1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (四十六 ) 抛物线 A 组 基础达标 (建议用时： 30 分钟 ) 一、选择题 1 (2016 四川高考 )抛物线 y2 4x 的焦点坐标是 ( ) A (0,2) B (0,1) C (2,0) D (1,0) D 由 y2 4x 知 p 2，故抛物线的焦点坐标为 (1,0) 2 (2018 佛山模拟 )已知点 F 是抛物线 C： y2 4x 的焦点，点 A 在抛物线 C 上，若 |AF| 4，则线段 AF 的中点到抛物线 C 的准线的距离为 ( ) 【导学号： 00090309】 A 4 B 3 C 2 D 1 B 由题意易知 F(1,0)
2、， F 到准线的距离为 2， A 到准线的距离为 |AF| 4，则线段 AF的中点到抛物线 C 的准线的距离为 2 42 3. 3 O 为坐标原点， F 为抛物线 C： y2 4 2x 的焦点， P 为 C 上一点，若 |PF| 4 2，则 POF的面积为 ( ) A 2 B 2 2 C 2 3 D 4 C 如图，设点 P 的坐标为 (x0， y0)， 由 |PF| x0 2 4 2，得 x0 3 2， 代入抛物 线方程得， y20 4 23 2 24，所以 |y0| 2 6， 所以 S POF 12|OF|y0| 12 22 6 2 3. 4 (2018 岳阳模拟 )若直线 y 2x p2与
3、抛物线 x2 2py(p 0)相交于 A， B 两点，则 |AB|等于 ( ) A 5p B 10p C 11p D 12p =【 ;精品教育资源文库 】 = B 将直线方程代入抛物线方程， 可得 x2 4px p2 0， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 4p， y1 y2 9p， 直线过抛物线的焦点， |AB| y1 y2 p 10p，故选 B 5 (2018 汕头模拟 )已知 P 是抛物线 y2 4x 上的一个动点， Q 是圆 (x 3)2 (y 1)2 1 上的一个动点， N(1,0)是一个定点，则 |PQ| |PN|的最小值为 ( ) A 3 B 4 C
4、5 D 2 1 A 由抛物线方程 y2 4x，可得抛物线的焦点 F(1,0)，又 N(1,0)， N 与 F 重合过圆(x 3)2 (y 1)2 1 的圆心 M 作抛物线准线的垂线 MH，交圆于 Q，交抛物线于 P，则 |PQ| |PN|的最小值等于 |MH| 1 3.故选 A 二、填空题 6抛物线 x2 2py(p 0)的焦点为 F，其准线与双曲线 x23y23 1 相交于 A， B 两点，若 ABF为等边三角形，则 p _. 【导学号： 00090310】 6 在等边三角形 ABF 中， AB 边上的高为 p， AB2 33 p， 所以 B? ? 33 p， p2 . 又因为点 B 在双曲
5、线上， 故p233p243 1，解得 p 6. 7已知抛物线 x2 ay 与直线 y 2x 2 相交于 M， N 两点，若 MN 中点的横坐标为 3，则此抛物线方程为 _ x2 3y 设点 M(x1， y1)， N(x2， y2) 由? x2 ay，y 2x 2， 消去 y，得 x2 2ax 2a 0， 所以 x1 x22 2a2 3，即 a 3， 因此所求的抛物线方程是 x2 3y. =【 ;精品教育资源文库 】 = 8如图 871 是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米水位下降1 米后，水面宽为 _米 图 871 2 6 由题意，可设抛物线方程为 x2 2py
6、(p 0) 点 (2， 2)在抛物线上， p 1，即抛物线方程为 x2 2y. 当 y 3 时， x 6. 水位下降 1 米后，水面宽为 2 6米 三、解答题 9抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，它与圆 x2 y2 9 相交，公共弦 MN 的长为 2 5，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程 . 【导学号： 00090311】 解 由题意，设抛物线方程为 x2 2ay(a0) 设公共弦 MN 交 y 轴于 A，则 |MA| |AN|， 且 AN 5. 3 分 |ON| 3， |OA| 32 5 2 2， N( 5， 2). 6 分 N 点在抛物线上， 5 2a (2) ，即 2a
7、 52， 故抛物线的方程为 x2 52y 或 x2 52y. 8 分 抛物线 x2 52y 的焦点坐标为 ? ?0， 58 ， 准线方程为 y 58. 10 分 抛物线 x2 52y 的焦点坐标为 ? ?0， 58 ， 准线方程为 y 58. 12 分 10已知过抛物线 y2 2px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1， y1)， B(x2，y2)(x1x2)两点，且 |AB| 9. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求该抛物线的方程； (2)O 为坐标原点， C 为抛物线上一点，若 OC OA OB ，求 的值 解 (1)由题意得直线 AB 的方程为 y 2 2?
8、?x p2 ， 与 y2 2px 联立，从而有 4x2 5px p2 0， 所以 x1 x2 5p4. 3 分 由抛物线定义得 |AB| x1 x2 p 5p4 p 9， 所以 p 4，从而该抛物线的方程为 y2 8x. 5 分 (2)由 (1)得 4x2 5px p2 0，即 x2 5x 4 0，则 x1 1， x2 4，于是 y1 2 2， y2 4 2， 从而 A(1， 2 2)， B(4,4 2). 8 分 设 C(x3， y3)，则 OC (x3， y3) (1， 2 2) (4,4 2) (4 1,4 2 2 2). 10 分 又 y23 8x3，所以 2 2(2 1)2 8(4
9、1)， 整理得 (2 1)2 4 1，解得 0 或 2. 12 分 B 组 能力提升 (建议用时： 15 分钟 ) 1 (2018 石家庄模拟 )已知圆 C1： x2 (y 2)2 4，抛物线 C2： y2 2px(p 0)， C1与 C2相交于 A， B 两点，且 |AB| 8 55 ，则抛物线 C2的方程为 ( ) A y2 85x B y2 165x C y2 325x D y2 645x C 由题意，知直线 AB 必过原点，则设 AB 的方程为 y kx(易知 k 0)，圆心 C1(0,2)到直线 AB的距离 d | 2|k2 1 22 ? ?4 55 2 2 55 ，解得 k 2，由
10、? y 2x，x2 y 2 4得? x 0，y 0 或 ? x 85，y 165 ，把 ? ?85， 165 代入抛物线 方程，得 ? ?165 2 2p 85，解得 p165 ，所以抛物线 C2的方程为 y2 325x.故选 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 (2018 汕头模拟 )过抛物线 C： x2 2y 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A、 B 两点，若抛物线 C 在点 B 处的切线斜率为 1，则 |AF| _. 【导学号： 00090312】 1 x2 2y， y x22， y x， 抛物线 C 在点 B 处的切线 斜率为 1， B? ?1， 12 ， 抛物线 x2
11、 2y 的焦点 F 的坐标为 ? ?0， 12 ， 直线 l 的方程为 y 12， |AF| |BF| 1. 3抛物线 y2 4x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点 (1)若 AF 2 FB ，求直线 AB 的斜率； (2)设点 M 在线 段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为 C，求四边形 OACB 面积的最小值 解 (1)依题意知 F(1,0)，设直线 AB 的方程为 x my 1. 将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立，消去 x 得 y2 4my 4 0. 2 分 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，所以 y1 y2 4m， y1y2 4. 因为 AF 2 FB ，所以 y1 2y2. 联立上述三式，消去 y1， y2得 m 24 . 所以直线 AB 的斜率 是 2 2. 5 分 (2)由点 C 与原点 O 关于点 M 对称，得 M 是线段 OC 的中点， 从而点 O 与点 C 到直线 AB 的距离相等， 所以四边形 OACB 的面积等于 2S AOB 8 分 因为 2S AOB 2 12| OF| y1 y2| =【 ;精品教育资源文库 】 = y1 y2 2 4y1y2 4 1 m2， 所以当 m 0 时，四边形 OACB 的面积最小，最小值是 4. 12 分
