1、等比数列的前等比数列的前n项和（项和（3 3）讲课人：邢启强20,1.Aq其中nnSAqA复习引入复习引入1.Sn为等比数列的前为等比数列的前n项和项和,Sn0,q1或或k不是偶数时不是偶数时,则则Sk,S2kSk,S3kS2k(kN*)是等比数列是等比数列.111(1)(1)(1)11nnnnaqSaa qaqqqq讲课人：邢启强3典型例题典型例题例1.如图,正方形ABCD的边长为5cm,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第2个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第3个正方形IJKL,依此方法一直继续下去，(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形
2、的面积之和；(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。讲课人：邢启强4典型例题典型例题解：设正方形ABCD的面积为a1,后继各正方形的面积依次为a2,a3,.an,.,则a1=25.(2)当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和a1+a2+a3+an+而讲课人：邢启强5 某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？分析：第1年产量为5000台第2年产量为 5000(1+10%
3、)=50001.1台第3年产量为5000(1+10%)(1+10%)台21.15000第n年产量为台11.15000n巩固练习巩固练习讲课人：邢启强6典型例题典型例题例2.去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%,同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨，为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨）.分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列，因此，可
4、以利用等差数列、等比数列的知识进行计算解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列an,每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列bn,n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位：万吨）,则an=20(1+5%)n,bn=6+1.5n,当n=5时,S563.5.所以,从今年起5年内,通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.讲课人：邢启强7典型例题典型例题例3某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为C1,C2,C3,.(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；(2)将
5、(1)的递推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式，其中k,r为常数;(3)求S10=c1+c2+c3+c10的值（精确到1)分析：(1)可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn+1与cn的关系；(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1)中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；(3)利用（2)的结论可得出解答。解：(1)由题意，得c1=1200,并且cn+1=1.08cn-100.所以,(1)中的递推公式可以化为cn+1-1250=1.08(cn-1250).讲课人：邢启强8巩固练习巩固练习求数列an的通项公式的通项公式（1）a14，an+1=3
6、an+4（2）a14，an+1=4an+2n+1讲课人：邢启强9小结小结:在等比数列中在等比数列中,S偶偶与与S奇奇分别为偶数项和与奇数项和分别为偶数项和与奇数项和，.奇奇偶偶SS则若项数为偶数时，则若项数为偶数时，q例例4.4.等比数列等比数列 a an n 共共2 2n n项，其和为项，其和为240240，且奇数项的和，且奇数项的和比偶数项的和大比偶数项的和大80,80,则公比则公比q q _._.2例题讲评例题讲评1.SaS奇偶则若项数为奇数时则若项数为奇数时,q讲课人：邢启强103122,SSS（1）解：由题意得 即：32111(1)(1)(1),111aqaqaqqqq化简得：322
7、qqq2210qq 即：1(21)(1)0-12qqqq，即（）q 当时q当 时31222(3)2SSSaaa由 得：矛盾。1-2q 所以 例5.等比数列 的前n项和为 ，已知 成等差数列，(1)求 的公比 ,（2）若 求 nanS231,SSS naq331aanS例题讲解例题讲解讲课人：邢启强11(1)q（2）解：由得 21311aaaa q2111334aa qa即1a 即114 1()(1)8121()11321()2nnnnaqSq 283kS思考：成立吗？例5.等比数列 的前n项和为 ，已知 成等差数列，(1)求 的公比 ,（2）若 求 nanS231,SSS naq331aanS例题讲解例题讲解讲课人：邢启强121.an是等比数列是等比数列 nnSAqA课后小结课后小结2.2.Sn为等比数列的前为等比数列的前n n项和项和,Sn n0,0,q1 1或或k不是偶不是偶数时数时,则则Sk,S2 2kSk,S3 3kS2 2k(kN*)是等比数列是等比数列.3.3.在等比数列中在等比数列中,S偶偶与与S奇奇分别为偶数项和与奇数项和，分别为偶数项和与奇数项和，.奇奇偶偶SS则若项数为偶数时，则若项数为偶数时，q1.SaS奇偶则若项数为奇数时则若项数为奇数时,q
