1、单元卷七立体几何与空间向量(基础巩固卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2021重庆南开中学期末设m是直线，是两个不同的平面，且，则“m”是“m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.2022河北张家口一模已知两条不同的直线l，m和不重合的两个平面，且l，有下面四个命题：若m，则lm；若，则l； 若，则l；若 lm，则m.其中真命题的序号是()A. B. C. D.3.2021江西南昌一模在中国古代数学经典著作九章算术中，称图中的多面体A
2、BCDEF为“刍甍”.书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即V(2ABEF)ADh，其中h是刍甍的高，即点F到平面ABCD的距离.若底面ABCD是边长为4的正方形，EF2，且EFAB，ADE和BCF是等腰三角形，AEDBFC90，则该刍甍的体积为()A. B. C.10 D.4.2021安徽合肥一模我国古代数学名著九章算术卷第五“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”PABCD，PA平面ABCD，PAABAD，E，F分别为棱PB，PD的中点.以下四个结论：PB平面AEF；EF平面PAC；平面PBD平面A
3、EF；平面AEF平面PCD.其中正确的是()A. B. C. D.5.2021河南开封一模如图，已知圆柱O1O2的底面圆半径为2，四边形ABCD是圆柱O1O2的一个轴截面，E为的中点，且异面直线AE与O1O2所成角的正切值为，则圆柱的侧面积为()A.8 B.16 C.24 D.326.2022北京海淀区一模已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，若直四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有顶点都在半径为2的球面上，则当该直四棱柱的侧面积最大时，异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为()A. B. C. D.7.2021四川雅安三模在四面体ABCD中，已知平面ABD平面ABC，
4、且ABADDBACCB4，其外接球表面积为()A. B. C.16 D.208.2021浙江宁波期中如图，已知点E、F、G、H分别是正方体ABCDA1B1C1D1中棱AA1、AB、BC、C1D1的中点，记二面角EFGD的平面角为，直线HG与平面ABCD所成角为，直线HG与直线DG所成角为，则()A. B.C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.2022江苏南京、盐城二模对于两条不同直线m，n和两个不同平面，下列选项中正确的有()A.若m，n，则mnB.若m，n，则mn或m
5、nC.若m，则m或mD.若m，mn，则n或n10.2021安徽安庆一模如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F是线段A1C1上的两个动点，且EF长为定值，下列结论中正确的是()A.BDCEB.BD平面CEFC.BEF和CEF的面积相等D.三棱锥BCEF的体积为定值11.2021东北三省四市教研联合体联考已知下列四个命题，其中真命题是()A.空间三条互相平行的直线a，b，c都与直线d相交，则a，b，c三条直线共面B.若直线m平面，直线n平面，则mnC.平面平面直线m，直线a平面，直线a平面，则amD.垂直于同一个平面的两个平面互相平行12.2021浙江绍兴第一中学期末如图，在矩形ABCD
6、中，BC1，ABx，BD和AC交于点O，将BAD沿直线BD翻折，则下列说法正确的是()A.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得ABOCB.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得ACBDC.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AB平面ACDD.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AC平面ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2022吉林长春二模“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜(如图，其反射面的形状为球冠)球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，则球的半
7、径R_.14.2021贵州遵义第一次联考改编已知三棱锥SABC中，SA平面ABC，且SA6，AB4，BC2，ABC30，则该三棱锥的体积为_，其外接球的表面积为_.15.2021山西大同一模九章算术是我国的一部古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，四边形ABCD为矩形，EFAB，若AB3EF，ADE和BCF都是正三角形，且AD2EF，则异面直线AE与CF所成角的大小为_.16.2021安徽合肥一模已知空间三条直线l1，l2，l3满足l1l2l3，两两之间的距离都为2.点A，B是直线l1上的两动点，且AB2，C，D分别在直线l2，l3上运动.下列命题：四面体ABCD的体积是定
8、值；四面体ABCD的棱AB与CD所成角为，CDsin 是定值；四面体ABCD表面积的最小值为4；四面体ABCD的内切球的体积最大值为.其中真命题是_(填上所有真命题的序号).四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)2021郑州二模如图，在四棱锥PABCD中，APPDDCCB1，AB2，APDDCBCBA90，平面PAD平面ABCD.(1)求证：PBPC；(2)求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.18.(12分)2021八省联考北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定
9、：多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为23，故其总曲率为4.(1)求四棱锥的总曲率；(2)若多面体满足：顶点数棱数面数2，证明：这类多面体的总曲率是常数.19.(12分)2022湖北七市联考如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABDC，BAD90，PDDCBC2PA2AB2，PDDC.(1)求证：PA平面ABCD；(2)设(01)，当二面角APMB的余弦值为时，求的值
10、.20.(12分)2022江苏南通一模如图，在正六边形ABCDEF中，将ABF沿直线BF翻折至ABF，如图，使得平面ABF平面BCDEF，O，H分别为BF和AC的中点.(1)证明：OH平面AEF；(2)求平面ABC与平面ADE所成锐二面角的余弦值.21.(12分)2021四川成都一模如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA14，点E，F，M，N分别为棱CC1，BC，BB1，AA1的中点.(1)求证：平面B1D1E平面C1MN；(2)若平面AFM平面A1B1C1D1l，求直线l与平面B1D1E所成角的正弦值.22.(12分)2022重庆大学附中期末如图，在平行四边形AB
11、CD中，BAD60，AB2AD4，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折，使点A至点A1位置.若M为线段A1C的中点.(1)证明：MB平面A1DE，并求MB的长；(2)在翻折过程中，当三棱锥A1DEM的体积取最大值时，求平面A1BC与平面A1DE所成的二面角的余弦值.单元卷七立体几何与空间向量(基础巩固卷)1.D由m，能够得到m与相交或m或m在平面内，不能够推出m；反之，由m，不一定得到m，m可能在内，所以“m”是“m”的既不充分也不必要条件.故选D.2.A对于，由l，m，可得lm，故正确；对于，若l，可得l，故正确；对于，若l，则l或l，故错误；对于，当l，lm时，则m或m，故错误.综上，
12、真命题的序号是，故选A.3.B如图，取AB的中点G，CD的中点H，连接EG，EH，GH，连接AH，DG交于点O，连接EO，则EFGB，EFGB，所以四边形EFBG为平行四边形，所以EGFB，同理可得EHFC.因为ADBC，ADE和BCF均为等腰直角三角形，所以EAFBEGEHED，又四边形AGHD为平行四边形，所以EOAH，EODG，又AHDGO，AH，DG平面ABCD，所以EO平面ABCD，即EO为此刍甍的高，因为AD4，所以AE2，因为AOAH，所以EO，所以此刍甍的体积V(242)4，故选B.4.D如图，因为E，F分别为PB，PD的中点，所以EFBD，在三角形PBD中，PBPDBDAB，
13、所以三角形PBD为正三角形，则PB与BD所成的角为，即PB与EF所成的角为，所以PB不可能与平面AEF垂直，所以不正确.由题意可知PABD，ACBD，又ACPAA，AC，PA平面PAC，所以BD平面PAC，又EFBD，所以EF平面PAC，所以正确.设ACBDO，连接PO，交EF于M，连接AM，则AMEF，MOEF，所以AMO为平面AEF与平面PBD所成的平面角，不妨令PBPDBDAB2，则AEEFAF1，AO1，所以AM，MOPO，在AMO中，cosAMO，即平面AEF与平面PBD所成的二面角的余弦值为，所以不正确.由题意知PDAF，CD平面PAD，AF平面PAD，所以CDAF，又CDPDD，
14、CD，PD平面PCD，所以AF平面PCD，又AF平面AEF，所以平面AEF平面PCD，所以正确，故选D. 5.C由圆柱的性质知ABO1O2，所以BAE为异面直线AE与O1O2所成的角，所以tanBAE.连接EO2，BE，由题意得BO2EO22，BO2EO2，所以BE2，所以tanBAE，解得AB6，所以圆柱的侧面积S22624.故选C.6.D连接BD1，由题易知BD1为直四棱柱ABCDA1B1C1D1外接球的直径，设ABa，CC1b，则BD14，所以2a2b216，则该直四棱柱的侧面积为4ab2(a)b(a)2b216，当且仅当a2，b2时取等号.连接A1B，交AB1于E，易知A1BD1C，所
15、以AEB为异面直线AB1与CD1所成的角.因为AB2，BB1CC12， 所以AEBEAB1，所以cosAEB，所以异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为.7.B四面体ABCD中，取AB的中点E，连CE，DE，如图：因ABADDBACCB4，则DEAB，CEAB，DECEE，DE，CE平面CDE，有AB平面CDE，因为AB平面ABC，AB平面ABD，所以平面CDE平面ABC，平面CDE平面ABD，设正ABD中心为O2，正ABC中心为O1，在平面CDE内分别过O1，O2作直线CE，DE的垂线，两线交于点O，则有O1O平面ABC，O2O平面ABD，由球的截面圆性质知，四面体ABCD外接球球心在直线O
16、1O和直线O2O上，即点O是球心，连OA，O1A，OA即为球O的半径，因平面ABD平面ABC，则CED90，而O1EO2ECE，O1AO1CCE，即有四边形OO1EO2是正方形，则O1OO1E，RtOO1A中，OO1A90，则OA，所求外接球的表面积S4OA24.故选B.8.D如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2，则E(2，0，1)，F(2，1，0)，G(1，2，0)，H(0，1，2)，(1，1，2)，(1，2，0)，(0，1，1)，(1，1，0)，显然平面ABCD的法向量为n(0，0，1)，设平面EFG的法向量为m(x，y，z)，则即令y1则z1，x1，所以m(1，1，1)，所以cos
17、 ，sin ，所以cos ，cos ，因为，即cos cos ，所以，故选D.9.ACD若m，n，则m的方向向量是的法向量，n的方向向量是的法向量，又，则，的方向向量垂直，所以m的方向向量与n的方向向量垂直，则mn，A正确；若m，n，m，n可平行，可相交，可异面，不一定垂直，B错误；若m，则m或m，C正确；若m，mn，则n或n，D正确.故选ACD.10.ABD连接AC(图略)，由于BD平面ACC1A1，CE平面ACC1A1，平面CEF与平面ACC1A1重合，所以A，B均正确；B到EF的距离为BA1C1底边A1C1上的高，C到EF的距离即为CC1，所以BEF的面积大于CEF的面积，C错误；点B到
18、平面CEF的距离为定值，CEF的面积也为定值，D正确.故选ABD.11.ABCA项，若a，b，c三条直线不共面，由平行的直线a，b与直线d相交，得a，b，d共面，而b，c平行，则c，d不可能相交，与题设矛盾，A正确；B项，由n平面可得存在直线l平面且ln，又m平面，则ml，所以mn，B正确；C项，过直线a作平面平面，与平面交于直线l，则由a，a，l，可得al，由，l，m得lm，所以am，C正确；D项，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，如墙角模型，D错误.12.ABC当ABx1时，矩形ABCD为正方形，则ACBD，将BAD沿直线BD翻折，当平面ABD平面BCD时，由OCBD，OC平面BCD，平
19、面ABD平面BCDBD，可得OC平面ABD，又AB平面ABD，所以ABOC，故选项A正确；结合选项A，又OCBD，OABD，且OAOCO，所以BD平面OAC，又AC平面OAC，所以ACBD，故选项B正确；在矩形ABCD中，ABAD，AC，所以将BAD沿直线BD翻折时，总有ABAD，取x，当将BAD沿直线BD翻折到AC时，有AB2AC2BC2，即ABAC，且ACADA，则此时满足AB平面ACD，故选项C正确；若AC平面ABD，又AO平面ABD，则ACAO，所以在AOC中，OC为斜边，这与OCOA相矛盾，故选项D不正确.故选ABC.13.如右图所示：球心到截面圆的距离为Rh，由勾股定理可得(Rh)
20、2r2R2，化简得r2h22Rh，解得R.故答案为.14.452三棱锥的体积V24sin 3064.取SB的中点O(图略)，连接OA，OC.SA平面ABC，AB平面ABC，SAAB，可得RtASB中，中线OASB.由AB4，BC2，ABC30，可知ACBC.又SABC，SA，AC是平面SAC内的相交直线，BC平面SAC，BCSC，RtBSC中，中线OCSB，O是三棱锥SABC的外接球的球心.在RtSBA中，AB4，SA6，SB2，则外接球半径RSB.因此其外接球的表面积S4R241352.15.法一如图，在平面ABFE中，过F作FGAE交AB于G，连接CG，则CFG或其补角为异面直线AE与CF
21、所成的角.设EF1，则AB3，AD2.因为EFAB，AEFG，所以四边形AEFG为平行四边形，所以FGAE2，AG1，BG2，所以GC2，又CF2，所以CG2GF2CF2，所以CFG，即异面直线AE与CF所成角的大小为.法二如图，以矩形ABCD的中心O为原点，建立空间直角坐标系，因为四边形ABCD为矩形，EFAB，ADE和BCF都是正三角形，所以EF平面yOz，且Oz是线段EF的垂直平分线.设AB3，则A(1，0)，E(0，)，C(1，0)，F(0，)，所以(1，1，)，(1，1，)，所以111(1)0，所以，所以异面直线AE与CF所成角的大小为.16.如图，以AB为三棱柱的侧棱，构造正三棱柱
22、AEMBFN，C，D两点分别在直线EF，MN上移动.对于，因为SABC222，为定值，点D到平面ABC的距离为定值，所以V四面体ABCD2， 为定值，故正确；对于，棱AB与CD所成的角为FCD，而CDsinFCD2，为定值，故正确；对于，当C，D两点分别为线段EF和MN的中点时，四面体ABCD的表面积最小，此时S表2222228，84，故不正确；对于，四面体ABCD的体积V四面体ABCDS表r，其中r是四面体ABCD内切球的半径.因为V四面体ABCD是定值，所以S表最小时，r最大，因此rmax，(V球)max，故正确.17.(1)证明如图，设AD，BC的中点分别为O，E，连接PO，OE，EP，
23、则OE为直角梯形ABCD的中位线，故BCOE.因为APPD，所以POAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD，因为BC平面ABCD，所以POBC，又POOEO，PO，OE平面PEO，所以BC平面PEO，又PE平面PEO，故BCPE，又E为BC的中点，所以PBPC.(2)解在AB上取一点F，使得AB4AF，则OF，OE，OP两两垂直，以O为坐标原点，OF，OE，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，)，A(，0)，C(，0)，D(，0)，所以，(0，1，0)，设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则
24、即可取n(，0，1)，设直线PA与平面PCD所成的角为，则sin |cos，n|.故直线PA与平面PCD所成角的正弦值为.18.(1)解四棱锥共有5个顶点，5个面.四棱锥所有面角之和等于4个三角形内角之和再加上1个四边形内角之和.所以四棱锥的总曲率为52424.(2)证明设多面体顶点数为V，棱数为E，面数为F，多面体的总曲率V2多面体所有面角之和V2多面体的所有面的内角之和.多面体的面均为多边形，由多边形的内角和公式可知，多面体的所有面的内角之和的计算过程中，每条棱都计算了两次，所以多面体的所有面的内角之和等于2EF2，从而多面体的总曲率为V22EF2(VEF)24.因此，这类多面体的总曲率是
25、常数.19.(1)证明因为四边形ABCD是直角梯形，ABDC，BAD90，所以ADDC.因为PDDC，PDADD，PD，AD平面PAD，所以CD平面PAD，又因为PA平面PAD，所以CDPA.取CD的中点E，连接BE，在RtBCE中，BC2，CE1，可得BE，所以AD.又PD2PA2，所以PA2AD2PD2，所以PAAD，又ADCDD，AD，CD平面ABCD，所以PA平面ABCD.(2)解以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则B(1，0，0)，D(0，0)，P(0，0，1)，所以(1，0，1)，(1，0)，设平面PBD的法向量m(x，y，z)，由令
26、y1，则xz，得m(，1，)，设M(x0，y0，z0)，由(01)，得(x01，y0，z0)(1，0)，所以M(1，0)，所以(0，0，1)，(1，0)，设平面PAM的法向量n(x1，y1，z1)，由得令x1，则y11，z10，得平面PAM的一个法向量为n(，1，0).设二面角APMB的平面角为，则有cos ，解得0或，因为01，所以.20.(1)证明如图，取AE的中点G，连接FG，HG，CE.又因为H是AC的中点，所以HGCE，HGCE.在正六边形ABCDEF中，BFCE，BFCE，所以HGBF，HGBF.又O为BF的中点，所以HGOF，HGOF，所以四边形OFGH为平行四边形，所以OHFG
27、.因为FG平面AEF，OH平面AEF，所以OH平面AEF.(2)解连接OA，OD，由已知条件可知OAOB，OAOD，ODOB.分别以OB，OD，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设正六边形ABCDEF的边长为2，则B(，0，0)，C(，2，0)，D(0，3，0)，E(，2，0)，A(0，0，1)，所以(0，2，0)，(，2，1)，ED(，1，0)，(0，3，1).设平面ABC的法向量为n1(x1，y1，z1)，由得取x11，可得n1(1，0，).设平面ADE的法向量为n2(x2，y2，z2)，由得取x21，可得n2(1，3).设平面ABC与平面ADE所成锐二面
28、角的大小为，则cos |cosn1，n2|.所以平面ABC与平面ADE所成锐二面角的余弦值为.21.(1)证明在长方体ABCDA1B1C1D1中，四边形BCC1B1是矩形.如图，连接ME.E，M分别为棱CC1，BB1的中点，且BB14，B1C12，四边形MEC1B1是正方形.C1MB1E.N，M分别为棱AA1，BB1的中点，NM平面BCC1B1.又B1E平面BCC1B1，NMB1E.NMC1MM，NM，C1M平面C1MN，B1E平面C1MN.B1E平面B1D1E，平面B1D1E平面C1MN.(2)解平面ABCD平面A1B1C1D1，AF平面ABCD，AF平面A1B1C1D1，AF平面AFM.平
29、面AFM平面A1B1C1D1l，AFl，直线l与平面B1D1E所成的角等于直线AF与平面B1D1E所成的角.以D为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(2，0，0)，F(1，2，0)，D1(0，0，4)，B1(2，2，4)，E(0，2，2)，(2，2，0)，(0，2，2)，(1，2，0).设平面B1D1E的法向量为m(x，y，z)，由得令z1，则y1，x1，m(1，1，1)为平面B1D1E的一个法向量.设直线l与平面B1D1E所成的角为，则sin |cos，m|.直线l与平面B1D1E所成角的正弦值为.22.(1)证明如图，取DA1的中点H，连接MH
30、，EH.因为M为A1C的中点，H为DA1的中点，所以MHCD，MHCD.又E为AB的中点，所以EBCD，EBCD，所以MHEB，且MHEB，即四边形MHEB为平行四边形，所以MBHE.又MB平面A1DE，HE平面A1DE，所以MB平面A1DE.因为四边形MHEB为平行四边形，所以MBHE.又A1DE为等边三角形，H为DA1的中点，所以HE，即MB.(2)解如图，连接EC，设三棱锥A1DEM的高为h，因为M为A1C的中点，所以VA1DEMVA1DECSDECh.又DE2，DC4，EDC60，SDEC24sin 602，所以SDEC为定值.在翻折过程中，当平面A1DE垂直于平面DEBC时，h最大，
31、三棱锥A1DEM的体积取最大值.取DE的中点O，连接A1O，因为平面A1DE平面DEBC，平面A1DE平面DEBCDE，A1ODE，A1O平面A1DE，所以A1O平面DEBC.取DC的中点N，则可得ONDE，以OE所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OA1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0，0，)，B(2，0)，C(1，2，0)，所以(2，)，(1，0).设平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1)，则即可取n1(，1，3).又平面A1DE的一个法向量n2(0，1，0)，所以cosn1，n2.由图可判断二面角的平面角为锐角，所以平面A1BC与平面A1DE所成的二面角余弦值为.
