1、7.4直接证明与间接证明,-2-,知识梳理,双基自测,2,1,自测点评,1.直接证明(1)定义:从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性.(2)常见类型,已知条件,待证结论,原因,结果,待证结论,充分条件,结果,产生这一结果的原因,-3-,知识梳理,双基自测,2,1,自测点评,可知,未知,必要条件,未知,需知,已知,充分条件,-4-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,1,2.反证法(1)反证法的定义:一般地,由证明p?q转向证明:,t与矛盾或与矛盾,从而判定?q为假,推出q为真的方法,叫做反证法.(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤:分清命题的条件和结论;做出
2、与命题结论相矛盾的假设;由假设出发,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果.,?q?r?t,假设,某个真命题,2,-5-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)综合法的思维过程是由因导果,逐步寻找已知的必要条件.()(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.()(3)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.()(4)用反证法证明时,推出的矛盾不能与假设矛盾.()(5)常常用分析法寻找解题的思路与方法,用综合法展现解决问题的过程.(),答案,-6-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2.命题“对于任意角,co
3、s4-sin4=cos 2”的证明:“cos4-sin4=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2” ,这一过程应用了()A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法,答案,解析,-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3.已知a=lg 2+lg 5,b=ex(xbB.a-1,求证:Sn (a1+an),并给出等号成立的充要条件.,(2)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB平面ABCD,AB=AD,BAD=60,E,F分别是AP,AB的中点.求证:直线EF平面PBC;平面DEF平面PAB.(3)设a,b,c均为正数,且a
4、+b+c=1,-18-,考点1,考点2,考点3,-19-,考点1,考点2,考点3,-20-,考点1,考点2,考点3,(2)在PAB中,因为E,F分别为PA,AB的中点,所以EFPB.又因为EF?平面PBC,PB?平面PBC,所以直线EF平面PBC.连接BD,因为AB=AD,BAD=60,所以ABD为正三角形.因为F是AB的中点,所以DFAB.因为平面PAB平面ABCD,DF?平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,所以DF平面PAB.又因为DF?平面DEF,所以平面DEF平面PAB.,-21-,考点1,考点2,考点3,例4已知ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且a,b,c分别为角A,B
5、,C的对边,思考哪些问题的证明适合用分析法?,-22-,考点1,考点2,考点3,-23-,考点1,考点2,考点3,解题心得分析法证明问题的适用范围:当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.,-24-,考点1,考点2,考点3,(2)已知ab0,求证:2a3-b32ab2-a2b.,证明 (1)因为m0,所以1+m0.所以要证原不等式成立,只需证(a+mb)2(1+m)(a2+mb2),即证m(a2-2ab+b2)0,即证(a-b)20,而(a-b)20显然成立,故原不等
6、式得证.,-25-,考点1,考点2,考点3,(2)要证明2a3-b32ab2-a2b成立,只需证2a3-b3-2ab2+a2b0,即2a(a2-b2)+b(a2-b2)0,即(a+b)(a-b)(2a+b)0.ab0,a-b0,a+b0,2a+b0,从而(a+b)(a-b)(2a+b)0成立,2a3-b32ab2-a2b.,-26-,考点1,考点2,考点3,例5设数列an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.(1)求证:数列Sn不是等比数列.(2)数列Sn是等差数列吗?为什么?思考反证法的适用范围及证题的关键是什么?,(1)证明 假设数列Sn是等比数列,因为a10,所以(1+q)2=1+q
7、+q2,即q=0,这与公比q0矛盾,所以数列Sn不是等比数列.,-27-,考点1,考点2,考点3,(2)解 当q=1时,Sn=na1,故Sn是等差数列;当q1时,Sn不是等差数列.假设Sn是等差数列,则2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),得q=0,这与公比q0矛盾.综上,当q=1时,数列Sn是等差数列;当q1时,Sn不是等差数列.,-28-,考点1,考点2,考点3,解题心得反证法的适用范围及证题的关键(1)适用范围:当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时,宜用反证法来证明.(2)证题的关键:在正确地推理下得出矛盾,矛盾可以是与已知条件矛盾
8、,与假设矛盾,与定义、公理、定理矛盾,与事实矛盾等.推导出的矛盾必须是明显的.,-29-,考点1,考点2,考点3,-30-,考点1,考点2,考点3,-31-,考点1,考点2,考点3,1.分析法是从结论出发,逆向思维,寻找使结论成立的充分条件.应用分析法要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件.2.证明问题的常用思路:在解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法寻求解题思路,再用综合法表述解答或证明过程.3.用反证法证明问题要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,且推导出的矛盾必须是明显的.,-32-,考点1,考点2,考点3,1.应用分析法要书写规范,常用“要证”“只需证”等分析到一个明显成立的结论.2.应用反证法要将假设作为条件进行推理,不使用假设而推出矛盾的,其推理过程是错误的.3.注意推理的严谨性,在证明过程中每一步推理都要有充分的依据,这些依据就是命题的已知条件和已经掌握了的数学结论,不可盲目使用正确性未知的自造结论.,
