1、高中数学选择性必修二（人教 A 版 2019)同步讲义与练习4.1.1 数列的概念及通项公式14.1.2 数列的递推公式 74.2.1.1 等差数列的概念及通项公式 114.2.1.2 等差数列的性质164.2.2.1 等差数列前n 项和公式的推导及简单应用214.2.2.2 等差数列前n 项和的性质及应用244.3.1.1 等比数列的概念及通项公式 294.3.1.2 等比数列的应用及性质344.3.2.1 等比数列前n 项和公式384.3.2.2 等比数列前n 项和公式的应用434.4 数学归纳法50第四章微专题数列求和55第四章章末复习57第四章章末练习1 60第四章章末练习2 62第四
2、章章末检测试卷645.1.1 变化率问题和导数的概念695.1.2 导数的几何意义 745.2.1 基本初等函数的导数 795.2.2 导数的四则运算法则 835.2.3 简单复合函数的导数 875.3.1 函数的单调性 915.3.2.1 函数的极值975.3.2.2 函数的最大( 小) 值102第五章微专题导数应用的经典题型突破107第五章章末复习108第五章章末练习1 110第五章章末练习2 112第五章章末复习115选择性必修二综合检测试卷一117选择性必修二综合检测试卷二121第2页 共2页4.1.1 数列的概念及通项公式知识点一数列及其有关概念1一般地，我们把按照确定的顺序排列的一
3、列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1 项，常用符号a1 表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2 项，用a2 表示，第n 个位置上的数叫做这个数列的第n 项，用an 表示其中第1 项也叫做首项2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an1. 思考数列1,2,3 与数列3,2,1 是同一个数列吗？知识点二数列的分类分类标准 名称 含义 有穷数列 项数有限的数列按项的个数无穷数列 项数无限的数列知识点三函数与数列的关系数列an 是从正整数集N *( 或它的有限子集1,2，n) 到实数集R 的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数
4、列的第n 项an，记为an = f(n)知识点四数列的单调性递增数列 从第2 项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列 从第2 项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列 各项都相等的数列知识点五通项公式1如果数列an 的第n 项an 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式2通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数第1页 共 124 页2. 1,1,1,1 是一个数列 ( )3. 数列1,3,5,7 可表示为1,3,5,7 ( )4. 如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 (
5、 )5. an 与an 表达不同的含义 ( )一、数列的有关概念和分类【例1】. 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？(1)1,0.84,0.842,0.843，；(2)2,4,6,8,10，；(3)7,7,7,7，；(4) 13，19，127，181，；(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，-1,2，-3,4，-5， .【跟踪训练1.1】. 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021；(2)0，12(3)1，12，23，14，n -
6、 1，；n， 1，；2n-11， 1 ，- 1 ， 1(4) -1 2 2 3 3 4 4 5(5)1,0，-1，sin n，；2(6)9,9,9,9,9,9.，；二、由数列的前几项写出数列的一个通项公式【例2】. 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数：(1) - 1，1 ，- 1 ，12 3 41，2，9(2) ，8；2 2(3)0,1,0,1；(4)9,99,999,9 999.第2页 共 124 页【跟踪训练2.1】. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数：1 ，1 ，5，13(1) -；2 4 8 1622 - 1 ，3 ，42 - 1 2 -
7、1(2) 2 3 4(3)7,77,777,7 777.，52 - 1 5；三、数列通项公式的简单应用【例3】. 已知数列an 的通项公式是an = 2n2 - n，n N *.(1) 写出数列的前3 项；(2) 判断45 是否为数列an 中的项，3 是否为数列an 中的项【跟踪训练3.1】. 已知数列an 的通项公式为an = qn，n N *，且a4 - a2 = 72.(1) 求实数q 的值；(2) 判断-81 是否为此数列中的项延伸探究已知数列an 的通项公式为an = n2 - 5n + 4，n N *. 问当n 为何值时，an 取得最小值？并求出最小值四、数列单调性的应用【例4】.
8、 已知数列an 的通项公式是an = (n + 1) 10n，n N *. 试问该数列有没有最大项？若 11有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由1. 下列说法正确的是 ( )A. 数列1,3,5,7，2n - 1 可以表示1,3,5,7，B. 数列1,0，-1，-2 与数列-2，-1,0,1 是相同的数列C. 数列 n + 1 的第k 项为1 + 1n kD. 数列0,2,4,6,8， 可记为2n2. 已知数列an 的通项公式为an =1 + ( -1 ) n+12，n N *，则该数列的前4 项依次为 ( )A. 1,0,1,0 B. 0,1,0,1 C. 12，0，12，0 D
9、. 2,0,2,03. ( 多选) 下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是 ( )A. 1，1 ，1 ，1 ，1 ， B. sin ，sin 2 ，sin 3 ，sin n 2 3 4 n 7 7 7 7C. - 1，- 1 ，- 1 ，- 1 ，- 1， D. 1， 2， 3， n，2 4 82n-1，第3页 共 124 页4. 已知数列 3， 7， 11， 15，则该数列的一个通项公式是 ，5 3 是该数列的第 项5. 数列3,5,9,17,33， 的一个通项公式是1. ( 多选) 下列说法正确的是 ( )A. 数列可以用图象来表示 B. 数列的通项公式不唯一C. 数列中的项不能相等
10、 D. 数列可以用一群孤立的点表示2. 数列-1,3，-7,15， 的一个通项公式可以是 ( )A. an = (-1)n(2n - 1)，n N * B. an = (-1)n(2n - 1)，n N *C. an = (-1)n+1(2n - 1)，n N * D. an = (-1)n+1(2n - 1)，n N *3. 数列 23，45，67，89， 的第10 项是 ( )A.1617B.1819C.20 21D.22234. 设an = 1n+1n + 1+1n + 2+1n + 3+ + 1n2(n N *)，则a2 等于 ( )A. 14B. 12+ 13C. 12+ 13+ 1
11、4D. 12+ 13+ 14+ 155. 数列0.3,0.33,0.333,0.333 3， 的通项公式为 ( )A. an = 19(10n - 1)，n N * B. an = 29(10n - 1)，n N *C. an = 131* D. an = 31 - ，n N (10n - 1)，n N *10n106. 323 是数列n(n + 2) 的第 项a27. 若数列an 的通项公式是an = 3 - 2n，n N * 则a2n = ；a3= .8. 已知数列an 的通项公式为an = 2 020 - 3n，则使an 0 成立的正整数n 的最大值为第4页 共 124 页9. 写出下列
12、各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，；1 ，3 ，7 ，15 ，31 (2)，；2 4 8 16 32(3) - 1，8 ，- 15 ，24， .5 7 910. 在数列an 中 ，a1 = 2，a17 = 66，通项公式是关于n 的一次函数(1) 求数列an 的通项公式；(2) 求a2 020；(3)2 020 是否为数列an 中的项？11. ( 多选) 数列 2，0， 2，0， 的通项公式可以是 ( )A. an =221 - (-1)n (n N *) B. an = 1 + ( -1 ) n(n N *)C. an = 2，n 为奇数0，n 为偶数*) D. an = 22(
13、1 - cos n) (n N *)12. 已知an = n2 - 21n2，则数列an 中相等的连续两项是 ( )A. 第9 项，第10 项 B. 第10 项，第11 项 C. 第11 项，第12 项 D. 第12 项，第13 项13. 设函数f(x) =( 3 - a ) x - 3，x 7， 数列an 满足an = f(n)，n N *，且数列an 是递增ax-6，x 7，数列，则实数a 的取值范围是 ( )A.9 B.，349 C. (1,3) D. (2,3)，3414. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4) 为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，
14、小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣( 小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f(n) 个小正方形，则f(6) = .第5页 共 124 页15. 如图1 是第七届国际数学教育大会( 简称ICME - 7) 的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1 = A1A2 = A2A3 = A7A8 = 1，如果把图2 中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，OAn， 的长度构成数列an，则此数列的通项公式为 ( )A. an = n，n N * B. an = n + 1，n N *C. an = n，n N * D. an = n2，n N *16
15、. 在数列an 中 ，an = n2n2 + 1.(1) 求证：此数列的各项都在区间(0,1) 内；(2) 区间 1 ，2 内有没有数列中的项？若有，有几项？3 3第6页 共 124 页4.1.2 数列的递推公式知识点一数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式1. 思考仅由数列an 的关系式an = an-1 + 2(n 2，n N *) 就能确定这个数列吗？知识点二数列的前n 项和Sn 与an 的关系1把数列an 从第1 项起到第n 项止的各项之和，称为数列an 的前n 项和，记作Sn，即Sn = a1 + a2 + +a
16、n.2an =S1，n = 1，Sn - Sn-1，n 2.2. 在数列an 中，若an+1 = 2an，n N *，则a2 = 2a1. ( )3. 利用an+1 = 2an，n N * 可以确定数列an ( )4. 递推公式是表示数列的一种方法 ( )5. S2n 表示数列an 中所有偶数项的和. ( )一、由递推公式求数列的指定项【例5】. 设数列an 满足an =1，n = 1，1 + 1，n 2，n N *.an-1写出这个数列的前5 项【跟踪训练5.1】.已知数列an 的首项a1 = 1，且满足an+1 = 12an +12n，则此数列的第3 项是 ( )A. 1 B. 12C.3
17、4D.58【跟踪训练5.2】. 已知数列an 满足an+1 = 1 - 1an，且a1 = 2，则a2 020 的值为 ( )A. 12B. - 1 C. 2 D. 1第7页 共 124 页二、由递推公式求通项公式【例6】. 在数列an 中，a1 = 1，an+1 = an + 1n-1n + 1，则an 等于 ( )A.1nB.2n - 1nC.n - 1nD.12n【跟踪训练6.1】. 已知数列an 满足a1 = 1，an = an-1 + n + 1 - n(n 2)，求an.【跟踪训练6.2】. (2) 已知数列an 满足a1 = 1，ln an - ln an-1 = 1(n 2)，
18、求an.三、利用Sn 与an 的关系求通项公式【例7】. 设Sn 为数列an 的前n 项和，Sn = 2n2 - 30n. 求a1 及an.【跟踪训练7.1】. 已知Sn 是数列an 的前n 项和，根据条件求an.(1)Sn = 2n2 + 3n + 2；(2)Sn = 3n - 1.1. 已知在数列an 中 ，a1 = 2，an+1 = an + n(n N *)，则a4 的值为 ( )A. 5 B. 6 C. 7 D. 82. 已知数列an 的前n 项和Sn = n2 - 2n，则a2 + a18 等于 ( )A. 36 B. 35 C. 34 D. 333. 已知数列an 中，a1 =
19、1，a2 = 2，且anan+2 = an+1(n N *)，则a2 020 的值为 ( )A. 2 B. 1 C. 12D. 144. 设Sn 为数列an 的前n 项和，Sn = n2 + n，则an =5. 数列1,3,6,10,15， 的递推公式可以是a n = an-1 + (n N *，n 2)由a10 = 55，则a12 =第8页 共 124 页1. 已知数列an 满足an = 4an-1 + 3(n 2，n N *)，且a1 = 0，则此数列的第5 项是 ( )A. 15 B. 255 C. 16 D. 632. 数列 12，- 14，18，- 116， 的第n 项a n 与第n
20、 + 1 项an+1 的关系是 ( )n 与第n + 1 项an+1 的关系是 ( )A. an+1 = 2an B. an+1 = -2an C. an+1 = 12an D. an+1 = - 12an3. ( 多选) 数列2,4,6,8,10， 的递推公式是 ( )A. an = an-1 + 2(n 2，n N *) B. an = 2an-1(n 2，n N *)C. a1 = 2，an = an-1 + 2(n 2，n N *) D. a1 = 2，an+1 = an + 2(n N *)4. 已知数列an 满足a1 = 2，an+1 - an + 1 = 0(n N *)，则此数
21、列的通项公式an 等于 ( )A. n2 + 1 B. n + 1 C. 1 - n D. 3 - n5. ( 多选) 已知数列an 的前n 项和满足Sn = 2n+1 - 1，下列说法正确的是 ( )A. a1 = 3 B. an = 2n(n 2) C. an = 2n D. an = 2n(n 2)6. 已知在数列an 中 ，a1 = 2，an = - 1an-1(n 2，n N *)，则a2 020 =7. 已知数列an 的前n 项和为Sn = -n2，n N *，则an =8. 已知在数列an 中 ，a1a2 a n = n2(n N *)，则a9 =9. 已知数列an 满足an+1
22、 - an = n + 2(n N *)，且a1 = 1.(1) 求a2，a3，a4 的值；(2) 令bn = 4an - 68n，求数列bn 的前4 项10. 已知数列an 满足a1 = -1，an+1 = an + 1n ( n + 1 )，n N *，求通项公式an.第9页 共 124 页11. 已知数列an 满足a1 = 0，an+1 =an - 33an + 1(n N *)，则a2 020 等于 ( )A. - 3 B. 0 C. 3 D. 312. 下图是某省从1 月21 日至2 月24 日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图若该省从1 月21 日至2 月24 日的新冠肺炎每日新
23、增确诊人数按日期顺序排列构成数列an，an 的前n 项和为Sn，则下列说法中正确的是 ( )A. 数列an 是递增数列 B. 数列Sn 是递增数列C. 数列an 的最大项是a11 D. 数列Sn 的最大项是S1113. 已知数列an 满足a1 0，且an+1 = nn + 1an，则数列an 的最大项是 ( )A. a1 B. a9 C. a10 D. 不存在14. 设an 是首项为1 的正项数列，且(n + 1)a2n+1 - na2n + an+1an = 0(n N *)，则它的通项公式an =15. 在一个数列中，如果对任意n N *，都有anan+1an+2 = k(k 为常数)，那
24、么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积已知数列an 是等积数列，且a1 = 1，a2 = 2，公积为8，则a1 + a2 + a3 + +a 12 =16. 已知数列an 满足：a1 = m(m 为正整数)，an+1 =an，an 为偶数，23an + 1，an 为奇数.若a4 = 4，求m 所有可能的取值第10页 共 124 页4.2.1.1 等差数列的概念及通项公式知识点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，公差可正可负可为零1. 思考你能根据等差数列
25、的概念写出它的数学表达式吗？知识点二等差中项的概念由三个数a，A，b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列这时，A 叫做a 与b 的等差中项且2A = a + b.2. 思考下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4； (2) - 1,5； (3)0,0；(4)a，b.知识点三等差数列的通项公式首项为a1，公差为d 的等差数列an 的通项公式an = a1 + (n - 1)d.3. 思考由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？知识点四从函数角度认识等差数列an若数列an 是等差数列，首项为a1，公差为d，则an = f(n) = a1
26、+ (n - 1)d = nd + (a1 - d)(1) 点(n，an) 落在直线y = dx + (a1 - d) 上，这条直线的斜率为d，在y 轴上的截距为a1 - d；(2) 这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.第11页 共 124 页4. 数列4,4,4， 是等差数列 ( )5. 数列an 的通项公式为an =1，n = 1， 则an 是等差数列 ( )n + 1，n 2，6. 若一个数列从第2 项起每一项与它前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列 ( )7. 若三个数a，b，c 满足a + c = 2b，则a，b，c 一定是等差数列 ( )一、等差数列的通项公式及其应用【例8】
27、. 在等差数列an 中，(1) 已知a5 = -1，a8 = 2，求a1 与d；(2) 已知a1 + a6 = 12，a4 = 7，求an.【跟踪训练8.1】. 在等差数列an 中，求解下列各题：(1) 已知公差d = - 13，a7 = 8，则a1 = .(2) 已知a3 = 0，a7 - 2a4 = -1，则公差d = .(3) 已知an 的前3 项依次为2,6,10，则a15 = .二、等差数列的判定与证明【例9】. 已知数列an 满足a1 = 2，an+1 =(1) 数列 1an2anan + 2.(2) 求an.延伸探究将本例中的条件“a1 = 2，an+1 =2an”换 为“a1
28、= 4，an = 4 - 4an + 2 an-1(n 1)，记bn = 1”an - 2(1) 试证明数列bn 为等差数列；(2) 求数列an 的通项公式第12页 共 124 页【跟踪训练9.1】. 已知数列an 满足(an+1 - 1) (an - 1) = 3(an - an+1)，a1 = 2，令bn = 1an - 1(1) 证明：数列bn 是等差数列；(2) 求数列an 的通项公式.三、等差中项及应用【例10】. 在-1 与7 之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列【跟踪训练10.1】. 已知 1a，1b，1c成等差数列求证 ：b + ca，a + cb，a
29、+ bc也成等差数列【跟踪训练10.2】. 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项【跟踪训练10.3】.已知a，b，c 成等差数列，证明：a2(b + c)，b2(c + a)，c2(a + b) 也成等差数列四、等差数列的实际应用【例11】. 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200 万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20 万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？1. 已知等差数列an 的通项公式an = 3 - 2n(n N *)，则它的公差d 为 ( )A.
30、2 B. 3 C. - 2 D. - 32. 若5，x，y，z，21 成等差数列，则x + y + z 的值为 ( )A. 26 B. 29 C. 39 D. 523. 在等差数列an 中，若a1 = 84，a2 = 80，则使an 0，且an+1 0 的n 为 ( )A. 21 B. 22 C. 23 D. 244. 已知 3 + 1 与 3 - 1 的等差中项为a，等差数列an 的通项公式为an = a2n + 1(n N *)，公 差为d，则a + d = .第13页 共 124 页5. 九章算术是我国古代数学名著，其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升问中间
31、二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4 升，上四节容量之和为3 升，且每一节容量变化均匀( 即每节容量成等差数列)，则中间两节各多少容量？在这个问题中，中间一节的容量为升1. 设数列an 是等差数列，若a2 = 4，a4 = 6，则an 等于 ( )A. n B. 2n C. 2n - 1 D. n + 22. 在等差数列an 中，已知a3 + a8 = 10，则3a5 + a7 等于 ( )A. 10 B. 18 C. 20 D. 283. ( 多选) 已知在等差数列an 中 ，a1 = 2，且a4 + a8 = a32，则公差d 等于 ( )A0 B. 12C1 D24. 一个等差数列的前4 项是a，x，b，2x(b 0，x 0)，则 ab等于 ( )A. 14B. 12
