1、2.2 基本不等式第2课时 基本不等式的综合应用【学习目标】课程标准学科素养1.能够运用基本不等式解决生活中的最值问题(难点)；2.能够对式子进行变形，构造定值；3.会用基本不等式解决恒成立问题(重点)。1、逻辑推理2、数学运算3、数学建模【自主学习】一基本不等式与最值已知x、y都是正数，1.若积xy等于定值P，那么当x=y时，和xy有最小值_2.若和 xy是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值_二运用基本不等式求最值的三个条件：1.“一正”：x，y必须是 ；2.“二定”：求积xy的最大值时，应看和xy是否为 ；求和xy的最小值时，应看积xy是否为 .3.“三相等”：当且仅当x=y时，等号成
2、立。三通过变形构造定值的方法如果题目中基本不等式不能满足“和为定值”或“积为定值”，就不能直接用基本不等式求最值。需要通过变形，构造定值，常见方法有：配项法；配系数法；分式型基本不等式；常值代换法“1”的代换。【小试牛刀】思辨解析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a0，b0，且ab16，则ab64.()(2)若ab2，则ab的最小值为2.()(3)当x1时，函数yx2，所以函数y的最小值是2.()(4)若xR，则x222.()【经典例题】题型一 利用基本不等式求最值例1 当x0时，y4x的最小值为()A4 B8 C8D16【跟踪训练】1 已知x0，求最大值。思路点拨：利用基本不等式求最值要
3、满足“一正”、“二定”、“三相等”，现在x1时，求函数yx最小值。【跟踪训练】2 若x0，则函数的最小值为_.【跟踪训练】4 已知x0，求y的最大值题型五 变形构造定值常值代换法“1”的代换点拨：对于已知题型，通常采用这种方法。（其中a，b均为正数）例5 。【跟踪训练】5 已知x0，y0且1，则xy的最小值为_.题型六 利用基本不等式解决实际问题例6 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围 36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可
4、使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【跟踪训练】6 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？【当堂达标】1.设x，y为正数，则(xy)的最小值为()A6 B9 C12 D152.若4x0，且满足1，则xy的最大值为_5.已知正数x，y满足xy1，则的最小值为_.6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨7.(1)已知x0，y0，且
5、2x8yxy，求xy的最小值【参考答案】【自主学习】 2P S24 正数 定值 定值【小试牛刀】(1)(2)(3)(4)【经典例题】例1 C 解析：x0，0,4x0.y4x28.当且仅当4x，即x时取最小值8，当x0时，y的最小值为8.【跟踪训练】1 解：x0，通过变形，当且仅当，即时，等号成立，取得最大值。例2 解：通过配项得；当且仅当，即x2时，等号成立，取得最小值3.【跟踪训练】2 1 解析：x3，x30，当且仅当x=1时，等号成立。【跟踪训练】4 解： y.x0，x22，0y1，当且仅当x，即x1时，等号成立故y的最大值为1.例5 解：当且仅当【跟踪训练】5 16 解析：法一(1的代换
6、)：因为1，所以xy(xy)10.因为x0，y0，所以26，当且仅当，即y3x时，取“”.又1，解可得x4，y12.所以当x4，y12时，xy的最小值是16.法二(消元法)：由1，得x.因为x0，y0，所以y9.所以xyyyy1(y9)10.因为y9，所以y90，所以(y9)26.当且仅当y9，即y12时，取“”，此时x4，所以当x4，y12时，xy的最小值是16.例6解：(1)设每间虎笼长x m，宽为y m，则由条件知4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼面积为S，则Sxy.由于2x3y22，218，得xy，即S，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可
7、使面积最大(2)由条件知Sxy24.设钢筋网总长为l，则l4x6y.2x3y2224，l4x6y2(2x3y)48，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小【跟踪训练】6 解设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.由题意可知，面粉的保管等其他费用为36x6(x1)6(x2)619x(x1).设平均每天所支付的总费用为y1元，则y19x(x1)90061 8009x10 809210 80910 989(元)，当且仅当9x，即x10时，等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.【当堂达标】1.B 解析：(xy)xy
8、1452 9.2.D 解析：4x0,当且仅当x1，即x0时等号成立3. B 解析：因为a0，b0，所以2ab0，所以要使恒成立，只需m(2ab)恒成立，而(2ab)41549，当且仅当ab时，等号成立，所以m9.4. 3解析：x，y0，12 ，得xy3，当且仅当即x，y2时，取“”号，xy的最大值为3.5. 解析：正数x，y满足xy1，即有(x2)(y1)4，则(x2)(y1)(54)，当且仅当x2y时，取得最小值.6.20 解析：每年购买次数为次总费用44x2160，当且仅当4x，即x20时等号成立7. 解：(1)x3，x30，y0，x80，y，xyxx(x8)102 1018.当且仅当x8，即x12时，等号成立xy的最小值是18.
