1、第十一章 微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 第三节第三节 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程第四节第四节 二阶常系数微分方程二阶常系数微分方程第一节 微分方程的基本概念一、微分方程的定义一、微分方程的定义二、微分方程的解二、微分方程的解一、微分方程的定义例例 1 1 一一曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点),(yxM处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程.解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 xdxy22,1 yx时时其中其中,2Cxy 即即,1
2、C求求得得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为 凡是表示自变量、未知函数及其导数（或微凡是表示自变量、未知函数及其导数（或微分）与自变量之间关系的方程分）与自变量之间关系的方程 称为微分方程称为微分方程.微分方程中未知函数导数的最高阶数称为微分方程中未知函数导数的最高阶数称为方方程的程的“阶阶”，未知函数是一元函数的微分方程称未知函数是一元函数的微分方程称为为常微分方程常微分方程，当未知函数是多元函数时称为，当未知函数是多元函数时称为偏偏微分方程微分方程 如果自变量为如果自变量为x，未知函数为，未知函数为y，则，则n阶微分阶微分方程的一般形式为方程的一般形式为二、微分方程的解 任何满足微分
3、方程的函数都称为任何满足微分方程的函数都称为微分方程的解微分方程的解.如果微分方程的解中含有任意常数如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微且任意常数的个数与微分方程的阶数相同分方程的阶数相同 这样的解叫做这样的解叫做微分方程的通解微分方程的通解.不含任意常数的解称为微分方程的不含任意常数的解称为微分方程的特解特解.用来确定方程通解中任意常数的条件称为用来确定方程通解中任意常数的条件称为方程的初始条件方程的初始条件.求微分方程满足初始条件的解的问题称为求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题初值问题.第二节 一阶微分方程一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次方
4、程二、齐次方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程四、伯努利方程四、伯努利方程一、可分离变量的微分方程 一阶微分方程的一般形式为一阶微分方程的一般形式为二、齐次方程的微分方程称为齐次方程的微分方程称为齐次方程.解法解法作变量代换作变量代换 ,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy (),duuxf udx().duxf uudx即变量可分离的微分方程变量可分离的微分方程定义定义,xyu()dyyfdxx形如三、一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:,0)(xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非
5、齐次的非齐次的.,0)(xQ当当1.1.一阶线性微分方程一阶线性微分方程 的解法的解法()0dyP x ydx,)(dxxPydy ,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)(dxxPCey(使用分离变量法使用分离变量法)2.2.一阶线性微分方程一阶线性微分方程 的解法的解法()()dyP x yQ xdx对应齐次方程.0)(yxPdxdy解法：常数变易法先求出对应齐次方程0)(yxPdxdy的通解：dxxPCey)(再令C=u(x)，即()()P x dxyu x e为原方程的解，,P(x)dxP(x)dxyu(x)eu(x)P(x)e 代代入入原原
6、方方程程得得和和将将yy()()(),P x dxu x eQ x积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解()()(),P x dxu xQ x edxC dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(变易常数应满足的条件四、伯努利方程伯努利方程的标准形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1(dd则)()1()()1(ddxQnzxPnxz除方程两边,得换回原变量即
7、得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)第三节 可降阶的二阶微分方程一、一、y=f(x)型的微分方程型的微分方程二、二、y=f(x，y)型的微分方程型的微分方程三、三、y=f(y，y)型的微分方程型的微分方程一、y=f(x)型的微分方程二、y=f(x，y)型的微分方程三、y=f(y，y)型的微分方程第四节 二阶常系数微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程0 qyypy二阶常系数齐次线性方程的形式二阶常系数齐次线性方程的形式)(xfqyypy 二阶常系数线性微分方程的一般
8、形式二阶常系数线性微分方程的一般形式)(xfqyypy 称为二阶常系数非齐次线性微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程.（一）二阶常系数齐次线性方程解的结构（一）二阶常系数齐次线性方程解的结构（二）二阶常系数齐次线性方程的解法（二）二阶常系数齐次线性方程的解法,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程,得得0)(2 rxeqprr,0 rxe故有故有特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy02 qprr 1.1.有两个不相等的实根有两个不相等的实根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个特解两个特解得齐次方程的通解为得齐次方程的
9、通解为特征根为特征根为)0(;2121xrxreCeCy 2.2.有两个相等的实根有两个相等的实根1,rxye12,2prrr 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy 2(2)()0,urp urprq u,0 u知知2,rxyxe则2(),rxyu x e设另一特解为特征根为特征根为)0(,)(xxu 取取12();rxyCC x e3.3.有一对共轭复根有一对共轭复根1,ri2,ri()1,ixye()2,ixye重新组合重新组合)(21211yyy ,cos xex 2121()2yyyi,sin xex 得齐次方程的通解
10、为得齐次方程的通解为特征根为特征根为)0().sincos(21xCxCeyx 二、二阶常系数非齐次线性微分方程设非齐方程特解为xexQy)(代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若)1(,0qp2 ),()(xQxQm 可设可设是是特特征征方方程程的的单单根根，若若)2(,02 qp ,02 p),()(xxQxQm 可可设设;)(xmexQy ;)(xmexxQy 1)()()xmf xP x e型是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若)3(,02 qp ,02 p),()(2xQxxQm 可设可设综上讨论综上讨论 是重根是
11、重根是单根是单根不是根不是根 2,10k注意注意 上述结论可推广到上述结论可推广到n n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k k是重根次数）是重根次数）.)(2xmexQxy ,)(xQexymxk 设设特别地特别地 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的单根是特征方程的单根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxexAxepAeqpAy222,2,xAeqyypy ()()cos()sinaxlnf xeP xbxP xbx2)型()cossinaxlnf xePbxPbx22jbxjbxjbxjbxaxlneeeeePPj()()()()2222ajb xajb xlnlnPPPPeejj()()()(),ajb xajb xP x eP x e()1,kajb xmyx Q e利用欧拉公式利用欧拉公式()(),ajb xypyqyP x e设()1,kajb xmyx Q ekaxjbxjbxmmyx eQ eQ e()cos()sin,kaxmmx eQxbxRxbx(),()mmQx Rxm其中是 次多项式，nlm,max 0,1ajbkajb不是根是单根注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.()(),ajb xypyqyP x e设
