1、1.4两条直线的交点学习目标1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系导语在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等一、判断直线的交点及由交点求参数问题点A(2,2)是否在直线l1：3x4y20和直线l2：2xy20上，点A和直线l1，l2有什么关系？提示在，点A是l1与l2的交点知识梳理1设两条直线的方程分别是l1：
2、A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20：方程组的解一组无数组无解直线l1，l2的公共点一个无数个零个直线l1，l2的位置关系相交重合平行2.已知两条直线的方程是l1：A1xB1yC10, l2：A2xB2yC20，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1xB1yC10，也满足直线l2的方程A2xB2yC20，即点P的坐标就是方程组的解注意点：(1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用(2)两条直线相交的等价条件是A1B2A2B10.例1(1)(多选)(教材P27例1改编)下列选项中，正确
3、的有()A直线l1：xy20和l2：2xy50的交点坐标为(1,3)B直线l1：x2y40和l2：2x4y80的交点坐标为(2,1)C直线l1：2xy20和l2：y2x3的交点坐标为(2,2)D直线l1：x2y10，l2：yx，l3：2xy30两两相交答案AD解析方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(1,3)，A正确；方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合，B错误；方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1l2，C错误；方程组的解为方程组的解为方程组的解也为所以，三条直线两两相交且交于同一点(1,1)，D正确(2)直线2x3yk0和直线xky120的交点在x轴上，则k的值
4、为()A24 B24 C6 D6答案A解析联立解得因为直线2x3yk0和直线xky120的交点在x轴上，所以y0，解得k24.反思感悟(1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系(2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必满足第三条直线延伸探究若将(1)中选项D改为“三条直线mx2y70，y144x和2x3y14相交于一点”，求m的值解解方程组得所以这两条直线的交点坐标为.由题意知点在直线mx2y70上，将代入，得4m270，解得m.跟踪训练1(1)直线3x2y60和2x5y70的交点为()A. B.C. D.答案B解析由得所以交点为.(2)若直
5、线l1：ykxk2与直线l2：y2x4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是()Ak Bk2Ck2 Dk或k2答案C解析方法一由题意知，直线l1过定点P(1,2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2,0)，B(0,4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，因为kPA，kPB2，所以k2.方法二由直线l1，l2有交点，得k2.由得又交点在第一象限内，所以解得k2.二、求过两直线交点的直线例2求经过两直线l1：3x4y20和l2：2xy20的交点且过坐标原点的直线l的方程解由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(2,2)直线过坐标原点，其斜率k
6、1.故直线方程为yx，即xy0.反思感悟求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下解法：先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解跟踪训练2求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程解由方程组得即P(0,2)ll3，l3的斜率为，kl，直线l的方程为y2x，即4x3y60.三、过两直线交点的直线系方程知识梳理1平行于直线AxByC0的直线系方程为AxBy0(C)2垂直于直线AxByC0的直线系方程为BxAy0.3过两条已知直线A1xB1yC10，A2xB2yC20交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)
7、0(不包括直线A2xB2yC20)例3求过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程解方法一解方程组得所以两直线的交点坐标为.又所求直线与直线3xy10平行，所以所求直线的斜率为3.故所求直线方程为y3，即15x5y160.方法二设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0.(*)由于所求直线与直线3xy10平行，所以有得.代入(*)式，得xy0，即15x5y160.延伸探究1本例中将“3xy10”改为“x3y10”，则如何求解？解由例题知直线2x3y30和xy20的交点坐标为，所求直线与x3y10平行，故斜率为，所以所求直线的方程为y，即5
8、x15y240.2本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？解设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0，由于所求直线与直线3xy10垂直，则3(2)(3)10，得，所以所求直线方程为5x15y180.反思感悟解含参数的直线恒过定点问题的策略(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得若整理成yy0k(xx0)的形式，则表
9、示的所有直线必过定点(x0，y0)跟踪训练3无论m为何值，直线l：(m1)xy7m40恒过一定点P，求点P的坐标解(m1)xy7m40，m(x7)(xy4)0，点P的坐标为(7,3)1知识清单：(1)方程组的解与直线交点个数的关系(2)两条直线的交点(3)直线系过定点问题2方法归纳：消元法、直线系法3常见误区：对两直线相交条件认识模糊1直线2xy80和直线xy10的交点坐标是()A(9，10) B(9,10)C(9,10) D(9，10)答案B解析解方程组得故两条直线的交点坐标为(9,10)2不论m为何实数，直线l：(m1)x(2m3)ym0恒过定点()A(3，1) B(2，1)C(3,1)
10、D(2,1)答案C解析直线l的方程可化为m(x2y1)x3y0，令解得直线l恒过定点(3,1)故选C.3不论a取何值时，直线(a3)x2ay60恒过第_象限答案四解析方程可化为a(x2y)(3x6)0，由得(2，1)在第四象限，故直线恒过第四象限4若三条直线2x3y80，xy10和xky0相交于一点，则k_.答案解析解方程组得又该点(1，2)也在直线xky0上，12k0，k.课时对点练1两条直线l1：2xy10与l2：x3y110的交点坐标为()A(3,2) B(2,3)C(2，3) D(3，2)答案B解析解方程组得2直线3xmy10与4x3yn0的交点为(2，1)，则mn的值为()A12 B
11、10 C8 D6答案B解析直线3xmy10与4x3yn0的交点为(2，1)将点(2，1)代入3xmy10得32m(1)10，即m5，将点(2，1)代入4x3yn0得423(1)n0，即n5，mn10.3两条直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上，那么k的值是()A24 B6 C6 D24答案C解析因为两条直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上，所以设交点为(0，b)，所以消去b，可得k6.4ABC的三个顶点分别为A(0,3)，B(3,3)，C(2,0)，如果直线xa将ABC分割成面积相等的两部分，那么实数a的值等于()A. B1C1 D2答案A解析lAC：1，即3x2y60.由得因
12、为SABC，所以a，得a或a(舍去)5过直线l1：x2y40与直线l2：xy10的交点，且过原点的直线方程为()A2xy0 B2xy0Cx2y0 Dx2y0答案D解析联立解得两条直线l1：x2y40与直线l2：xy10的交点坐标为(2,1)所以过点P(2,1)且过原点(0,0)的直线的斜率k.所以所求直线方程为y0(x0)，即x2y0.6若直线l：ykx与直线xy30相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()A|060 B|3060C|3090 D|60.又直线l的倾斜角为，则tan ，3090.7直线l1：3xy120和l2：3x2y60及y轴所围成的三角形的面积为_答案9解析
13、易知三角形的三个顶点坐标分别为(2,6)，(0,12)，(0,3)，故所求三角形的面积为929.8已知直线ax2y10与直线2x5yc0垂直相交于点(1，m)，则m_.答案2解析由两直线垂直得2a100，解得a5.又点(1，m)在直线上，所以a2m10，所以m2.9求经过直线l1：7x8y10和l2：2x17y90的交点，且垂直于直线2xy70的直线方程解由方程组解得所以交点坐标为.又因为所求直线斜率为k，所以所求直线方程为y，即27x54y370.10若两条直线l1：ykx2k1和l2：x2y40的交点在第四象限，求k的取值范围解联立两直线的方程解得该交点落在平面直角坐标系的第四象限，解得即
14、k.则k的取值范围为.11已知a，b满足2ab1，则直线ax3yb0必过定点()A. B.C. D.答案D解析由2ab1，得b12a，代入直线方程ax3yb0中，得ax3y12a0，即a(x2)3y10，令解得所以该直线必过定点.12经过直线3x2y60和2x5y70的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_答案xy10或3x4y0解析设直线方程为3x2y6(2x5y7)0，即(32)x(25)y670.令x0，得y，令y0，得x.由，得或.所以直线方程为xy10或3x4y0.13若三条直线2xy0，xy60，mxny50相交于同一点，则2m4n_.答案5解析由得所以三条直线交点坐标在直线
15、mxny50上，2m4n50，所以2m4n5.14已知A(2,4)，B(4,2)，直线l：axy20与线段AB恒相交，则a的取值范围为_答案(，31，)解析如图所示，直线l：axy20经过定点D(0，2)，a表示直线l的斜率，设线段AB与y轴交于点C，由图形知，当直线l：axy20与线段AB的交点在线段CB上时，a大于或等于DB的斜率，即a1，即a1.当直线l：axy20与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率，即a3，即a3.综上，a的取值范围为(，31，)15已知A(3,1)，B(1,2)，若ACB的平分线方程为yx1，则AC所在直线方程为()Ay2x4 Byx3Cx2y10 D3xy10答案C解析设B关于直线yx1的对称点为B(x，y)，则即解得即B(1,0)又B在直线AC上，则直线AC的方程为，即x2y10.16.如图，已知在ABC中，A(8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x2y50，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x5y80，求直线BC的方程解设B(x0，y0)，则AB的中点E的坐标为，由条件可得得解得即B(6,4)同理可求得C点的坐标为(5,0)故所求直线BC的方程为，即4xy200.
