1、4.3.2等比数列的前n项和公式 (2) 导学案 1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.重点：等比数列的前n项和公式及其应用 难点：运用等比数列解决实际问题 1. 等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q表示(显然q0 ) 符号语言： anan-1=q(n2,nN*) 2.等差与等比数列3.等比数列的前n项和公式已知量首项a1、公比q(q1)与项数n首项a1、末项an与公比q(q1)首项a1、公比q1求和公式
2、Sn Sn Sn ; na1 一二2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222、典例解析例10. 如图，正方形ABCD 的边长为5cm ，取正方形ABCD 各边的中点E,F,G,H, 作第2个正方形 EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形ABCD 开始，连续10个正方形的面积之和；(2) 如果这个作图
3、过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？典例解析例11. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.解决数列应用题时一是：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题；二是：明确是求an，还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题跟踪训练1. 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展
4、旅游产业据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长14.求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入例12. 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8% ，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1,c2,c3,（1）写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；（2）将（1）中的递推公式表示成cn+1 -k=r(cn-k)的形式，其中k, r为常数；（3）求S10=c1+c2+c3+c10的值（精确到1）.1等比数列a
5、n的公比为q(q1)，则数列a3，a6，a9，a3n，的前n项和为()A. B.C. D.2(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_.3数列，的前n项和为_. 4. 为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2018年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2018年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)国家计划10年后终止该矿区的出口，问2018年最多出口多少吨？(0.9100.35，保留一位小数)（1）掌握用等比数列知识解决增长率等问题的数学模型，尤其要注意公比与项数的选取；（2）根
6、据实际问题，先分清等比数列与等差数列, 再建立不同的数学模型；（3）通过实际问题，发现等差数列与等比数列的不同特点.参考答案：知识梳理学习过程一、典例解析例10. 分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。解：设正方形的面积为a1，后续各正方形的面积依次为a2, a3,an,，则a1=25,由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以ak+1=12ak,因此an，是以25为首项，12为公比的等比数列.设an的前项和为Sn（1）S10=251-12101-12=501-1210=25575512所以，前10个正方形的面积之和为25575512cm2.(
7、2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和a1+a2+a3+an+，而Sn=251-12n1-12=501-12n,随着n的无限增大，12n将趋近于0，Sn将趋近于50.所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.典例解析例11. 分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列。因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算。解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列an ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列bn ， n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 Sn （单位：万吨），则an=20(1+5%)n, bn=6+1.5
8、 n,Sn=a1-b1+a2-b2+an-bn=a1+a2+an-b1+b2+bn=201.05+201.052+201.05n-(7.5+9+6+1.5n)=(201.05)(1-1.05n)1-1.05-n2(7.5+6+1.5n)=4201.05n-34n2-274n-420当n=5时，S5 63.5所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨.跟踪训练1. 解：由题意知第1年投入800万元，第2年投入800万元，第n年投入800n1万元，所以每年的投入资金数构成首项为800，公比为的等比数列所以n年内的总投入Sn800800800n14 000(万元)由题意知，第
9、1年旅游业的收入为400万元，第2年旅游业的收入为400万元，第n年旅游业的收入为400n1万元，所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400，公比为的等比数列所以n年内旅游业的总收入Tn400400400n11 600(万元)故n年内的总投入为4 000万元，n年内旅游业的总收入为1 600万元例12. 分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn+1与cn的关系；（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；（3）利用（2）的结论可得出解答。解（1）由题意，得c1=1200,并且cn+1=1.08cn-100
10、. （2）将cn+1 -k=r(cn-k)化成cn+1=rcn-rk+k. 比较的系数，可得r=1.08,k-rk=-100.解这个方程组，得r=1.08,k=1250.所以（1）中的递推公式可以化为（3）由（2）可知，数列cn-1250是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则(c1-1250)+(c2-1250)+(c3-1250)+ (cn-1250)=-501-1.08101-1.08-724.8.所以S10=c1+c2+c3+c10125010-724.8=11775.711776.达标检测1【答案】C等比数列中，序号成等差数列，则项仍成等比数列，则a3，a6，a3n是等比数列，
11、且首项为a3，公比为q3，再用等比数列的前n项和公式求解，即Sn，故答案为C项2【答案】63通解因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11；当n2时，a1a22a21，解得a22；当n3时，a1a2a32a31，解得a34；当n4时，a1a2a3a42a41，解得a48；当n5时，a1a2a3a4a52a51，解得a516；当n6时，a1a2a3a4a5a62a61，解得a632.所以S61248163263.优解因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11，当n2时，anSnSn12an1(2an11)，所以an2an1，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an2n1，所以S663.3 【答案】n1通项an1前n项和Snnn1.4. 解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1a，公比q110%0.9，ana0.9n1.(2)10年的出口总量S1010a(10.910)S1080，10a(10.910)80，即a，a12.3.故2018年最多出口12.3吨
