1、1第二章 极限与连续第二章Advanced mathematics极限与连续高等数学2第二章 极限与连续内容导航第二章第二节 函数的极限定义与计算第三节 两个重要极限第四节 无穷小与无穷大第五节 函数的连续性及其性质第一节 数列的极限定义与计算3课 前 导 读3极限的概念是在求某些实际问题的精确解答而产生的.有许多某些实际问题的精确解，仅仅通过有限次的算术运算是求不出的，而需要通过考察一个无限变化过程的变化趋势而得到,由此产生了极限的理论与方法.我们这一节要介绍数列极限的定义，怎样用定义来证明极限，以及数列极限的计算方法.在正式介绍极限之前，需要回忆有关数列的相关知识.4第二章 极限与连续一、
2、数列的概念.数列的定义数列 :我们把这无穷多个数排成的序列称为数列，其中 称为数列的首项，称为数列的第 n 项，或称为数列的一般项(通项).nx123,nx x xx1xnx112131n，;1，;32313n1，;111n1，;2124311nnn（2）（1）（4）（3）5第二章 极限与连续一、数列的概念112131n，;1，;32313n1，;111n1，;2124311nnn（2）（1）（4）（3）它们的一般项依次为1n，13n，11n，11nnn.6第二章 极限与连续一、数列的概念在几何上，数列 可看作数轴上的一个动点，如图2-1所示，nx1x2x3xnx它依次取数轴上的点 ，x3x2
3、x1x4x5x6xnx图2-1按函数的定义，数列 可看作自变量为正整数 的函数，即 ，它的定义域是全体正整数，当自变量 依次取 时，对应的函数值就排列成数列 .nxn nxf nn1,2,3,nx7第二章 极限与连续练习一、数列的概念8第二章 极限与连续一、数列的概念2.等差与等比数列9第二章 极限与连续一、数列的概念2.等差与等比数列10第二章 极限与连续一、数列的概念2.等差与等比数列11第二章 极限与连续练习一、数列的概念12第二章 极限与连续一、数列的概念例解2311117(123)102222nnSnn 11122(1)7101212nn nn17(1)110.22nn nn 13第
4、二章 极限与连续二、数列极限的概念一尺之棰，日取其半，万世不竭.庄子 天下篇一尺长的木棍，每天截掉一半，每天截取的长度按照天数可排成一个数列:.数列极限的引入数列的通项为 ，12n 当 无限增大(记作 ，读作 趋于无穷大)时，nn n 12n在数学上称这个确定的数 0 是数列 当 时的极限.12nn 无限接近一个确定的数0.14第二章 极限与连续()给定一个数列后，该数列的变化趋势如何？随着 的无限增大，能否无限接近某个常数?()如果能无限接近某个确定的数，则该常数是多少?nnx现在我们所关心的问题是:二、数列极限的概念15第二章 极限与连续 数列()的一般项 将无限接近于常数1.11111n
5、nnnxnn 可以看出，在前面所列的4 个数列中，当 时，n 数列()的一般项 将无限接近于常数0.1nxn 而数列()的一般项 却在无限增大，它不接近于任何确定的数值.13nnx 数列()的一般项 始终交替地取值为1 和-1，不接近于任何确定的数值.11nnx 据此，我们可以认为，数列()和()是“有极限”的，而数列()和()是“无极限”的.112131n，;1，;32313n1，;111n1，;2124311nnn（2）（1）（4）（3）二、数列极限的概念16第二章 极限与连续 从上述各例观察可以看到，数列的一般项变化趋势有两种情况:无限接近于某个确定的常数和不接近于任何确定的常数.这样就
6、可以得到数列的描述性定义.如果当数列 的项数 无限增大时，nx n 它的一般项 无限接近于一个确定的常数 ，nxa记作 或limnnxa()nxa n 则称 为数列 的极限.a nx此时也称数列 收敛于 ，nxa例如，.11lim1nnnn 二、数列极限的概念17第二章 极限与连续 如果当数列 的项数 无限增大时，nxn 它的一般项 不接近于任何确定的常数，则称数列 没有极限，或称数列 发散，nx nx nx 习惯上记作 不存在.例如，不存在.limnnx1lim1nn 例如 .1lim3nn 当数列 的项数 无限增大时，如果 也无限增大，nxnnx 则数列 没有极限.nx此时，习惯上也称数列
7、 的极限是无穷大，nx记作 .，limnnx 二、数列极限的概念18第二章 极限与连续练习二、数列极限的概念19第二章 极限与连续在上述极限的描述性定义中，我们都是用“无限增大”和“无限接近”来描述极限概念的.为了给极限一个精确的定义，关键是要给予“无限增大”和“无限接近”以定量的刻画.一般来说，两个数 a、b 的接近程度可用 b-a 来度量.11111nnnnxnn 我们以数列 为例.二、数列极限的概念20第二章 极限与连续考虑 ，显然，越大，就越“接近”1.1111nnxnnnnx 只要 足够大，就可以小于任何给定的正数.n10001x10002x1110000nx 这时 ，均能使不等式
8、成立.11100nx 11100n100n 如果要求 ，即 ，只要 ，101x102x11100nx 这时 ，均能使不等式 成立.1110000nx 同样，如果要求 ，1110000n10000n 即 ，只要 ，二、数列极限的概念这个数1 就是 的极限.nx一般地，不论给定的正数 多么小，N总存在一个正整数 ，nNn 使得对于 时的一切 ，1nx不等式 均成立，11nnnxn n 这就是数列 当 时无限“接近”于1 的精确刻画，21第二章 极限与连续若在数轴上标出 ，及 ，1x2xnxa下面给出“数列 的极限为 ”的几何解释.nxa再作 的 邻域 (见图)，a,aa就会发现，当 时，点 均落在
9、 内，至多有有限个(个)落在 外.nN nx,aaN,aaa-2a+2x1xa图二、数列极限的概念22第二章 极限与连续例2已知 ，证明 .110nnx lim0nnx证明二、数列极限的概念23第二章 极限与连续例2已知 ，证明 .110nnx lim0nnx证明二、数列极限的概念24第二章 极限与连续练习二、数列极限的概念25第二章 极限与连续三、数列极限的计算 极限的定义只能用来验证极限，而不能计算数列的极限，所以下面给出数列极限的运算法则.定理(数列极限的运算法则)若 ，则limnnxalimnnyb ；(加减法则)limlimlimnnnnnnnxyxyab（1）；(乘法法则)（2）l
10、imlimlimnnnnnnnxyxya b ；(交换法则)（3）limlim(0,0)nnnnnxxa xa ；(除法法则)（4）limlimlim0limnnnnnnnnnxxaybyyb26第二章 极限与连续三、数列极限的计算例3求下列函数的极限：（1）（3）（5）（2）（4）（6）2247lim3nnn2123.limnnn 1limnnn1111lim.1 22 33 4(1)nnnlim1nnn 21111lim 1.333nn27第二章 极限与连续三、数列极限的计算解2247=lim31nnn()将分子、分母同时除以 ，则有2n2247lim3nnn07=1 07（1）2247l
11、im3nnn题28第二章 极限与连续三、数列极限的计算（2）利用等差数列求和公式，可得2123.limnnn 2(1)2limnn nn2(1)1lim22nn nn解（2）2123.limnnn 题29第二章 极限与连续三、数列极限的计算解（3）1=lim 1nn1limnnn（3）1limnnn题利用数列的交换法则，可得1 0130第二章 极限与连续（4）三、数列极限的计算题1111111lim1.223341nnn1111lim.1 22 33 4(1)nnn（4）1111lim.1 22 33 4(1)nnn解1lim 11nn31第二章 极限与连续三、数列极限的计算解（5）lim1n
12、nn 11lim1nnnnnnn （5）lim1nnn 题先将分子有理化，再利用数列极限的运算法则，可得1lim01nnn 32第二章 极限与连续三、数列极限的计算题11 13lim113nn21111lim 1.333nn（6）21111lim 1.333nn（6）解利用等比数列求和公式，可得313lim 1232nn33第二章 极限与连续练习三、数列极限的计算34第二章 极限与连续四、数列极限的性质定理2(极限的唯一性)数列 不能收敛于两个不同的极限.nx定理 3(收敛数列的有界性)如果数列 收敛，则该数列一定有界.nx如果数列无界，则其一定发散；1n1nx 数列 有界 ，但发散.如果数列
13、有界，则其未必收敛.数列 有界是指存在 ，使一切 满足 .nx0M nxnxM35第二章 极限与连续四、数列极限的性质定理 4(收敛数列的保号性)如果 且 (或 )，则存在 ，当 时，均有 (或 ).()nxa n 0a 0a 0N nN0nx 0nx 推论如果 满足：，当 时，(或 )，且 ，则 (或 ).nx10N1nN0nx 0nx limnnxa0a 0a 36第二章 极限与连续练习四、数列极限的性质37第二章 极限与连续内容导航第二章第一节 数列的极限定义与计算第三节 两个重要极限第四节 无穷小与无穷大第五节 函数的连续性及其性质第二节 函数的极限定义与计算38课 前 导 读38 这
14、一节介绍函数极限的定义.在前一节，我们探讨了数列的极限.数列的通项可以看成一类特殊的函数 ，()nxf n 本节将介绍自变量趋于无穷大（）和自变量趋于固定值（）时的两种函数的极限.x 0 xx 那么数列极限就变成了 ，这里 .limlim()nnnxf naZnxRlim()xf xa 如果我们把函数的定义域扩充到 ，那么就变成了函数的极限 .39第二章 极限与连续一、自变量趋于无穷大时的极限自变量趋于无穷大，包括三种情况:且 无限增大，则记作 ；且 无限增大，则记作 ；如果 既可以取正值，又可以取负值且 无限增大，则记作 .我们先观察函数 ，和 的图像.0 x xx 0 x xx xxx 1
15、yxarctanyx对于函数 的图像(见图2-2)，1yxy1O1x(1,1)y1xyxO1arctanyx 无限增大时，曲线无限接近于 x 轴，即 .xarctanyx对于 函数的图像(见图2-3)，arctanyx当 且 无限增大时，曲线无限接近于0 x x直线 ，而当 且 无限增大时，曲线无限接近于直线 .2y 0 x x2y 图2-2图2-340第二章 极限与连续一、自变量趋于无穷大时的极限 一般地，我们假设函数 在 (为某一正数)时有定义，f xxXX ，或 .limxf xA()f xA x 定义 如果在 过程中，对应的函数值 无限接近确定的常数 ，x f xA 则称 为函数 当
16、时的极限，也称函数 收敛于A.记作A f xx f x41第二章 极限与连续一、自变量趋于无穷大时的极限 定义2 42第二章 极限与连续练习一、自变量趋于无穷大时的极限43第二章 极限与连续一、自变量趋于无穷大时的极限 定义344第二章 极限与连续一、自变量趋于无穷大时的极限下面看一下极限 的几何解释.limxf xA对任意给定的 ，作直线 及 ，0yAyA总存在 ，0X 当 时，的图形必位于这两直线之间.xX yf x-XoXxyA yf x45第二章 极限与连续一、自变量趋于无穷大时的极限显然可以得到下面的结论.定理 且 .limlimxxf xAf xA limxf xA注一般地，如果
17、或 ，limxf xA limxf xA同理，不存在，因为 .limarctanxxlim arctan2xx2y 很容易看出，.111limlimlim0 xxxxxx直线 称为函数 图形的水平渐近线.0y 1yx2y arctanyx直线 和 称为函数 图形的水平渐近线.那么称直线 为函数 图形的水平渐近线.yA yf x46第二章 极限与连续练习47第二章 极限与连续二、自变量趋于有限值时的极限我们先看两个实例，再给出当 (为有限值)时函数极限的定义.0 xx0 x()1f xx()1f xx()1f xx()1f xx()1f xx()1f xx x11O-12x1O-112图2-4图
18、2-548第二章 极限与连续二、自变量趋于有限值时的极限0 xx f xAA f x0 xx综上所述，得到 时函数极限的定义.0 xx49第二章 极限与连续二、自变量趋于有限值时的极限综上所述，得到 时函数极限的定义.0 xx定义2或 .0limxxf xA 0()f xA xx记作 f x0 x设函数 在点 的某一去心邻域内有定义，A则称 为函数 f x0 xx在 时函数的极限，50第二章 极限与连续二、自变量趋于有限值时的极限的几何解释如下.0limxxf xA任意给定一正数 ，作平行于 轴的两直线:及 .存在 ，当 时，曲线 位于两条直线 及 之间.xyAyA0000,xxxxx f x
19、yAyAxOA函数极限的几何解释(趋于定点)51第二章 极限与连续例1解;lim)1(00 xxxx 0(2)lim().xxCC C为为常常数数(1)当自变量x趋于0 x时,xy 也趋于,0 x故;lim00 xxxx(2)当自变量x趋于0 x时,Cy 取相同的值,C故.lim0CCxx 二、自变量趋于有限值时的极限52第二章 极限与连续练习二、自变量趋于有限值时的极限53第二章 极限与连续二、自变量趋于有限值时的极限54第二章 极限与连续练习二、自变量趋于有限值时的极限55第二章 极限与连续二、自变量趋于有限值时的极限上述 中的“”是指 可以取 左侧的点()而趋于 ，也可以取 右侧的点()
20、而趋于 .有时我们只需考虑 从 的一侧(左侧或右侧)趋于 ，这时就需要将上述情况分别讨论.0limxxf xA0 xxx0 x0 xx0 x0 x0 xx0 xx0 x0 x如果 仅从 的左侧趋于 (记作 )时，趋于 ，则称 为 在 时的左极限，记作 .x0 x0 x f xAA f x0 xx0 xx 0000limlimxxxxx xfxfxfxA如果 仅从 的右侧趋于 (记作 )时，趋于 ，则称 为 在 时的右极限，记作 .x0 x0 x0 xx f xAA f x0 xx 0000limlimxxxxx xfxfxfxA显然有 .因此如果 、中有一个不存在，或两个虽存在但不相等，则 不
21、存在.000limxxfxAfxfxA0fx0fx 0limxxf x56第二章 极限与连续二、自变量趋于有限值时的极限例如，函数 1,00,01,0 xxf xxxx由于 ，000lim()lim11xxff xxyy=x-1y=x+1-1-111xO则 不存在（见图2-6所示）；0limxf x图2-6000lim()lim11xxff xx，00limlim1xxxxxx，0limxxx再比如，不存在，因为00limlim1xxxxxx.57第二章 极限与连续二、自变量趋于有限值时的极限例 2设,0,10,)(xxxxxf求).(lim0 xfx解因为)(lim0 xfx)1(lim0
22、xx,1)(lim0 xfx xx 0lim.0 即有)(lim0 xfx ),(lim0 xfx 所以)(lim0 xfx不存在.58第二章 极限与连续二、自变量趋于有限值时的极限例3解设,010,1)(2 xxxxxf求).(lim0 xfx0 x是函数的分段点,1)1(lim)(lim00 xxfxx.1)1(lim)(lim200 xxfxx故左右极限存在且相等,故.1)(lim0 xfx59第二章 极限与连续练习二、自变量趋于有限值时的极限60第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法极限的定义只能用来验证函数的已知极限，那么如何计算(求)函数的极限呢？要讨论极限的求法，首先要建立相关
23、的一些运算规则，比如极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等.61第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法定理 (函数极限的四则运算法则)设 ，则 0limxxf xA 0limxxg xB（1）000limlimlimxxxxxxfxg xABfxg x 000limlimlimxxxxxxfxg xA Bfxg x 000limlim(0)limxxxxxxf xf xABg xBg x（2）（3）62第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法推论若 ，存在，则 0limxxf x 0limxxg x上述极限中将“”改为“”，结论仍然成立.（证明过程有所差别）0 xxx（1）（2）（3）
24、；000limlimlimxxxxxxfxg xfxg x 00limlim()nnxxxxf xf xnZ若 ，则 .0fx 00limlimxxxxf xf x；63第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法按照四则运算法则，计算下列极限.（1）1lim 21xx3221lim53xxxx3232342lim753xxxxx（3）（2）2 13 112limlim1xxx8 174 1033 3222222limlim1lim5lim3lim1xxxxxxxx3733423lim537xxxxx例4解64第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法注 （1）设 ，则 12012nnnnnP xa
25、 xa xa xa 0012012limlimnnnnnxxxxPxa xa xa xa000012012limlimlimlim1nnnnxxxxxxxxaxaxaxa120010200nnnnna xa xa xaP x65第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法（2）设 ，其中 、为多项式，则 nmPxf xQx nP x mQx 000limlimlimnxxxxmxxP xf xQx000nmP xf xQx66第二章 极限与连续练习67第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法例 5求 .321lim221xxxx解 因为 ，即分母的极限为零，所以不能直接应用极限运算法则.221li
26、m23=1+2 1 3=0 xxx 2211lim23xxxx1(1)(1)lim(3)(1)xxxxx11lim3xxx1.2 我们先利用多项式的因式分解，约去公因式后，再利用函数极限的四则运算法则进行运算.68第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法例6计算 解 因分母的极限为零，要先对函数做必要的变形，因分子中含有根式，通常用根式有理化，然后约去分子、分母中的公因子.11lim.1xxx11lim1xxx1(1)(1)lim(1)(1)xxxxx11lim(1)xx1.269第二章 极限与连续练习三、函数极限的计算方法70第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法 00limlimxxuu
27、fg xf uA定理(复合函数的极限运算法则)设函数 是由函数 与 复合而成的，在点 的去心邻域内有定义，yfg x ug x yf u fg x0 x 若 ，且存在 ，当 时，有 ，则 00limxxg xu 0limuuf uA0000,oxU x 0g xu71第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法例 7求极限 .0limln1xx解1ux记 ，0lim10 1 1xx 由于 ，故0limln1xx1limlnuu.ln1072第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法例 8求极限 .20lim42xx由于 ，故 20lim4044xx204lim42lim2xuxu解24ux记 ，42
28、473第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法例 9求极限 .211lim2(1)xxx解一 212(1)xux12x,1解二211lim2(1)xxx211lim2(1)xxx11lim2xx11.1limuu1.故原式21,2(1)xux令1x 则当 时，74第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法例 10()求极限 ；（2）求极限 .220lim42xxx2lim42xxx解 （1）当 时，分母 的极限为零，故不能直接应用商的极限运算法则.但若采取将分母有理化，即将分子与分母同时乘 ，则得0 x 242x 242x 220lim42xxx20lim42xx （2）当 时，分子与分母都没有
29、极限，x 2lim42xxx222042lim44xxxx224极限运算法则，故也不能直接应用商的极x需先将分子、分母同时除以 .21lim42xxxx221lim142xxxx75第二章 极限与连续练习76第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法例11 已知 ,求 之值.2lim 52xxaxbxcba,解 因2lim(5)xxaxbxc222(5)(5)lim5xxaxbxcxaxbxcxaxbxc22(25)lim5xa xbxcxaxbxc2(25)lim5xca xbxbcaxx故250,25aba解得25,a 20.b 77第二章 极限与连续内容导航第二章第一节 数列的极限定义与计
30、算第二节 函数的极限定义与计算第四节 无穷小与无穷大第五节 函数的连续性及其性质第三节 两个重要极限78课 前 导 读78这一节介绍两个重要极限的计算方法.在正式介绍极限之前，我们需要回忆一下三角函数的相关公式.半角公式：sin2sincos22xxx 2222coscossin12sin2cos12222xxxxx 倍角公式：sin22sin cosxxx2222cos2cossin12sin2cos1xxxxx 79第二章 极限与连续1一、第一重要极限观察正弦函数的图像，可知当 时，那么这两个函数的比值 的极限是否存在?结果如何?0 xsin0 x sinxx-180第二章 极限与连续一、
31、第一重要极限81第二章 极限与连续一、第一重要极限（1）0limsinxxx0tanlimxxx001limlim1tantanxxxxxx201 coslimxxx0arcsinlimxxxarcsinuxsinxu0arctanlimxxxarctanuxtanxu我们由第一重要极限很容易得到下列结果(可以作为公式使用).；（2）（3）（4）（5）；（当 时 ）；（当 时 ）；01lim1sinxxx0sin1lim1cosxxxx222002sinsin1122limlim222xxxxxx0lim1sinuuu0lim1tanuuu82第二章 极限与连续一、第一重要极限例1计算下列极限
32、：（1）；（2）；1lim sinxxx23sin(9)lim3xxx302sinsin2limxxxx解()令 ，1tx1sin1lim sinlim1xxxxxx（3）；x 0t 当 时，因此0sinlim1ttt83第二章 极限与连续一、第一重要极限222333sin(9)sin(9)limlimlim(3)39xxxxxxxx题 （2）；23sin(9)lim3xxx (2)解可得2sin(9)3xx22sin(9)(3)9xxx可以先变形为 ，3x 290 x 再由 时 ，1 66 84第二章 极限与连续一、第一重要极限33002sinsin22sin2sincoslimlimxxx
33、xxxxxx20sin1cos2limxxxxx12 112 题 （3）302sinsin2limxxxxsin22sin cosxxx利用二倍角公式 可得 (3)解85第二章 极限与连续练习86第二章 极限与连续二、第二重要极限87第二章 极限与连续二、第二重要极限1lim 1ennne2.71828182845904588第二章 极限与连续二、第二重要极限当 时，0 x 111lim 1lim 11xtxtxt 11lim11tttt由 及 ，1lim 1exxx1lim 1exxx令 ，1xt x t 则当 时，因此 11lim 1ttte1lim 1exxx则得89第二章 极限与连续二
34、、第二重要极限我们还可以得到第二重要极限的另一种形式.lim()0,lim()f xAg xB()lim()g xBf xA101lim 1lim 1exuuxux1uxx 0u 利用代换 ，则当 时，于是有10lim 1exxx习惯上写作 性质 如果 ，那么 .90第二章 极限与连续二、第二重要极限例 2求下列函数的极限:1lim 1xxx23lim 1nnn210lim cosxxx10lim 1 sinxxx10lim 12xxx134lim31xxxx （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.91第二章 极限与连续二、第二重要极限解()利用重要极限 求极限，要注意函数指数中变量
35、 与底数中变量 是相同的，正负号也相同，且自变量 1lim 1xxxx.x（II）适当变形：()(1)11lim 1lim 1xxxxxx 本题 ，底数中变量为 ，指数中变量是 ，两者相差一个负号，求解时，可按下述两种方法之一计算.1111xxxxxx（I）做变换：令 ，当 时，于是xt x t 11lim 1lim 1xtxtxt1lim 1xxx题()；11lime11ttt11lim1xxx.11eex92第二章 极限与连续二、第二重要极限（2）211200lim 12lim12xxxxxx134lim31xxxx23lim 1nnn32333lim11nnnn10lim 1 sinxx
36、x210lim cosxxx10lim 12xxx题（2）；134lim31xxxx题（6）.23lim 1nnn题（3）；10lim 1sinxxx题（4）；210lim cosxxx题（5）；解（3）解（4）解（5）解（6）解2e233lim 11nnnn323e 1e0sinlimeexxxsin1sin0lim1 sinxxxxx2cos11cos10lim1 cos1xxxxx12e5(1)5lim313eexxx5(1)313155lim131xxxxx93第二章 极限与连续练习二、第二重要极限94第二章 极限与连续内容导航第二章第一节 数列的极限定义与计算第二节 函数的极限定义与
37、计算第三节 两个重要极限第五节 函数的连续性及其性质第四节 无穷小与无穷大95 即任何一个极限存在的函数都可以转化为极限为零的函数.课 前 导 读95如果 ，那么 ，lim f xA lim0f xA 这一类极限为零的函数具有非常重要的性质，所以我们需要把它们单独拿出来进行讨论.96第二章 极限与连续一、无穷小在讨论数列和函数的极限时，经常遇到以零为极限的变量.0 xx f x我们以 为例，来定义函数 无穷小的概念.1nn 例如，变量 ，当 时，其极限为 0；21xx 函数 ，当 时，其极限为 0，1x1x 函数 ，当 时，其极限为0 这些在自变量某一变化过程中以零为极限的变量统称为无穷小量(
38、简称为无穷小).97第二章 极限与连续一、无穷小定义 设 在 内有定义，若 ，则称函数 为 时的无穷小.f x00()U x 0lim0 xxf x f x0 xx31lim0nn31nxnn 由 ，知 为 时的无穷小.21lim10 xx 21f xx1x 例如，由 ，知 为 时的无穷小；1lim0 xx 1fxxx 由 ，知 为 时的无穷小；98第二章 极限与连续练习一、无穷小99第二章 极限与连续一、无穷小注 ()零是无穷小中唯一的常数.81108110 ()无穷小与一个很小的确定的常数(如 )不能混为一谈.这是因为无穷小是个变量(函数).自变量在某一变化过程中，其绝对值能小于任意给定的
39、正数 .但是 做不到这一点.1f xxx 1x ()讨论无穷小的时候，要注意自变量的变化过程.例如 ，当 时是无穷小，而当 时极限却是一个常数.由数列和函数四则运算性质可知，在自变量的同一变化过程中，有限个无穷小的和，差，积都是无穷小，下面我们给出无穷小的另一个重要性质:100第二章 极限与连续故 是当 时一、无穷小定理(无穷小运算性质)在自变量的同一变化过程中，有界函数与无穷小的乘积是无穷小.解由于 时 的极限为零，x 1x1xx sinlim0 xxxO-11yysinxxx图2-9sinlimxxx例求极限 .即的无穷小.而 是有界函数，sin1x 因此由无穷小运算性质可知，是当 时的无
40、穷小(见图2-9)，.sin xxx 101第二章 极限与连续练习一、无穷小102第二章 极限与连续二、无穷大我们仅就 的情形来定义无穷大.0 xx设 在 内有定义，如果当 时，对应的函数的绝对值 无限增大，f x00()U x0 xx f x则称函数 为 时的无穷大量，简称无穷大，记作 .f x0 xx 0limxxf x 定义103第二章 极限与连续 ，称 为当 时的正无穷大，0limxxf x f x0 xx二、无穷大若将上述“无限增大”改成 且无限增大或 且无限增大，则有 fx 0f x 0f x 因为无穷大 不是数，注这里 只是借用了极限的符号，并不意味着函数 存在极限，0limxx
41、f x f x 0limxxf x f x0 xx ，称 为当 时的负无穷大.无穷大是绝对值无限不可与绝对值很大的常数混淆，增大的变量.104第二章 极限与连续二、无穷大例2 证明 .01limxx y1Oxy1x图2-100 x yf x直线 是函数 图形的铅直渐近线（见图2-10）.证明 105第二章 极限与连续三、无穷小与无穷大的关系无穷小和无穷大之间存在密切的关系.定理在自变量的同一变化过程中，f x 1f x f x 1f x106第二章 极限与连续三、无穷小与无穷大的关系例3求 .2125lim321xxxx21321lim25xxxx2125lim321xxxx 解由无穷小与无穷
42、大的关系，有.23 12 1 102 1 5 .107第二章 极限与连续241(1)xyx例4求曲线 的渐近线方程.二、无穷大注若 或 ，则直线 称为函数 图形的铅直渐近线.0limxxf x 0limxxfx 0 xx yf x解 因为 ，2141lim(1)xxx 0y 所以 是曲线的水平渐近线.1x 所以 是曲线的铅直渐近线；241lim0(1)xxx因为 ，108第二章 极限与连续四、无穷小的比较 由无穷小的运算可知，两个无穷小的和、差是无穷小，两个无穷小的乘积是无穷小.那么两个无穷小的商又会出现什么情形呢?由此可见，在自变量的同一变化过程中，两个无穷小的商的极限可能为零，可能是非零常
43、数，也可能不存在.001sin1limlimsinxxxxxx而 不存在.0 x 比如，当 时，x2xsin x2x1sinxx，均为无穷小，01lim22xxx但 ，20lim0sinxxx，202limxxx，0sinlim1xxx及 ，109第二章 极限与连续 因此，这类极限通常称为 型未定式极限.未定式极限各不相同，反映了作为分子、分母的两个无穷小趋于零的“快慢”程度不同.四、无穷小的比较 一般情况下，两个无穷小的商的极限由于不遵循极限的运算法则，且不能立刻判断其极限是否存在，0 0 当 时，趋于零的速度比 “快”，趋于零的速度比 “慢”，而 与 趋于零的速度“差不多”.0 x 2xx
44、x2xsin xx110第二章 极限与连续四、无穷小的比较如果用精确的数学语言来描述这“快”与“慢”的程度，则有0定义设 、为自变量的同一变化过程中的无穷小，且 .lim0 o若 ，则称 是比 高阶的无穷小，记作 ；lim 若 ，则称 是比 低阶的无穷小；lim0C若 ，则称 是 的同阶无穷小；1C 特别当 时，则称 和 是等价无穷小，记作 ；111第二章 极限与连续四、无穷小的比较由此定义可以得到一些常见的无穷小比较的例子.201 cos1lim2xxx0 x 1 cosxx1 cosx2x由 知，当 时，是关于 的二阶无穷小，也称 和 是同阶无穷小.20lim03xxx0 x 2x3x2(
45、3)(0)xoxx例如，由 知，当 时，是比 高阶的无穷小，记作 ；0sinlim1xxx0 x sin xxsin(0)xx x 由 知，当 时，与 是等价无穷小，记作 ；2111limlim121xxxxx1x 21x 1x由 知，当 时，是 的同阶无穷小；21lim1nnn n 1n21n由 知，当 时，是比 低阶的无穷小；112第二章 极限与连续四、无穷小的比较例5 证明：当 时，.0 x 11 12xx 我们还可以得到一个更一般的结论：011lim12xxx0211lim11xxxx证明 021111lim11xxxxx02lim111xx0 x 11R,0 xx 时，.113第二章
46、 极限与连续五、等价无穷小的应用我们先看关于等价无穷小的两个定理.定理设 ，为自变量的同一变化过程中的无穷小，则 与 是等价无穷小的充分必要条件为 .o因此,.limlim10证明必要性:设 ，则 o o因此，即 .o充分性：设 ，则 limlimlim 11oo，114第二章 极限与连续五、等价无穷小的应用定理设 ，为自变量的同一变化过程中的无穷小，又 ，且 存在，则 .limlimlim0 x sintanarcsinarctanxxxxx21 cos2xx11(0)xx当 时，；，limlimlimlimlimlim证明 .sin33xx0 x sin 33xx1ln(0,1)xaxa
47、aa 除了以上的等价无穷小外，我们还可以得到：当 时，.通过以上的学习，我们已掌握了以下等价无穷小：这几个无穷小的等价证明会用到函数的连续性，我们留待下节再证.115第二章 极限与连续练习116第二章 极限与连续五、等价无穷小的应用例利用等价无穷小替换求下列极限:（1）；（2）；（3）；（4）求 .0tan2limtan5xxx20sinlim2xxxx20ln1lim1 cosxxx011limarctanxxx0 x tan55xx00tan222limlimtan555xxxxxx ；117第二章 极限与连续五、等价无穷小的应用；2200sinlimlim22xxxxxxxx20sinl
48、im2xxxx题 （2）解 （2）0 x sin xx当 时，所以0011limlim(2)22xxxx xx118第二章 极限与连续五、等价无穷小的应用0 x ln(1)xx211 cos2xx22200ln1limlim1 cos2xxxxxx当 时，所以题 （3）20ln1lim1 cosxxx解 （3）2119第二章 极限与连续五、等价无穷小的应用011limarctanxxx0112lim2xxx0 x 112xxarctanxx当 时，所以题 （4）011limarctanxxx题 （4）120第二章 极限与连续五、等价无穷小的应用例7 求 .eelimxaxaxaee1eelim
49、limax axaxaxaxaxa解e1()x axaxa其中 .e1e lime1x aaaxaxaea121第二章 极限与连续五、等价无穷小的应用例8 当 时，与 为等价无穷小，求常数 的值.0 x11312 x1cos x12230021113limlim1cos12xxxxxx23解得 .213 由，122第二章 极限与连续内容导航第二章第一节 数列的极限定义与计算第二节 函数的极限定义与计算第三节 两个重要极限第四节 无穷小与无穷大第五节 函数的连续性及其性质123课 前 导 读123对于函数 ，211xyx211xyx1x 1x 图2-11图2-12这时函数的曲线所以在 处曲线是“
50、断”211lim21xxx，1x 当 时极限是存在的，数 在 处是没有定义的，但是函的(见图2-11).就是“不断”的(见图2-12)，这样的函数称为“连续”函数.124第二章 极限与连续一、连续的概念“连续性”这个概念在日常生活中处处存在，如气温的变化、地球的转动、动植物的生长等均是连续变化的.这种现象在函数关系上的反映，就是“函数的连续性”.例如，就植物的生长来看，当时间变化很微小时，植物也相应发生微小的变化，这种特点就是所谓的连续性.125第二章 极限与连续.函数在一点处的连续性定义设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果 ，则称 在点 处连续.yf x0 x 00limxxf xf x
