1、4.4数学归纳法 导学案 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.重点：用数学归纳法证明数学命题 难点：数学归纳法的原理. 数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:归纳奠基证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立归纳递推以当“n=k(kn0,kN*)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.一、 新知探究在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列an的通项公式an=a1+n-1 d等，但并没有给出严
2、格的数学证明，那么，对于这类与正整数n有关的问题，我们怎样证明它对每一个正整数n都成立呢？本节我们就来介绍一种重要的证明方法-数学归纳法探究1. 已知数列an满足，a1 =1, an+1= 12-an (nN*)计算a2， a3， a4，猜想其通项公式，并证明你的猜想.问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？ 我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？问题2
3、：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？探究2. 你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是an =1 (nN*)”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？二二2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222、典例解析例1.用数学归纳法证明：如果an是一个公差为d的等差数列，那么， an= a1 +n-1d 对任何nN*都成立. 用数学归纳法证明恒等
4、式时,应关注以下三点:(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.跟踪训练1求证:1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n(nN*).例2已知数列114,147,1710,1(3n-2)(3n+1),计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.(1)“归纳猜想证明”的一般环节 (2)“归纳猜想证明”的主要题型已知数列的递推公式,求通项或前n项和.由一些恒等式
5、、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.给出一些简单的命题(n=1,2,3,),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.跟踪训练2数列an满足Sn=2n-an(Sn为数列an的前n项和),先计算数列的前4项,再猜想an,并证明. 1.用数学归纳法证明1+a+a2+an+1=1-an+21-a(a1,nN*),在验证n=1成立时,左边计算所得的项是()A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a32.用数学归纳法证明1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是()A.(2k+1)+(2k+2) B.(2
6、k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)3.已知f(n)=1+12+13+1n(nN*),计算得f(2)=32,f(4)2,f(8)52,f(16)3,f(32)72,由此推测,当n2时,有.4.用数学归纳法证明:122+132+1(n+1)212-1n+2.假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是.5.用数学归纳法证明:当n2,nN*时,1-141-19(1-116)(1-1n2)=n+12n.参考答案：知识梳理学习过程一、新知探究探究1. 分析：计算可得a2 =1， a3 =1， a4 =1，再结合a1 =1，由此猜想：
7、a1 =1(nN*)如何证明这个猜想呢？思路1.我们可以从开始一个个往下验证。一般来说，与正整数n有关的命题，当比较小时可以逐个验证，但n当较大时，验证起来会很麻烦。特别当n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的。因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法。问题2： 可以看出，条件（2）给出一个递推根据（关系），当第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下。探究2. （1）第一块骨牌倒下；（2）若第K块骨牌倒下时，则使相邻的第K+1块骨牌也倒下根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。（1）当n=1时猜想成立； a1 =1（2）若n=k时猜想成立, 即ak =1,则当n=k+1时,
8、ak+1= 12-ak =1,猜想也成立，根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立.所以，对于任意正整数n，猜想都成立，即数列an的通项公式是an =1.二、典例解析例1.分析：因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明n=1时命题成立。第二步要明确证明目标，即要证明一个新命题：如果n=k时, 式正确的，那么n=k+1时式也是正确的.证明：（1）当n=k时，左边=a1，右边= a1 +0d=a1,式成立.（2）假设当n=k(kN*)时， 式成立，即ak= a1 +k-1d根据等差数列的定义，有ak+1- ak =d,于是ak+1= ak +d= a1+
9、k-1d+d = a1+ k-1+1d= a1+ k+1-1d即当n=k+1时， 式也成立由（1）（2）可知， 式对任何nN*都成立跟踪训练1证明:当n=1时,左边=1-12=12,右边=12,所以等式成立.假设n=k(kN*)时,1-12+13-14+12k-1-12k=1k+1+1k+2+12k成立.那么当n=k+1时,1-12+13-14+12k-1-12k+12(k+1)-1-12(k+1)=1k+1+1k+2+12k+12k+1-12(k+1)=1k+2+1k+3+12k+12k+1+1k+1-12(k+1)=1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+k+12(k+1),所以
10、n=k+1时,等式也成立.综上所述,对于任何nN*,等式都成立. 例2解:S1=114=14;S2=14+147=27;S3=27+1710=310;S4=310+11013=413.可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1.于是可以猜想Sn=n3n+1.下面我们用数学归纳法证明这个猜想. (1)当n=1时,左边=S1=14,右边=n3n+1=131+1=14,猜想成立.(2)假设当n=k(kN*)时猜想成立,即114+147+1710+1(3k-2)(3k+1)=k3k+1,当n=k+1时,114+147+1710+1(3k-2)(3k+1)+13(
11、k+1)-23(k+1)+1=k3k+1+1(3k+1)(3k+4)=3k2+4k+1(3k+1)(3k+4)=(3k+1)(k+1)(3k+1)(3k+4)=k+13(k+1)+1,所以,当n=k+1时猜想也成立.根据(1)和(2),可知猜想对任何nN*都成立.跟踪训练2 解:由a1=2-a1,得a1=1;由a1+a2=22-a2,得a2=32;由a1+a2+a3=23-a3,得a3=74;由a1+a2+a3+a4=24-a4,得a4=158.猜想an=2n-12n-1.下面证明猜想正确:(1)当n=1时,由上面的计算可知猜想成立.(2)假设当n=k时猜想成立,则有ak=2k-12k-1,当
12、n=k+1时,Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1,ak+1=122(k+1)-Sk=k+1-122k-2k-12k-1=2k+1-12(k+1)-1,所以,当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2)可知,an=2n-12n-1对任意正整数n都成立.达标检测1.解析:当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正确.答案:C2.解析:当n=k时,左边是共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+(2k+1),所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+3+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选C.答案
13、:C3答案:f(2n)n+224.解析:从不等式结构看,左边n=k+1时,最后一项为1(k+2)2,前面的分母的底数是连续的整数,右边n=k+1时,式子为12-1(k+1)+2,即目标不等式为122+132+1(k+2)212-1k+3.答案:122+132+1(k+2)212-1k+35.证明:(1)当n=2时,左边=1-14=34,右边=2+122=34,n=2时等式成立.(2)假设当n=k(k2,kN*)时等式成立,即(1-14)(1-19)(1-116)(1-1k2)=k+12k,那么当n=k+1时, (1-14)(1-19)(1-116)(1-1k2)1-1(k+1)2=k+12k1-1(k+1)2=(k+1)2-12k(k+1)=k+22(k+1)=(k+1)+12(k+1).当n=k+1时,等式也成立.根据(1)和(2)知,对任意n2,nN*,等式都成立.
