1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.5 椭圆 课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标 1 (2017 年浙江卷 )椭圆 x29y24 1 的离心率是 ( ) A. 133 B 53 C.23 D 59 解析：由椭圆方程，得 a2 9， b2 4. c2 a2 b2 5， a 3， c 5， e ca 53 . 答案： B 2 (2017 年全 国卷 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右顶点分别为 A1， A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为 ( ) A. 63 B 33 C. 23 D 13 解析： 点 A1， A2是
2、椭圆的左、右顶点， |A1A2| 2a， 以线段 A1A2为直径的圆可表示为 x2 y2 a2， 该圆的圆心为 (0,0)，半径为 a. 又 该圆与直线 bx ay 2ab 0 相切， 圆心 (0,0)到直线 bx ay 2ab 0 的距离等于半径， 即 |b0 a0 2ab|b2 a 2 a， 整理得 a2 3b2. 又 在椭圆中， a2 b2 c2， e ca a2 b2a2 63 ，故选 A. 答案： A 3曲线 x225y29 1 与曲线x225 ky29 k 1(kb0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为 b3，则椭圆的离心率为 ( ) A.14 B
3、 13 C.12 D 23 解析：如图，由椭圆的性质可知， AB 2c， AC BC a， OC b， S ABC 12AB OC 122 c b bc， S ABC 12(a a 2c) r 12(2 a 2c) b3 b a c3 ， b a c3 bc， a 2c， e ca 12. 答案： C 7椭圆 C： x2a2 y2 1(a0)的左、右焦点分别为 F1、 F2， P 为椭圆上异于端点的任意一点， PF1， PF2的中点分别为 M、 N， O 为坐标原点，四边形 OMPN 的周长为 2 3，则 PF1F2的周长是 ( ) A 2( 2 3) B 2 2 3 C. 2 3 D 4 2
4、 3 解析：如图，因为 O， M 分别为 F1F2和 PF1的中点，所以 OM PF2，且 |OM| 12|PF2|.同理，ON PF1，且 |ON| 12|PF1|，所以四边形 OMPN 为平行四边形由题意知， |OM| |ON| 3，故 |PF1| |PF2| 2 3，即 2a 2 3， a 3.由 a2 b2 c2，知 c2 a2 b2 2， c 2，所以|F1F2| 2c 2 2，故 PF1F2的周长为 2a 2c 2( 3 2)，选 A. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： A 8如图 ，已知椭圆 C 的中心为原点 O， F( 2 5， 0)为 C 的左焦点， P 为 C 上一
5、点，满足 |OP| |OF|，且 |PF| 4，则椭圆 C 的方程为 ( ) A.x225y25 1 Bx236y216 1 C.x230y210 1 Dx245y225 1 解析：设椭圆的标准方程为 x2a2y2b2 1(ab0)，焦距为 2c，右焦点为 F ，连接 PF ，如图所示因为 F( 2 5， 0)为 C 的左焦点，所以 c 2 5. 由 |OP| |OF| |OF| 知， FPF 90 ，即 FP PF. 在 Rt PFF 中，由勾股定理，得 |PF| |FF| 2 |PF|2 5 2 42 8.由椭圆定义，得 |PF| |PF| 2a 48 12，所以 a 6， a2 36，于
6、是 b2 a2 c2 36 (2 5)2 16，所以椭圆 C 的方程为 x236y216 1. 答案： B 9已知 F1、 F2是椭圆的两个焦点，满足 MF1 MF2 0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 _ 解析：满足 MF1 MF2 0 的点 M 的轨迹是以 F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有cb0)的右顶点为 A，经过原点 O的直线 l 交椭圆 C 于 P、 Q 两点，若 |PQ| a， AP PQ，则椭圆 C 的离心率为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：不妨设点 P 在第一象限，由对称性可得 |OP| |PQ|2 a2，在 Rt POA 中， cos
7、 POA |OP|OA| 12，故 POA 60 ，易得 P? ?14a， 34 a ，代入椭圆方程得， 116 3a216b2 1，故 a2 5b2 5(a2 c2)，则 c2a245，所以离心率 e2 55 . 答案： 2 55 11已知椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)， F1， F2分别为椭圆的左、右焦点， A 为椭圆的上顶点，直线 AF2交椭圆于另一点 B. (1)若 F1AB 90 ，求椭圆的离心率； (2)若 AF2 2F2B ， AF1 AB 32，求椭圆的方程 解： (1)若 F1AB 90 ，则 AOF2为等腰直角三角形，所以有 OA OF2，即 b c. 所以 a 2c
8、， e ca 22 . (2)由题知 A(0， b)， F1( c,0)， F2(c,0)，其中 c a2 b2， 设 B(x， y) 由 AF2 2F2B ，得 (c， b) 2(x c， y)， 解得 x 3c2 ， y b2， 即 B? ?3c2 ， b2 . 将 B 点坐标代入 x2a2y2b2 1，得94c2a2 b24b2 1， 即 9c24a214 1，解得 a2 3c2， 又由 AF1 AB ( c， b) ? ?3c2 ， 3b2 32， 得 b2 c2 1，即有 a2 2c2 1， 由 解得 c2 1， a2 3，从而有 b2 2. 所以椭圆的方程为 x23y22 1. 1
9、2.(2018 届河北邯郸质检 )如图，已知 F1、 F2是椭圆 G： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点，=【 ;精品教育资源文库 】 = 直线 l： y k(x 1)经过左焦点 F1，且与椭圆 G 交于 A、 B 两点， ABF2的周长为 4 3. (1)求椭圆 G 的标准方程； (2)是否存在直线 l，使得 ABF2为等腰直角三角形？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 解： (1)设椭圆 G 的半焦距为 c，因为直线 l 与 x 轴的交点为 ( 1,0)，故 c 1. 又 ABF2的周长为 4 3，即 |AB| |AF2| |BF2| 4a 4 3，故 a 3，
10、所以 b2 a2 c2 3 1 2. 因此，椭圆 G 的标准方程为 x23y22 1. (2)不 存在理由如下：先用反证法证明 AB 不可能为底边，即 |AF2| BF2|. 由题意知 F2(1,0)，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，假设 |AF2| |BF2|， 则 x1 2 y21 x2 2 y22， 又 x213y212 1，x223y222 1，代入上式，消去 y21， y22，得 (x1 x2)(x1 x2 6) 0. 因为直线 l 斜率存在，所以直线 l 不垂直于 x 轴，所以 x1 x2，故 x1 x2 6(与 x1 3，x2 3， x1 x22 3 5)的左焦点为
11、 F，直线 x m 与椭圆相交于点 A， B.若 FAB 的周长的最大值是 12，则该椭圆的离心率是 _ 解析：设椭圆的右焦点为 F ，如图，由椭圆定义知， |AF| |AF| |BF| |BF| 2a. 又 FAB 的周长为 |AF| |BF| |AB| AF| |BF| |AF| |BF| 4a， 当且仅当 AB 过右焦点 F 时等号成立 此时 4a 12，则 a 3. 故椭圆方程为 x29y25 1， 所以 c 2， 所以 e ca 23. 答案： 23 3已知椭圆 G： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为63 ，右焦点为 (2 2， 0)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于
12、A， B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P( 3,2) (1)求椭圆 G 的方程； (2)求 PAB 的面积 解： (1)由已知得 c 2 2， e ca 63 . 解得 a 2 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 b2 a2 c2 4， 所以椭圆 G 的方程为 x212y24 1. (2)设直线 l 的方程为 y x m. 由? y x m，x212y24 1，得 4x2 6mx 3m2 12 0. 设 A， B 的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)(x1b0)， 由题意知 a 2， b c， 又 a2 b2 c2，则 b 2， 所以椭圆的方程为 y24x22 1. (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由题意知，直线 l 的斜率存在， =【 ;精品教育资源文库 】 = 设其方程为 y kx m，与椭圆方程联立， 得? y2 2x2 4，y kx m. 则 (2 k2)x2 2mkx m2 4 0， (2mk)2 4(2 k2)(m2 4)0，即 m2 40， 解得 490. 解不等式 49m24， 得 23m2 或 2m 23， 所以 m 的取值范围为 ? ? 2， 23 ? ?23， 2 .
