1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第七节 离散型随机变量及其分布列 考纲传真 (教师用书独具 )1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性 .2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用 (对应学生用书第 183 页 ) 基础知识填充 1随机变量的有关概念 (1)将随机现象中试验 (或观测 )的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量 (2)离散型随机变量：随机变量的取值能够 一一列举出来 ，这样的随机变量称为离散型随机变量 2离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念 ：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1， x2，
2、 ? ， xi， ? ， xn， X 取每一个值 xi(i 1,2， ? ， n)的概率 P(X xi) pi，以表格的形式表示如下： X x1 x2 ? xi ? xn P p1 p2 ? pi ? pn 此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列有时也用等式 P(X xi) pi， i 1,2， ? ， n 表示 X 的分布列 (2)分布列的性质 pi 0， i 1,2,3， ? ， n； ni 1pi 1. 3超几何分 布 一般地，设有 N 件产品，其中有 M(M N)件次品从中任取 n(n N)件产品，用 X表示取出的 n 件产品中次品的件数，那么 P(X k) C
3、kMCn kN MCnN (其中 k 为非负整数 ) 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称 X 服从参数为 N， M， n 的超几何分布 . 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于 1.( ) (2)离散型随机变量的各 个可能值表示的事件是彼此互斥的 ( ) (3)如果随机变量 X 的分布列由下表给出，则它服从两点分布 ( ) X 2 5 =【 ;精品教育资源文库 】 = P 0.3 0.7 (4)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 人，其中女演员的人数 X 服从超几何分布 (
4、) 答案 (1) (2) (3) (4) 2袋中有 3 个白球， 5 个黑球，从中任取 2 个，可以作为随机变量的是 ( ) A至少取到 1 个白球 B至多取到 1 个白球 C取到白球的个数 D取到的球的个数 C 选项 A、 B 是随机事件，选项 D 是确定的值，为 2，并不随机；选项 C 是 随机变量，可能取值为 0,1,2. 3 (教材改编 )设随机变量 X 的分布列如下表所示，则 p4的值是 ( ) X 1 2 3 4 P 12 14 18 p4 A 1 B 12 C 14 D 18 D 由分布列的性质，得 12 14 18 p4 1，所以 p4 18. 4设随机变量 X 等可能取值 1
5、,2,3， ? ， n，如果 P(X 4) 0.3，那么 n _. 10 由于随机变量 X 等可能取 1,2,3， ? ， n， 取到每个数的概率均为 1n， P(X 4) P(X 1) P(X 2) P(X 3) 3n 0.3， n 10. 5在含有 3 件次品的 10 件产品中任取 4 件，则取到次品数 X 的分布列为 _ P(X k) Ck3C4 k7C410 ， k 0,1,2,3 由题意知， X 服从超几何分布，其中 N 10， M 3， n 4，所以分布列为 P(X k) Ck3C4 k7C410 ， k 0,1,2,3. (对应学生用书第 184 页 ) 离散型随机变量分布列的性
6、质 设离散型随机变量 X 的分布列为 =【 ;精品教育资源文库 】 = X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求： (1)2X 1 的分布列； (2)|X 1|的分布列 解 由分布列的性质知： 0.2 0.1 0.1 0.3 m 1，所以 m 0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X 1 1 3 5 7 9 |X 1| 1 0 1 2 3 从而由上表得两个分布列为 (1)2X 1 的分布列 2X 1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)|X 1|的分布列 |X 1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 规律方
7、法 离散型随机变量分布列性质的应用 利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值及检查分布列的正确性 . 随机变量 X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概 率 . 若 X 是随机变量，则 2X 1、 |X 1|仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列 . 跟踪训练 随机变量 X 的分布列如下： X 1 0 1 P a b c 其中 a， b， c 成等差数列，则 P(|X| 1) _. 23 由题意知 ? 2b a c，a b c 1， 所以 2b b 1，则 b 13，因此 a c
8、 23. 所以 P(|X| 1) P(X 1) P(X 1) a c 23. =【 ;精品教育资源文库 】 = 离散型随机变量分布列的求法 (2017 山东高考节选 )在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现有 6 名男志愿者 A1， A2， A3， A4， A5， A6和 4 名女志愿者 B1， B2，B3， B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示 (1)求接受甲种心理暗示的志愿者
9、中包含 A1但不包含 B1的概率； (2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列 解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的事件为 M， 则 P(M) C48C510518. (2)由题意知 X 可取的值为 0,1,2,3,4，则 P(X 0) C56C510142， P(X 1) C46C14C510 521， P(X 2) C36C24C510 1021， P(X 3) C26C34C510 521， P(X 4) C16C44C510 142. 因此 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 142 521 1021 521 142 规律方法
10、 求离散型随机变量 X 的分布列的步骤： 找出随机变量 X 的所有可能取值 xi i 1， 2， 3， ? ， n ； 求出各个取值的概率 P X xi pi； 列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确 . 易错警示： 1.求离散型随机变量的分布列的关键是求 随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意计数原理、古典概型等知识的应用 . 2.离散型随机变量 要找全找对，并理解 取每一个值的含义 . 3.在求离散型随机变量 对应概率时，先求简单易求的复杂的最后用间接法 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 跟踪训练 (2018 青岛质检节选 )某科技博览会展出的智能机器人有
11、 A， B， C， D 四种型号，每种型号至少有 4 台要求每位购买者只能购买 1 台某种型号的机器人，且购买其中任意一种型号的机器人是等可能的现在有 4 个人要购买机器人 (1)在会场展览台上，展出方已放好了 A， B， C， D 四种型号的机器人各一台， 现把他们排成一排表演节目，求 A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻的概率； (2)设这 4 个人购买的机器人的型号种数为 ，求 的分布列 解 (1)4 台机器人排成一排的情况有 A44种， A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻的情况有 A22A22， 故所求的概率为 P A22A22A44 16. (2)由题意知 的所
12、有可能取值为 1,2,3,4， P( 1) C1444164， P( 2)C34C14C13 12C24C14C1344 2164， P( 3) C24C14A2344 916， P( 4) A4444332， 所以 的分布列为 1 2 3 4 P 164 2164 916 332 超几何分布 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛 . (1)设 A 为事件 “ 选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一
13、个协会 ” ，求事件 A 发生的概率； (2)设 X 为选出 的 4 人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列 . 【导学号： 79140367】 解 (1)由已知，有 P(A) C22C23 C23C23C48 635. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以，事件 A 发生的概率为 635. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4. P(X k) Ck5C4 k3C48 (k 1,2,3,4) 则 P(X 1) C15C33C48 114， P(X 2)C25C23C48 37， P(X 3) C35C13C48 37， P(X 4)C45C03C48 114. 所以随机变
14、量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 114 37 37 114 规律方法 1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，超几何分布的特征： 考察对象分两类； 已知各类对象中个体的个数； 从中抽取若干个个体，考察抽取到的某类个体个数 X 的概率分布 . 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型 . 跟踪训练 (2018 天津十二区县联考节选 (一 )某厂生产的 产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为 12.现有 10 件产品，其中 6件是一等品， 4 件是二等品 (1)随机选取 3 件产品，设至少有一件通过检测为事件 A
15、，求事件 A 的概率； (2)随机选取 3 件产品，其中一等品的件数记为 X，求 X 的分布列 . 【导学号： 79140368】 解 (1)P(A) 1 C34C310 ?123 239240， 所以随机选取 3 件产品，至少有一件通过检测的概率为 239240. (2)由题可知 X 可能取值为 0,1,2,3. P(X 0) C34C06C310 130， P(X 1)C24C16C310 310， P(X 2) C14C26C310 12， P(X 3)C04C36C310 16. 则随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 =【 ;精品教育资源文库 】 = P 130 310 12 16
