=1,以 PA,PE,PF为共顶点的三条棱构造一个长方体 ,则四面体 PAEF的四个顶点在这个长方体的外接球上 , 这个球的半径R= = , 该球的表面积 S=4 R2=4 =6 . 9. C 解析 由题意 ,没有水的部分的体积是正四面体体积的 . 正四面体的各棱长均为4, 正四面体体积为 42 = , 没有水的部分的体积是 , 设其棱长为 a,则 a2 a= , a=2. 设小球的半径为 r,则 4 22r= ,r= , 球的表面积 S=4 = . =【 ;精品教育资 源文库 】 = 10. B 解析 过 P作 PE AB交球面于 E.连接 BE,CE,则 BE AP,CE DP,则三棱柱
11、 APD-BEC为正三棱柱 . PAD为正三角形 , PAD的外接圆的半径为 , 球 O的半径 R= = . 球 O的表面积 S=4 R2= . 11. A 解析 根据三视图可知 ,该几何体是 个球与一个三棱锥的组合体 .球的半径为 2,三棱锥的底面是等腰直角三角形 ,面积 S= 2 2 =4,高为 2,所以三棱 锥的体积为 4 2= ,故组合体的体积 V= 23+ = ,故选 A. 12. 解析 设正方体的棱长为 a,则 6a 2=18,即 a= . 正方体内接于球 , 球的半径 R= a= , 球的体积 V= = . 13. 解析 设球 O 的半径为 R.因为该球与圆柱的上、下底面及母线均
12、相切 ,所以圆柱的底面圆的半径为 R,圆柱的高为 2R.故圆柱 O1O2的体积 V1=2 R3,球 O的体积 V2= R3,所以= = . 14. 12 解析 由题意得球的半径为 = ,所以球的表面积是4 ( )2=12 . =【 ;精品教育资 源文库 】 = 15. 解析 将正四面体放在棱长为 a的正方体之内 ,使正四面体的棱为正方体的面对角线 ,则正四面体的棱长为 a,且由题意有 a2+a2+a2=22,则 a2= ,所以 a= ,即四面体 ABCD的棱长为 . 16. 36 解析 如图所示 ,当 OC垂直于平面 AOB 时 ,三棱锥 O-ABC的体积最大 .设球 O的半径为 R,此时 V 三棱锥 O-ABC=V 三棱锥 C-AOB= R 2 R= ,解得 R= , 球 O的表面积 S=4 R2=4 =36.
