1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 6.7 数学归纳法 课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标 1若 f(n) 1 12 13 ? 16n 1(n N*)，则 f(1)为 ( ) A 1 B 15 C 1 12 13 14 15 D非以上答案 解析：等式右边的分母是从 1 开始的连续的自然数，且最大分母为 6n 1，则当 n 1时，最大分母为 5，故选 C. 答案： C 2平面内 有 n 条直线，最多可将平面分成 f(n)个区域，则 f(n)的表达式为 ( ) A n 1 B 2n C.n2 n 22 D n2 n 1 解析： 1 条直线将平面分成 1 1 个区域； 2 条直线最多可将平面分成
2、1 (1 2) 4 个区域； 3 条直线最多可将平面分成 1 (1 2 3) 7 个区域； ? ； n 条直线最多可将平面分成 1 (1 2 3 ? n) 1 n n2 n2 n 22 个区域 答案： C 3用数学归纳法证明 “ n3 (n 1)3 (n 2)3(n N*)能被 9 整除 ” ，利用归纳法假设证明 n k 1 时，只需展开 ( ) A (k 3)3 B (k 2)3 C (k 1)3 D (k 1)3 (k 2)3 解析：假设 n k 时，原式 k3 (k 1)3 (k 2)3能被 9 整除，当 n k 1 时， (k 1)3 (k 2)3 (k 3)3为了能用上面的归纳假设，
3、只需将 (k 3)3展开，让其出现 k3即可 答案： A 4利用数学归纳法证明 “( n 1)(n 2)?( n n) 2n13?(2 n 1)， n N*” 时，从 “ n k” 变到 “ n k 1” 时，左边应增乘的因 式是 ( ) A 2k 1 B 2(2k 1) C.2k 1k 1 D 2k 3k 1 解析：当 n k(k N*)时， 左式为 (k 1)(k 2)?( k k)； =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 n k 1 时，左式为 (k 1 1)( k 1 2)?( k 1 k 1)( k 1 k)( k 1 k 1)， 则左边应增乘的式子是 k kk 1 2(2k 1)
4、答案： B 5用数学归纳法证明 “ 当 n 为正奇数时， xn yn能被 x y 整除 ” ，当第二步假设 n2k 1(k N*)命题为真时，进而需证 n _时，命题亦真 解析： n 为正奇数，假设 n 2k 1 成立后，需证明的应为 n 2k 1 时成立 答案： 2k 1 6设数列 an的前 n 项和为 Sn，且对任意的自然数 n 都有： (Sn 1)2 anSn，通过计算S1， S2， S3，猜想 Sn _. 解析：由 (S1 1)2 S21得， S1 12； 由 (S2 1)2 (S2 S1)S2得， S2 23； 由 (S3 1)2 (S3 S2)S3得 ， S3 34. 猜想 Sn
5、nn 1. 答案： nn 1 7用数学归纳法证明 1 2 3 ? n2 n4 n22 ，则当 n k 1 时左端应在 n k 的基础上加上的项为 _ 解析：当 n k 时左端为 1 2 3 ? k (k 1) (k 2) ? k2， 则当 n k 1 时，左端为 1 2 3 ? k2 (k2 1) (k2 2) ? (k 1)2， 故增加的项为 (k2 1) (k2 2) ? (k 1)2. 答案： (k2 1) (k2 2) ? (k 1)2 8用数学归纳法证明不等式 1n 1 1n 2 ? 1n n1324的过程中，由 n k 推导 n k1 时，不等式的左边增加的式子是 _ 解析：不等式
6、的左边增加的式子是 12k 1 12k 2 1k 1 1k k ，故填1k k . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： 1k k 9用数学归纳法证明等式 12 22 32 42 ? ( 1)n 1 n2 ( 1)n 1 n n2 . 证明： 当 n 1 时，左边 12 1， 右边 ( 1)0 2 1，左边右边，原等式成立 假设 n k(k N*)时，等式成立，即有 12 22 32 42 ? ( 1)k 1 k2 ( 1)k1 k k2 . 那么，当 n k 1 时，则有 12 22 32 42 ? ( 1)k 1 k2 ( 1)k(k 1)2 ( 1)k 1 k k2 ( 1)k( k
7、 1)2 ( 1)k k 12 k 2(k 1) ( 1)k k k2 . n k 1 时，等式也成立， 由 知对任意 n N*有 12 22 32 42 ? ( 1)n 1 n2 ( 1)n 1 n n2 . 10设等差数列 an的公差 d0，且 a10.记 Tn 1a1a2 1a2a3 ? 1anan 1. (1)用 a1， d 分别表示 T1、 T2、 T3，并猜想 Tn； (2)用数学归纳法证明你的猜想 解： (1)T1 1a1a2 1a1 a1 d； T2 1a1a2 1a2a3 ? ?1a1 1a2 1a2 1a3 1d ? ?1a1 1a1 2d 1d 2a1 a1 2d； T3
8、 1a1a2 1a2a3 1a3a4 ? ?1a1 1a2 1a2 1a3 1a3 1a4 1d ? ?1a1 1a1 3d 1d 3a1 a1 3d. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由此可猜想 Tn na1 a1 nd. (2)证明： 当 n 1 时， T1 1a1 a1 d，结论成立 假设当 n k 时 (k N*)时结论成立， 即 Tk ka1 a1 kd. 则当 n k 1 时， Tk 1 Tk 1ak 1ak 2 ka1 a1 kd 1a1 kd a1 k dk a1 kda1 a1 kd a1 k d k 1a1a1 k d. 即 n k 1 时，结论成立 由 可知， Tn n
9、a1 a1 nd对于一切 n N*恒成立 能 力 提 升 1 (2017 届湖北宜昌一中模拟 )已知函数 f(x) 13x3 x，数列 an满足条件： a11 ， an 1 f( an 1)试比较11 a111 a211 a3 ? 11 an与 1 的大小，并说明理由 解： f( x) x2 1， an 1 f( an 1)， an 1( an 1)2 1. 函数 g(x) (x 1)2 1 x2 2x在区间 1， ) 上单调递增，于是由 a11 ，得 a2( a1 1)2 12 2 1， 进而得 a3( a2 1)2 12 4 123 1. 由此猜想： an2 n 1. 下面用数学归纳法证明
10、这个猜想： 当 n 1 时， a12 1 1 1，结论成立； 假设 n k(k1 且 k N*)时结论成立，即 ak2 k 1，则当 n k 1 时，由 g(x) (x 1)2 1 在区间 1， ) 上单调递增知， ak 1( ak 1)2 12 2k 12 k 1 1，即 n k 1时，结论也成立 由 知，对任意 n N*，都有 an2 n 1. 即 1 an2 n， 11 an 12n. 11 a1 11 a2 11 a3 ? 11 an 12 122 123 ? 12n 1 ? ?12 n0) a1、 a2、 a4成等比数列， a22 a1 a4?(1 d)2 1(1 3d)?d 1(d
11、0)， an n(n N*) (2) 根据题意要证 bn an，即证 bn n(n N*) 用数学归纳法证明如下： 当 n 1 时， b11 ，原不等式成立； 假设 n k 时原不等 式成立，即 bk k(k N*)， 那么当 n k 1 时， bk 1 b2k (k 2)bk 3 bk(bk k 2) 3 bk(k k 2) 3 2bk 32 k 3k 1， 当 n k 1 时原不等式也成立， 综上可知 bn n(n N*)，即 bn an. 证明：由 bn 1 b2n (n 2)bn 3 bn(bn n 2) 32 bn 3，而 bn 30， bn 1 3bn 32 ， b1 34 ， b2 3b1 32 ， b3 3b2 32 ， b4 3b3 32 ， ? ， bn 3bn 1 32 ， bn 32 n 1(n N*)， 0 1bn 3 12n 1， Tn 1b1 3 1b2 3 1b3 3 ? 1bn 3 122 123 124 ? 12n 1， Tn14?1 12n1 12 12 12n 112(n N*)
