1、7.2.1复数的加、减运算及其几何意义导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.【自主学习】知识点1 复数的加、减法法则及几何意义与运算律z1，z2，z3C，设，分别与复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)相对应，且，不共线加法减法运算法则z1z2(ac)(bd)iz1z2(ac)(bd)i几何意义复数的和z1z2与向量的坐标对应复数的差z1z2与向量的坐标对应运算律交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)【合作探究】探究一 复数加、减法的
2、运算【例1】(1)计算(24i)(34i)；(2)计算(34i)(2i)(15i).解(1)原式(23)(44)i5.(2)原式(321)(415)i22i.归纳总结：【练习1】计算(12i)(23i)(34i)(45i)(2 0112 012i)(2 0122 013i).解方法一原式(12342 0112 012)(23452 0122 013)i1 0061 006i.方法二(12i)(23i)1i，(34i)(45i)1i，(2 0112 012i)(2 0122 013i)1i.将上列1 006个式子累加可得原式1 006(1i)1 0061 006i.探究二 复数加、减法的几何意义
3、【例2】如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,32i，24i.求：(1)所表示的复数，所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)对角线所表示的复数及的长度.解(1)因为0(32i)32i，所以所表示的复数为32i.因为，所以所表示的复数为32i.(2)因为，所以所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)因为对角线，所以所表示的复数为(32i)(24i)16i，所以|.归纳总结：【练习2】满足条件|z1i|43i|的复数z在复平面内对应的点的轨迹是()A.一条直线 B.两条直线C.一个圆 D.一个椭圆【答案】C解析根据复数减法的几何意义，|z1i|表示复平面内复数
4、z对应的点Z到点(1,1)的距离，而|43i|表示复数43i的模，等于5，故满足|z1i|5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(1,1)为圆心，5为半径的圆.探究三 复数加、减法的综合应用【例3】已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.解方法一设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，|z1|z2|z1z2|1，a2b2c2d21，(ac)2(bd)21，由得2ac2bd1，|z1z2|.方法二设O为坐标原点，z1，z2，z1z2对应的点分别为A，B，C.|z1|z2|z1z2|1，OAB是边长为1的正三角形，又以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，四边形OACB是一个内角为6
5、0，边长为1的菱形，且|z1z2|是菱形的较长的对角线OC的长，|z1z2| .归纳总结：【练习3】已知|z1|z2|1，z1z2i，求复数z1，z2及|z1z2|.解由于|z1z2|1，设z1，z2，z1z2对应的向量分别为，则因|1，故A，B，C三点均在以原点为圆心，1为半径的圆上，如图所示，由平行四边形法则和余弦定理易得 cosAOC，故AOC60，所以平行四边形OACB为菱形，且BOC，COA都是等边三角形，即AOB120.又与x轴正半轴的夹角为60，故点A在x轴上，即A(1,0).而xB|cos 120，yB|sin 120，B的坐标为.或方法一|z1z2|.方法二由结论|z1z2|
6、2|z1z2|22(|z1|2|z2|2)知，|z1z2|22|z1|22|z2|2|z1z2|23，|z1z2|.方法三由余弦定理可得|2|2|22|cos 1203，又z1z2，|z1z2|.课后作业A组 基础题一、选择题1.若复数z满足zi33i，则z等于()A.0 B.2iC.6 D.62i【答案】D解析z3i(i3)62i.2.复数ii2在复平面内表示的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B解析ii21i，对应的点在第二象限.3.在复平面内，O是原点，表示的复数分别为2i,32i,15i，则表示的复数为()A.28i B.66iC.44i D.42i【
7、答案】C解析()32i(15i2i)44i.表示的复数为44i.4.若|z1|z1|，则复数z对应的点在()A.实轴上 B.虚轴上C.第一象限 D.第二象限【答案】B解析|z1|z1|，点Z到(1,0)和(1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的中垂线上.5.复数z12i，z22i，则z1z2等于()A.0 B.iC.i D.i【答案】C解析z1z2ii.6.若z32i4i，则z等于()A.1i B.13iC.1i D.13i【答案】B解析z4i(32i)13i.7.复数z13i，z21i，则z1z2等于()A.2 B.22iC.42i D.42i【答案】C8.设z1
8、2bi，z2ai，当z1z20时，复数abi为()A.1i B.2iC.3 D.2i【答案】D解析由得abi2i.二、填空题9.已知复数z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且z1z2为纯虚数，则a .【答案】1解析z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)为纯虚数，解得a1.10.若复数z1z234i，z1z252i，则z1 .【答案】4i解析两式相加得2z182i，z14i.11.若|z2|z2|，则|z1|的最小值是 .【答案】1解析由|z2|z2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(2,0)距离相等的点，即虚轴.|z1|表示z对应的点与(1,0)的距离.|z1|mi
9、n1.12.如果一个复数与它的模的和为5i，那么这个复数是 .【答案】i解析设这个复数为xyi(x，yR)，xyi5i，xyii.三、解答题13计算：(1)(2i)(35i)(43i)；(2)4(512i)i；(3)若z(35i)26i，求复数z.解(1)(2i)(35i)(43i)(234)(153)i37i.(2)4(512i)i(45)(121)i113i.(3)法一：设zxyi(x，yR)，因为z(35i)26i，所以(xyi)(35i)26i，即(x3)(y5)i26i，因此解得于是z511i.法二：由z(35i)26i可得z26i(35i)，所以z(23)(65)i511i.14.
10、已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是13i，i,2i，求点D对应的复数.解方法一设D点对应的复数为xyi(x，yR)，则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，1)，C(2,1).AC中点为，BD中点为.平行四边形对角线互相平分，即点D对应的复数为35i.方法二设D点对应的复数为xyi(x，yR).则对应的复数为(xyi)(13i)(x1)(y3)i，又对应的复数为(2i)(i)22i，由于.(x1)(y3)i22i.即点D对应的复数为35i.B组 能力提升一、选择题1.如果复数z满足|z2i|z2i|4，那么|zi1|的最小值是()A.1 B.C.2 D.
11、【答案】A解析设复数2i,2i，(1i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z2i|z2i|4，Z1Z24，所以复数z的几何意义为线段Z1Z2，如图所示，问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求ZZ3的最小值.因此作Z3Z0Z1Z2于Z0，则Z3与Z0的距离即为所求的最小值，Z0Z31.故选A.2.复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,42i，由ABCD按逆时针顺序作ABCD，则|等于()A.5 B. C. D.【答案】B解析如图，设D(x，y)，F为ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，所以即所以点D对应的复数为z33i，所以(3,3)(1,0)(2,3)，所以|.3设
12、zC，且|z1|zi|0，则|zi|的最小值为()A0B1 C D【答案】C由|z1|zi|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线yx，而|zi|表示直线yx上的点到点(0，1)的距离，其最小值等于点(0，1)到直线yx的距离，即为.4(多选题)已知i为虚数单位，下列说法中正确的是()A若复数z满足|zi|，则复数z对应的点在以(1,0)为圆心，为半径的圆上B若复数z满足z|z|28i，则复数z158iC复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D复数z1对应的向量为，复数z2对应的向量为，若|z1z2|
13、z1z2|，则【答案】CD满足|zi|的复数z对应的点在以(0,1)为圆心，为半径的圆上，A错误；在B中，设zabi(a，bR)，则|z|.由z|z|28i，得abi28i，解得z158i，B错误；由复数的模的定义知C正确；由|z1z2|z1z2|的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确故选CD二、填空题5若复数z满足z|z|34i，则z_.【答案】4i设复数zabi(a，bR)，则所以所以z4i.三、解答题6在复平面内，A，B，C分别对应复数z11i，z25i，z333i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长解如图所示. 对应复
14、数z3z1，对应复数z2z1，对应复数z4z1.由复数加减运算的几何意义，得，z4z1(z2z1)(z3z1)，z4z2z3z1(5i)(33i)(1i)73i.AD的长为|z4z1|(73i)(1i)|62i|2.7.集合Mz|z1|1，zC，Nz|z1i|z2|，zC，集合PMN.(1)指出集合P在复平面上所表示的图形；(2)求集合P中复数模的最大值和最小值.解(1)由|z1|1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z1i|z2|可知，集合N在复平面内所对应点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图所示.(2)圆的方程为x2y22x0，直线l的方程为yx1.解得A(，)，B(，).|OA|，|OB|.点O到直线l的距离为，且过O向l作垂线，垂足在线段BE上，.集合P中复数模的最大值为，最小值为.8在复平面内，A，B，C三点所对应的复数分别为1,2i，12i，其中i为虚数单位(1)求，对应的复数；(2)判断ABC的形状；(3)求ABC的面积解(1)对应的复数为2i11i，对应的复数为12i(2i)3i，对应的复数为12i122i.(2)|，|，|2，|2|2|2，ABC为直角三角形(3)SABC22.
