1、=【 ;精品教 育资源文库 】 = 热点探究课 (五 ) 平面解析几何中的高考热点问题 (对应学生用书第 128 页 ) 命题解读 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第 (2)问或第 (3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现 热点 1 圆锥曲线的标准方程与性质 圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查 “ 直线 与圆锥曲线 ” 的第一小题，最常用的方法
2、是定义法与待定系数法离心率是高考对圆锥曲线考查的另一重点，涉及 a， b， c 三者之间的关系另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点 (2018 太原模拟 )如图 1，椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F2的直线交椭圆于 P， Q 两点，且 PQ PF1. 图 1 (1)若 |PF1| 2 2， |PF2| 2 2，求椭圆的标准方程； (2)若 |PF1| |PQ|，求椭圆的离心率 e. 解 (1)由椭圆的定义， 2a |PF1| |PF2| (2 2) (2 2) 4，故 a 2. 设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF1 PF2， 因此 2c |
3、F1F2| |PF1|2 |PF2|2 2 2 2 2 2 3. 3 分 即 c 3，从而 b a2 c2 1， 故所求椭圆的标准方程为 x24 y2 1. 5 分 (2)连接 F1Q，如图，由椭圆的定义知 |PF1| |PF2| 2a， =【 ;精品教 育资源文库 】 = |QF1| |QF2| 2a， 又 |PF1| |PQ| |PF2| |QF2| (2a |PF1|) (2a |QF1|)， 可得 |QF1| 4a 2|PF1|. 又因为 PF1 PQ 且 |PF1| |PQ|， 所以 |QF1| 2|PF1|. 8 分 由 可得 |PF1| (4 2 2)a， 从而 |PF2| 2a
4、 |PF1| (2 2 2)A 由 PF1 PF2，知 |PF1|2 |PF2|2 |F1F2|2， 即 (4 2 2)2a2 (2 2 2)2a2 4c2， 10 分 可得 (9 6 2)a2 c2，即 c2a2 9 6 2， 因此 e ca 9 6 2 6 3. 12 分 规律方法 1.用定义法求圆锥曲线的标准方程是常用的方法，同时应注意数形结合思想的应用 2圆锥曲线 的离心率刻画曲线的扁平程度，只需明确 a， b， c 中任意两量的关系都可求出离心率，但一定注意不同曲线离心率取值范围的限制 对点训练 1 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率为 22 ，它的一个顶点为抛物线 x
5、2 4y 的焦点 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线 y x 1 与抛物线相切于点 A，求以 A 为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程 【导学号： 00090306】 解 (1)椭圆中心在原点，焦点在 x 轴上 设椭圆的方程为 x2a2y2b2 1(ab0)， 因为抛物线 x2 4y 的焦点为 (0,1)， 所以 b 1. 2 分 由离心率 e ca 22 ， a2 b2 c2 1 c2， =【 ;精品教 育资源文库 】 = 从而得 a 2，所以椭圆的标准方程为 x22 y2 1. 5 分 (2)由? x2 4y，y x 1， 解得 ? x 2，y 1， 所以点 A(2,1). 8 分 因
6、为抛物线的准线方程为 y 1， 所以圆的半径 r 1 ( 1) 2， 所以圆的方程为 (x 2)2 (y 1)2 4. 12 分 热点 2 圆锥曲线中的定点、定值问题 定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横 (纵 )坐标等的定值问题 角度 1 圆锥曲线的定值问题 (2017 全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 y x2 mx 2 与 x 轴交于 A， B 两点，点 C 的坐标为 (0,1)当 m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现 AC BC 的情况？说明理由； (2)证明过 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定
7、值 . 【导学号： 00090307】 解 (1)不能出现 AC BC 的情况理由如下： 设 A(x1,0)， B(x2,0)，则 x1， x2满足 x2 mx 2 0， 所以 x1x2 2. 2 分 又点 C 的坐标为 (0,1)， 故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为 1x1 1x2 12， 所以不能出现 AC BC 的情况 . 4 分 (2)证明： BC 的中点坐标为 ? ?x22， 12 ，可得 BC 的中垂线方程为 y 12 x2? ?x x22 . 5 分 由 (1)可得 x1 x2 m， 所以 AB 的中垂线方程为 x m2. 6 分 联立? x m2，y 12 x2? ?x
8、x22=【 ;精品教 育资源文库 】 = 又 x22 mx2 2 0，可得? x m2，y 12.8 分 所以过 A， B， C 三点的圆的圆心坐标为 ? ? m2， 12 ，半径 r m2 92 .10 分 故圆在 y 轴上截得的弦长为 2 r2 ? ?m2 2 3， 即过 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 . 12 分 规律方法 1.求定值问题的常用方法： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 2定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与
9、参数无关在这类问题中选择消元的方向是非常关键的 角度 2 圆锥曲线中的定点问题 设椭圆 E： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为 e22 ，且过点 ? 1， 62 . (1)求椭圆 E 的方程； (2)设椭圆 E 的左顶点是 A，若直线 l： x my t 0 与椭圆 E 相交于不同的两点 M， N(M，N 与 A 均不重合 )，若以 MN 为直径的圆过点 A，试判定直线 l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标 解 (1)由 e2 c2a2a2 b2a2 12，可得 a2 2b2， 2 分 椭圆方程为 x22b2y2b2 1， 代入点 ? ? 1， 62 可得 b2 2， a2 4，
10、 故椭圆 E 的方程为 x24y22 1. 5 分 (2)由 x my t 0 得 x my t， 把它代入 E 的方程得 (m2 2)y2 2mty t2 4 0， 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 y1 y2 2mtm2 2， y1y2 t2 4m2 2， x1 x2 m(y1 y2) 2t 4tm2 2， =【 ;精品教 育资源文库 】 = x1x2 (my1 t)(my2 t) m2y1y2 tm(y1 y2) t2 2t2 4m2m2 2 . 8 分 因为以 MN 为直径的圆过点 A， 所以 AM AN， 所以 AM AN (x1 2， y1)( x2 2， y2)
11、x1x2 2(x1 x2) 4 y1y2 2t2 4m2m2 2 24tm2 2 4t2 4m2 2 3t2 8t 4m2 2 t tm2 2 0. 10 分 因为 M， N 与 A 均不重合，所以 t 2， 所以 t 23，直线 l 的方程是 x my 23，直线 l 过定点 T? ? 23， 0 ， 由于点 T 在椭圆内部，故 满足判别式大于 0， 所以直线 l 过定点 T? ? 23， 0 . 12 分 规律方法 1.假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点 2从特殊位置入手，找出
12、定点，再证明该点适合题意 热点 3 圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几 何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题 已知椭圆 x22 y2 1 上两个不同的点 A， B 关于直线 y mx 12对称 图 2 (1)求实数 m 的取值范围； (2)求 AOB 面积的最大值 (O 为坐标原点 ) 解 (1)由题意知 m0 ， =【 ;精品教 育资源文库 】 = 可设直线 AB 的方程为 y 1mx B 由? x22 y2 1，y 1mx b，消去 y，得 ? ?12 1m2 x2 2
13、bmx b2 1 0. 2 分 因为直线 y 1mx b 与椭圆 x22 y2 1 有两个不同的交点，所以 2b2 2 4m20. 将线段 AB 中点 M? ?2mbm2 2， m2bm2 2 代入直线方程 y mx12，解得 bm2 22m2 . 由 得 m 63 . 故 m 的取值范围是 ? ? ， 63 ? ?63 ， . 5 分 (2)令 t 1m ? ? 62 ， 0 ? ?0， 62 ， 则 |AB| t2 1 2t4 2t2 32t2 12， 且 O 到直线 AB 的距离为 dt2 12t2 1. 7 分 设 AOB 的面积为 S(t)， 所以 S(t) 12|AB| d 12
14、2? ?t2 12 2 2 22 ， 当且仅当 t2 12， 即 m 2时，等号成立 故 AOB 面积的最大值为 22 . 12 分 规律方法 范围 (最值 )问题的主要求解方法： (1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决 (2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数或=【 ;精品教 育资源文库 】 = 等量关系，利用判别式、基本不等式、函数的性质、导数法进行求解 对点训练 2 已知椭圆 C： y2a2x2b2 1(ab0)的焦距为 4，且过点 ( 2， 2) (1)求椭圆 C 的方程； (2)过椭圆焦点的直线 l 与
15、椭圆 C 分别交于点 E， F，求 OE OF 的取值范围 解 (1)由椭圆 C： y2a2x2b2 1(ab0)的焦距为 4. 得曲线 C 的焦点 F1(0， 2)， F2(0,2). 2 分 又点 ( 2， 2)在椭圆 C 上， 2a 2 0 2 2 4 2， 所以 a 2 2， b 2， 即椭圆 C 的方程是 y28x24 1. 5 分 (2)若直线 l 垂直于 x 轴， 则点 E(0,2 2)， F(0， 2 2)， OE OF 8. 若直线 l 不垂直于 x 轴， 设 l 的方程 为 y kx 2，点 E(x1， y1)， F(x2， y2)，将直线 l 的方程代入椭圆 C 的方程得到： (2 k2)x2 4kx 4 0， 则 x1 x2 4k2 k2， x1x2 42 k2， 8 分 所以 OE OF x1x2 y1y2
