1、高 考 数 学 压 轴 全 解- 2 0 2 2 -自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌 例题 1 QQ/VX-1298789431( $)( 22 年全国甲卷理科) 31 , b = cos 1 , c = 4 sin 1已知 a =, 则 ( )32 4 4A . c > b > a B . b > a > c C . a > b > c D . a > c > bO 答案 AO 解析 进阶放缩 易证因此 cos 14 1 自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌 例题 2 QQ/VX-1298789431( $)( 22 年全国甲卷
2、理科)已知 ABC 中,点 D 在边 BC 上, ADB = 120 , AD = 2 , CD = 2BD . 当时, BD = .ACAB取得最小值O 答案 3 1 .O 解析 法一 基本不等式 根据题意设CD = 2BD = 2t.若以点 D 为坐标原点, DC 为 x 轴建立直角坐标系, 则 C, B, A 三点的坐标分别为(2t, 0), (t, 0), (1, 3).于是AC2AB2=(2t 1) 3)22 + (0 (t 1) 3)22 + (0 =4t2 4t + 4 t2 + 2t + 4= 4 12(t + 1) +3t + 1 4 23.上述不等式当且仅当 t = 3 1
3、 时取等. 因此 ACAB法二 余弦定理 基本不等式 根据题意设取最小值时, BD = 3 1 .CD = 2BD = 2t.于是在 ACD 与 ABD 中,由余弦定理可得AC2AB2=(2t)2 + 22 2 2 2t cos60t2 + 22 2 2 t cos120=4t2 4t + 4 t2 + 2t + 4= 4 12(t + 1) +3t + 1 4 23.上述不等式当且仅当 t = 3 1 时取等. 因此 AC取最小值时, BD = 3 AB1 .2自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌 例题 3 QQ/VX-1298789431( $)( 22 年全国甲卷文科)已知 9m
4、= 10 , a = 10m 11 , b = 8m 9 , 则 ( )A . a > 0 > b B . a > b > 0 C . b > a > 0 D . b > 0 > aO 答案 AO 解析 基本不等式 由题可求得 m = log9 10 . 又对任意的 n > 1, n N ,都有ln n ln(n + 2) < 2 ln n + ln(n + 2)2=14 ln 2 < n(n + 2)4 " 2#ln 2 自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌 例题 4 QQ/VX-129
5、8789431( $)( 22 年全国甲卷文科)已知 ABC 中,点 D 在边 BC 上, ADB = 120 , AD = 2 , CD = 2BD . 当时, BD = .ACAB取得最小值O 答案 3 1 .O 解析 法一 基本不等式 根据题意设CD = 2BD = 2t.若以点 D 为坐标原点, DC 为 x 轴建立直角坐标系, 则 C, B, A 三点的坐标分别为(2t, 0), (t, 0), (1, 3).于是AC2AB2=(2t 1) 3)22 + (0 (t 1) 3)22 + (0 =4t2 4t + 4 t2 + 2t + 4= 4 12(t + 1) +3t + 1 4
6、 23.上述不等式当且仅当 t = 3 1 时取等. 因此 ACAB法二 余弦定理 基本不等式 根据题意设取最小值时, BD = 3 1 .CD = 2BD = 2t.于是在 ACD 与 ABD 中,由余弦定理可得AC2AB2=(2t)2 + 22 2 2 2t cos60t2 + 22 2 2 t cos120=4t2 4t + 4 t2 + 2t + 4= 4 12(t + 1) +3t + 1 4 23.上述不等式当且仅当 t = 3 1 时取等. 因此 AC取最小值时, BD = 3 AB1 .4自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌 例题 5 QQ/VX-1298789431(
7、$)( 22 年全国乙卷理科)已知函数 f(x), g(x) 的定义域均为 R , 且 f(x) + g(2 x) = 5 , g(x) f(x 4) = 7 .若 y = g(x) 的图X22象关于直线 x = 2 对称, g(2) = 4 , 则 f(k) = ( )k=1A . 21 B . 22 C . 23 D . 24O 答案 DO 解析 函数的对称性 函数的周期性 由于 x R, g(x) f(x 4) = 7 ,因此g(2 x) f(2 x) = 7.结合 x R, f(x) + g(2 x) = 5 可得x R, f(x) + f(2 x) = 2. x因为 y = g(x)
8、 的图象关于直线 x = 2 对称, 所以 x R, g(x) = g(4 x) .结合 g(x) f(x 4) = 7 可得7 + f(x 4) = 7 + f(x) f(x 4) = f(x) f(x 2) = f(2 x) y联立 xy 可得f(x) + f(x 2) = 2 = f(x 2) = f(x 4) 2.从而 x R, f(x) = f(x 4) .记 M =X22f(k) , 则有k=1M = 6f(1) + 6f(2) + 5f(3) + 5f(4)= 5f(1) + f(3) + f(2) + f(4) + f(1) + f(2)= 5 (2) + (2) + f(1)
9、 + f(2)= 20 + f(1) + 2 f(0)= 22 + f(1) f(0).而 f(0) = 5 g(2) = 1 ,解得 f(1) = 1 .于是且有 g(1) = g(2 1) = 5 f(1),g(1) = f(1 4) + 7 = f(1) + 7.M = 22 + f(1) f(0) = 24.选项 D 正确.5自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌 例题 6 QQ/VX-1298789431( $)( 22 年全国乙卷理科) 已知 x = x1 和 x = x2 分别是函数 f(x) = 2ax ex2 (a > 0 , 且 a x1 < x2 , 则
10、a 的取值范围是 .= 1) 的极小值点和极大值点, 若O 答案 e, 1自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌x1, x2 分别为 f(x) 的极大值点与极小值点, 不符题设.1e < a < 1 , 则 1 < lna < 0 . 此时 g(x) 单调递减, 且存在唯一零点 情形四 若x0 = logae.ln2 a因此 g(x) 即 f(x) 在 (, x0) 单调递增, 在 (x0, +) 单调递减. 又 r = 0, f(r) = 2 lna < 0,s = 1, f(s) = 2 a1 + e > 2 1 + eln
11、a a> 0, < 2 h tie < 1, f(t) = 2 tln a eln at e ln a (ln a 2 et = t) = 0.ln3 a因此该种情形下, f(x) 有且仅有两个变号零点 x1, x2 , 分别在区间 (t, s), (s, r) 内. 此时 f(x) 的单调性为x (, x1) x1 (x1, x2) x2 (x2, +)f(x) 0 + 0 f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减x1, x2 分别为 f(x) 的极小值点与极大值点, 符题设.综上, 所求 a 的取值范围为 e, 1自强不息怀壮志以长行 厚德载物携
12、梦想而抚凌 例题 7 QQ/VX-1298789431( $)( 22 年全国乙卷文科)已知球 O 的半径为 1 , 四棱锥的顶点为 O , 底面的四个顶点均在球 O 的球面上, 当该棱锥的体积最大时, 其高为 ( )A . 13B . 12C .33D .22O 答案 C O 解析 多元均值不等式 记题中四棱锥为 O ABCD ,ABCD , 记 OE = h . 设圆 E 的半径为 r . 则有四边形 ABCD 的外接圆记为 E , 则 OE 面h2 + r2 = OA2 = OB2 = OC2 = OD2 = 1.若设 为四边形 ABCD 对角线 AC 和 BD 的夹角, 则所求棱锥的体
13、积为VOABCD =13 h SABCD1 13 h 2 AC BD sin1 6 h 2r 2r sin 223 2(1 r2) r2 r23 s2 3 32(1 r2) + r2 + r243 .27当且仅当 r =63时, 四棱锥 O ABCD 的体积取得最大值. 此时 h =33, 选项 C 正确8自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌 例题 8 QQ/VX-1298789431( $)( 22 年全国乙卷文科)若 f(x) = ln 1 xa + b 是奇函数, 则 a = , b = .11O 答案 a = 2; b = ln 2 .2O 解析 法一 函数的奇偶性
14、显然 f(1) 无意义, 根据奇函数定义域的对称性可知 f(1) 也无意义. 即a +11 (1)= 0.1 2解得 a = . 又由 f(0) = f(0) ,得 f(0) = 0 , 即ln |a + 1| + b = 0.解得 b = ln 2 . 因此 (a, b) = , ln 2自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌 例题 9 QQ/VX-1298789431( $ )( 22 年新高考 I 卷)已知正四棱锥的侧棱长为 l , 其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 36 , 且 3 l 33 , 则该正四棱锥体积的取值范围是 ( )A . 4 &nb
15、sp;B . 18, ,81 2744 81C . ,27 43 64D . 18, 27O 答案 CO 解析 正弦定理 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 记该正四棱锥为 P ABCD ,POD C EA B点 P 在底面 ABCD 的投影记为 E . 设 OPA = . 该四棱锥外接球的球心记为 O , 半径记为 r . 则由36 = 43r3解得 r = 3 . 在 OPA 中, 由正弦定理有PAsin AOP=OAsin .其中 PA = l, OA = r = 3, AOP = 2 .代入上式可解得cos = l.6若记四棱锥 P ABCD 的体积为 V ,则V =13
16、 PE SABCD =13 PA cos 2AE2 =13 l cos 2(l sin)2 =23 cos (1 cos2 )3 l将 cos = l6代入并整理可得V =l4(36 l2).324设 V = f(x) , 其中 x = l2 , 则f(x) =x2(36 x), x 9, 27.32410自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌对 f(x) 求导可得x(x 24)f(x) = , x 9, 27. 108因此 f(x) 的单调性如下表所示x 9 (9, 24) 24 (24, 27) 27f(x) + + 0 27 64 81f(x)单调递增 极大值 单调递减4 3 4正四
17、棱锥 P ABCD 体积的取值范围为 ,27 43 64. 选项 C 正确.11自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌 例题 10 QQ/VX-1298789431( $ )( 22 年新高考 I 卷)已知函数 f(x) 及其导函数 f(x) 的定义域均为 R , 记 g(x) = f(x) . 若 f 2 2x自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌 例题 11 QQ/VX-1298789431( $ )( 22 年新高考 I 卷)x2 y21, F2 , 离心率为 1已知椭圆 C : += 1 (a > b > 0) , C 的上顶点为 A , 两个焦点为 Fa2 b2
18、2且垂直于 AF2 的直线与 C 交于 D, E 两点, |DE| = 6 , 则 ADE 的周长是 ., 过 F1O 答案 13 .O 解析 椭圆的焦半径公式 II 如图, 设 = OAF 2 , 则 sin = OF2 , 则 sin = OF2AFy=ca=12. 因此 = 6. 从而可知A DHOF1 F2xEAF1F2 为正三角形. 根据题意有 ED AF2 , 设垂足为 H , 则直线 HF1 垂直平分线段 AF2 . 于是易知RtEHA RtEHF2, RtDHA RtDHF2.从而 EA = EF2, DA = DF2 , 则 ADE 的周长为 DE + EF2 + DF2 =
19、 4a . 由椭圆的焦半径公式 II 可得DE = DF1 + EF1 =ep1 e cos+ep1 + e cos =2ep1 e2 cos2 其中 e 为椭圆的离心率, p 为椭圆的焦准距. 若记 c 为椭圆的半焦距. 则 e = 1, p =2b2c. 结合 DE = 6 得b2c=398 a2 c2c=39 8.将上式与ca=12联立解得 a =134, 因此 ADE 的周长为 4a = 13 .13自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌 例题 12 QQ/VX-1298789431( $ )( 22 年新高考 II 卷)X22若函数 f(x) 的定义域为 R , 且 f(x +
20、y) + f(x f(k) = ( )y) = f(x)f(y) , f(1) = 1 , 则k=1A . 3 B . 2 C . 0 D . 1O 答案 AO 解析 数列的周期性 令 x = 1, y = 0 , 则有f(1 + 0) + f(1 0) = f(1)f(0).解得 f(0) = 2 . 令 x = t, y = 1 , 则有t R, f(t + 1) = f(t) f(t 1).若 t N ,则可递推出 f(t) 的值分别为1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 注意到 f(t) (t N) 的各项取值构成一个周期数列,且周期为 6 . 因此X22k=1f(k) =
21、3.选项 A 正确.14自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌 例题 13 QQ/VX-1298789431( $ )( 22 年新高考 II 卷) 对任意 x, y , x2 + y2 xy = 1 , 则 ( ) 2 C . x2 + y2 2 D . xA . x + y 1 B . x + y 2 + y2 1O 答案 BCO 解析 基本不等式 由题, 对任意 x, y R ,恒有(x + y)2 = 1 + 3xy 1 + 3 2 自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌 例题 14 QQ/VX-1298789431( $ )( 22 年新高考 II 卷)x2 y2
22、已知椭圆+= 1 , 直线 l 与椭圆在第一象限交于 A, B , 与 x 轴, y 轴分别交于 M, N , 且6 3|MA| = |NB|, |MN| = 23 , 则直线 l 的方程为 .O 答案 x + 2y 22 = 0 .O 解析 椭圆的垂径定理 设 M(m, 0), N(0, n) , 其中 m, n > 0 .yNBPAO Mx如图, 记点 P 为线段 AB 的中点, 则由 |M A| = |NB| 可知 P 也是线段 MN 的中点,因此点 P 的坐标为m,22 n.记椭圆的半长轴与半短轴分别为 a, b . 记直线 OP, MN 的斜率分别为 k1, k2 , 则b2k
23、1k2 = a2 mn nm1= 2 m2 = 2n2. x又由 |MN| = 23 可得m2 + n2 = 12. y联立 xy 解得 m = 22, n = 2 . 因此所求直线 l 的方程为 xm+yn= 1 , 即 x + 2y 22 = 0 .16自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌 例题 15 QQ/VX-1298789431( $)( 22 年浙江卷)已知数列 an 满足 a1 = 1, an+1 = an 5A . 2 < 100a 100 <100 < 27C . 3 < 100a 100 <213a2n (n N) ,则 ( )B . 5
24、< 100a100 < 32D . 7< 100a100 < 32O 答案 BO 解析 蛛网分析法 数学归纳法 累加法 数列放缩 裂项放缩yy = xy = x 13x2A1 A2A3Ox1如图, 若记点 An (an, an+1) , 则 An 在 y = x 1 3x2 的图象上. 因此1 = a1 > a2 > > an > an+1 > 0.或用数学归纳法, 亦可证得此结论. 于是由 an+1 = an 13a2n 可得1an+1 1an=13 an> 13.累加可得1an+1>1a1+n, n N ,3即有 an+1
25、<3, n N .n + 3因此 100a100 <300102< 3 . 又n N,1an+1 1an=13 an<3 13n + 2=3 11 +n + 11.将 n = 99 代入可得1a100< 34 +< 34 +< 40.3 21 13 21 12 31 1 1+ 4 + + 32 + 37 161从而 100a100 >10040=52. 因此选项 B 正确.17自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌 例题 16 QQ/VX-1298789431( $)( 22 年浙江卷)设点 P 在单位圆的内接正八边形 A1A2 A8 的边
26、A1A2 上, 则范围是 .# PA12 +# PA22 + +# PA82 的取值O 答案 12 + 22, 16 .O 解析 设单位圆的圆心为 O , 记待求表达式为 M , 则M =X8# (P Ai) 2 =i=1X8# (OP i=1# # OAi) OP 2 = 8 OP2 + 8 22 = 8 OP2 + 8 2X8i=1# &n
27、bsp; OAi = 8 OP 2 + 8.2 + 8.A1 A2 PA8 A38OA7 A4A6 A5从而 M 8 OA21 处时取等. 同时M 8 8 + 8 = 4 + 1OA1 cos cos + 8 = 12 + 22.24当 P 位于 A1A2 中点处取等, 因此所求表达式的取值范围为 12 + 22, 16 .18自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌 例题 17 QQ/VX-1298789431( $)( 22 年北京卷)在 ABC 中, AC = 3 , BC = 4 , C = 90 . P 为 ABC 所在
28、平面内的动点, 且 PC = 1 , 则 # P# B 的取值范围是 ( )PA A . 5, 3 B . 3, 5 C . 6, 4 D . 4, 6O 答案 DO 解析 极化恒等式 设 M 为 AB 的中点, 则由极化恒等式有而 CM PC PM CM + PC ,# # PA PB = PM2 M A2.即 PM 2, PA , 从而可知3 7# 2P# B 的取值范围为 4, 6 .19自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌 例题 18
29、 QQ/VX-1298789431( $)( 22 年北京卷)已知数列 a 其前 n 项和 Sn 满足 an Sn 各项均为正数, n = 9(n = 1, 2, ) .给出下列四个结论:1n 的第 2 项小于 3 ; n 为等比数列; n 为递减数列;的项.100其中所有正确结论的序号为 .O 答案 xy.O 解析 研究数列单调性的差分法 由数列 an 各项均为正数可知n N, Sn+1 Sn = an+1 > 0.因此n N, a n+1 an =n+1 an =9Sn+1 9Sn< 0.所以数列 an 单调递减,z 正确. 同时由 a 1 = 9 , 解得 a1 = 3 .
30、所以 a2 < 3 , x 正确. 又1 San+1 = Sn+1 Sn =9an+1 9.an整理可得an+1an= 1 a2n+1. ()9显然 an 不是常数列,法一 反证法 假设因此 an+1 不是常数, an+1an比值不是定值, 从而 an 不是等比数列,y错误.n N, an 1.100结合 an 数列单调递减可知n N, 9 = a n nanSn a n n nan104.即 n N, n 9 104 . 显然不成立, 因此假设命题为假命题. 从而n N, a n <n <1.100因此 正确.法二 蛛网分析法 不动点 数列与极限 研究数列性质的迭代函数法
31、由 () 式可得1an=1an+1 an+19.记点 An ,1an+1an 自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌yy = xA4A3A2A1y = x 19xO 1x3观察可知点 An 是沿着曲线 y = x 19x向右上方运动, 并且无限靠近直线 y = x . 因此1+.an + = an 0所以 正确.综上可知正确结论的序号为 xy.21自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌 例题 19 QQ/VX-1298789431( $)( 22 年全国甲卷理科)设抛物线 C : y2 = 2px (p > 0) 的焦点为 F , 点 D(p, 0) , 过 F 的直线交 C 于
32、 M, N 两点, 当直线 MD x 轴时, |MF| = 3 .(1) 求 C 的方程;(2) 设直线 MD, ND 与 C 的另一个交点分别为 A, B , 记直线 MN, AB 的倾斜角分别为 , , 当 取得最大值时,求直线 AB 的方程.O 答案 (1) y2 = 4x; (2) 当 取得最大值时, 2y 4 = 0 .直线 AB 方程为 x O 解析 (1) 不妨设点 M 在 x 轴上方, 点 N 在 x 轴下方, 当直线 MD x 轴时, 如图所示. yMO F D xN此时点 M 与点 D 的横坐标同为 p , 代入抛物线方程可解得 M 的纵坐标 2p . 于是|MD| = 2
33、p.又 |FD| = p p2=p, |MF| = 3 .2从而在 RtMDF 中由勾股定理得|MD|2 + |F D|2 = |MF|2.代入相关表达式并解得 p = 2 , 所以抛物线 C 的方程为 y2 = 4x .(2) 抛物线的几何平均性质 到角公式 首先考虑证明如下引理 :引理 已知直线 l : x = ty + x0 , 抛物线 : y2 = 2px . 若 l 与 交于 P(x1, y1) , Q(x2, y2) 两点. 则2 x1x2 = x0.引理证明 联立直线 l 与抛物线 的方程, 消去 x 并整理可得y2 2pty 2px0 = 0.于是根据韦达定理有 y1y2 =
34、2px0 , 从而x1x2 =y212p y222p=(y1y2)24p2=(2px0)2 4p2= x2 0.0.引理得证.22自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌yBM O F D E xNA记直线 AB 与 x 轴的交点为 E , 点 M, N, A, B, E 的坐标分别设为M m2, 2m , N n2, 2n , A a2, 2a , B b2, 2b, E(e, 0)显然 mn < 0, ab < 0, e > 0 . 又 F, D 的横坐标分别为 1, 2 , 则根据引理可得 m2 n mn = 1, 2 = 12,m2 a2 = 22, ma = 2,
35、= = ab = e = 4. n2 b2 = 22, nb = 2, a2 b2 = e2.ab = e. 时, 根据对称性, 可知必有 = 情形一 当 =. 此时 = 0 .2 2情形二 当< < 时, 有2tan = 2m 2n2 =m2 n2m + n=2a2+ 2b= ab a + b= 2 2a + b= 2 2a 2b2 = 2 tan .a2 b由 tan < 0 知 tan < 0 , 即有 2< < . 又tan = 2 tan < tan = < . 故有< < < , 从而 < < 0 .2
36、2情形三 当 0 < <时, 同情形二有2tan = 2 tan .此时 tan > tan > 0 , 即有 0 < < < 2, 进而可知 0 < <2, 同时有tan( ) =tan tan1 + tan tan =tan 1 + 2 tan2 =11tan + 2 tan122.因此当且仅当 tan =22时, 取得最大值. 此时直线 AB 方程为 x 2y 4 = 0 .23自强不息怀壮志以长行 厚德载物携梦想而抚凌 例题 20 QQ/VX-1298789431( $)( 22 年全国甲卷文科)设抛物线 C : y2 = 2px (p > 0) 的焦点为 F , 点 D(p, 0) , 过 F 的直线交 C 于 M, N 两点, 当直线 MD x 轴时, |MF| = 3 .(1) 求 C 的方程;(2)
