1、 8.2立体图形的直观图导学案编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【学习目标】1.掌握斜二测画法的步骤2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图【自主学习】知识点1 斜二测画法的步骤1画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴相交于点O，且使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平面2画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段3取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半知识点2 空间几何体直观图的画法1
2、画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴2画平面：平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面3取长度：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变4成图处理：成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线【合作探究】探究一 水平放置的平面图形直观图的画法【例1】如图所示，梯形ABCD中，ABCD，AB4 cm，CD2 cm，DAB30，AD3 cm，试画出它的直观图分析以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系只需确定四个顶点A，B，C，D在直观图中的相应点即可解画法步骤：(1)如图甲所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，
3、建立平面直角坐标系xOy.如图乙所示，画出对应的x轴，y轴，使xOy45.(2)在图甲中，过D点作DEx轴，垂足为E.在x轴上取ABAB4 cm，AEAE2.598(cm)；过点E作EDy轴，使EDED0.75(cm)，再过点D作DCx轴，且使DCDC2 cm.(3)连接AD，BC，并擦去x轴与y轴及其他一些辅助线，如图丙所示，则四边形ABCD就是所求作的直观图归纳总结：在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是
4、平行线.本题中，关键在于点D的位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足E的对应点E，再去确定D的位置【练习1】画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图解：(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使xOy45，如图所示(2)在x轴上截取OBOC0.5 cm，在y轴上截取OAAO cm，连接AB、AC，则ABC即为正三角形ABC的直观图(3)擦去x、y轴得直观图ABC，如图所示探究二 画空间几何体的直观图【例2】用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCDABCD的直观图分析利用画轴
5、、画底面、画侧棱、成图进行作图解(1)画轴如图所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使xOy45，xOz90.(2)画底面以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ cm，分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA、BB、CC、DD.(4)成图顺次连接A、B、C、D，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图)归纳总结：(1)画空间几何体的直
6、观图，可先画出底面的平面图形，然后画出竖轴此外，坐标系的建立要充分利用图形的对称性，以便方便、准确的确定顶点；(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以又快又准的画出【练习2】一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图解：(1)画轴，如图1所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使xOy45，xOz90.(2)画圆柱的两底面，在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3 cm，且OAOB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A、B两点，使它为圆
7、柱的下底面在Oz上截取点O，使OO4 cm，过O作Ox，Oy的平行线Ox，Oy，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面(3)画圆锥的顶点在Oz上截取点P，使PO等于圆锥的高3 cm.(4)成图连接AA、BB、PA、PB，擦掉辅助线，将其被遮挡的线改为虚线，整理得到此几何体的直观图如图2所示探究三 由直观图还原成原图【例3】如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1C1D12，A1D1OD11.求原四边形ABCD的面积分析利用斜二测画法的法则得到原图和直观图的关系解如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取ODOD11，OCOC12.在过
8、点D的y轴的平行线上截取DA2D1A12.在过点A的x轴的平行线上截取ABA1B12.连接BC，即得到了原图形(如图)由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3，直角腰长度为AD2.所以面积为S25.归纳总结：由直观图还原为平面图的关键是找与x轴，y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可【练习3】如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形是()A正方形B矩形C菱形D梯形【答案】C解析：将直观图还
9、原得到平行四边形OABC，如图所示，由题意知ODOC2 cm，OD2OD4 cm，CDOC2 cm，CD2 cm，OC6 cm，又OAOA6 cm，OAOC，原图形为菱形.课后作业A组 基础题一、选择题1把ABC按斜二测画法得到ABC(如图所示)，其中BOCO1，AO，那么ABC是一个()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D三边互不相等的三角形【答案】A根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得ABBCAC2，故ABC为等边三角形，故选A2一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m
10、，四棱锥的高为8 m，若按1500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为()A4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm【答案】C由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm，2 cm，1.6 cm.3如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(
11、)A2 BCD1【答案】A画出其相应平面图易求，故选A4(多选题)如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是ABC的直观图的是()AB CD【答案】CD原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，CD两图分别为在xOy成135和45的坐标系中的直观图5(多选题)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是()A三角形的直观图仍然是一个三角形B90的角的直观图会变为45的角C与y轴平行的线段长度变为原来的一半D由于选轴的不同，所得的直观图可能不同【答案】ACD对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对
12、于B,90的角的直观图会变为45或135的角，故B错误；C，D显然正确二、填空题6斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M， 则点M的坐标为_【答案】(4,2)在x轴的正方向上取点M1，使OM14，在y轴上取点M2，使OM22，过M1和M2分别作平行于y轴和x轴的直线，则交点就是M.7水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示，已知AC3，BC2，则AB边上的中线的实际长度为_【答案】2.5由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且ACAC3，BC2BC4，计算得AB5，所求中线长为2.5.8水平放置的ABC在直角坐标系中的直观图如图所示，其中D是AC的中点，且ACB
13、30，则原图形中与线段BD的长相等的线段有_条【答案】2ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BDADCD所以与BD的长相等的线段有2条三、解答题9画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图解(1)过点C作CEx轴，垂足为点E，如图所示，画出对应的x轴、y轴，使xOy45，如图所示(2)如图所示，在x轴上取点B，E，使得OBOB，OEOE；在y轴上取一点D，使得ODOD；过点E作ECy轴，使ECEC(3)连接BC，CD，并擦去x轴与y轴及其他一些辅助线，如图所示，四边形OBCD就是所求的直观图10如图，ABC是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形ABC解(1)画法：过C，B分
14、别作y轴的平行线交x轴于D，E.(2)在直角坐标系xOy中在x轴上取两点E，D使OEOE，ODOD，再分别过E，D作y轴平行线，取EB2EB，DC2DC.连接OB，OC，BC即求出原ABCB组 能力提升一、选择题1.如图所示，AOB表示水平放置的AOB的直观图，B在x轴上，AO和x轴垂直，且AO2，则AOB的边OB上的高为()A2B4C2D4【答案】D设AOB的边OB上的高为h，由题意，得S原图形2S直观图，所以OBh22OB.因为OBOB，所以h4.故选D2已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的
15、距离为()A2 cmB3 cmC2.5 cmD5 cm【答案】D由题意可知其直观图如图，由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D二、填空题3已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为18，则原正方形的面积为_【答案】72如图所示，作出正方形OABC的直观图OABC，作CDx轴于点D.S直观图OACD.又S正方形OCOA所以，又在RtODC中，OCCD，即CDOC，结合平面图与直观图的关系可知OAOA，OC2OC，所以2.又S直观图18，所以S正方形21872.三、解答题4.如图是一个边长为1的正方形ABCD，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积解四边形ABCD的真实图形如图所示，因为AC在水平位置，ABCD为正方形，所以DACACB45，所以在原四边形ABCD中，ADAC，ACBC，因为AD2DA2，ACAC，所以S四边形ABCDACAD2.5画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图解(1)画轴画x轴、y轴、z轴，使xOy45，xOz90，如图.(2)画底面以O为中心在xOy平面内画出正方形水平放置的直观图ABCD(3)画顶点在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高(4)成图连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图.
