1、第3课时对称问题学习目标1.学会点点、点线、线线对称问题.2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题一、几类常见的对称问题例1已知直线l：y3x3，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；(2)直线yx2关于l的对称直线的方程；(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程解(1)设点P关于直线l的对称点为P(x，y)，则线段PP的中点在直线l上，且直线PP垂直于直线l，即解得点P的坐标为(2,7)(2)解方程组得则点在所求直线上在直线yx2上任取一点M(2,0)，设点M关于直线l的对称点为M(x0，y0)，则 解得点M也在所求直线上由两点式得直线方程为，化简得7xy220，即为所求直线方
2、程(3)在直线l上取两点E(0,3)，F(1,0)，则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E(6,1)，F(7,4)因为点E，F在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即3xy170.反思感悟对称问题的解决方法(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P(2ax,2by)(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求设l的方程为AxByC0(A2B20)，点P(x0，y0)，则l关于P点的对称直线方程为A(2x0x)B(2y0y)C0.(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”设P(x0，y0)，l：AxByC0(A2B20)，P关
3、于l的对称点Q可以通过条件：PQl；PQ的中点在l上来求得(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题跟踪训练1已知P(1,2)，M(1,3)，直线l：y2x1.(1)求点P关于直线l的对称点R的坐标；(2)求直线PM关于直线l的对称直线方程解(1)设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)，则有解得 R .(2)因为M(1,3)的坐标满足直线l的方程，又点P关于直线l的对称点为R，则直线MR为所求的直线，方程为11x2y170.二、光的反射问题例2一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x6y25反射后通过点P(4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过
4、的路程解设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得解得点A的坐标为(4,3)反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(4,3)，A，P两点纵坐标相等，故反射光线所在直线的方程为y3.联立解得由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y3.由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度AP，由A(4,3)，P(4,3)知，AP4(4)8，即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.反思感悟根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的利用点的对称关系可以求解跟踪训练2如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从
5、点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是()A2 B6 C3 D2答案A解析由题意知，AB所在直线的方程为xy40.如图，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0)，则光线所经过的路程为CD2.三、利用对称解决有关最值问题例3在直线l：xy10上求两点P，Q.使得：(1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大；(2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小解(1)如图，设点B关于l的对称点B的坐标为(a，b)，连接BB，则kBBkl1，即11，ab40，BB的中点在直线l上，10，即ab
6、60.由得点B的坐标为(5，1)于是AB所在直线的方程为，即2xy90.易知|PBPA|PBPA|，当且仅当P，B，A三点共线时，|PBPA|最大联立直线l与AB的方程，解得x，y，即l与AB的交点坐标为.故点P的坐标为.(2)如图，设点C关于l的对称点为C，可求得C的坐标为(1,2)，AC所在直线的方程为x3y70.易知QAQCQAQC，当且仅当Q，A，C三点共线时，QAQC最小联立直线AC与l的方程，解得x，y，即AC与l的交点坐标为.故点Q的坐标为.反思感悟利用对称性求距离的最值问题由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使
7、这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A，得直线AB的方程，再求其与直线l的交点即可对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解跟踪训练3在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3,4)，则MAABBM的最小值是()A10 B11 C12 D13答案A解析如图，设点M(3,4)关于y轴的对称点为P(3,4)，关于x轴的对称点为Q(3，4)，则MBP
8、B，MAAQ.当A与B重合于坐标原点O时，MAABBMPOOQPQ10；当A与B不重合时，MAABBMAQABPBPQ10.综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，MAABBM取得最小值，最小值为10.1知识清单：(1)关于点点、点线、线线的对称问题(2)反射问题(3)利用对称解决有关最值问题2方法归纳：转化化归、数形结合3常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆1点(3,9)关于直线x3y100对称的点的坐标是()A(1，3) B(17，9)C(1,3) D(17,9)答案A解析设点(3,9)关于直线x3y100对称的点的坐
9、标为(a，b)，则由解得所以该点的坐标为(1，3)2若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线xy10对称，则()Aa1，b2 Ba2，b1Ca4，b3 Da5，b2答案D解析由解得3直线x2y10 关于直线x1对称的直线方程是()Ax2y10 B2xy10C2xy30 Dx2y30答案D解析在直线 x2y10上任取两点，如：(1,1)，这两点关于直线x1对称的点分别为 (1,1)，两对称点所在直线的方程为 y1(x1)，即 x2y30.4已知A(3,0)，B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为()A2 B6 C3 D.答
10、案D解析由题易知直线AB的方程为xy3，点P(0,2)关于x轴的对称点为P1(0，2)，设点P(0,2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图，解得P2(1,3)，光线所经过的路程为PQQMMPP1P2.课时对点练1已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(2，3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A4 B. C. D.答案D解析根据中点坐标公式得解得所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d.2点P(2,5)关于直线xy10的对称点的坐标为()A(6，3) B(3，6)C(6，3) D(6,3)答案C解析设点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(x，y)，则解得故
11、点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(6，3)3直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线方程是()A2x3y70 B3x2y20C2x3y80 D3x2y120答案C解析直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线斜率不变，设对称后的直线方程l为2x3yc0，又点(1，1)到两直线的距离相等，化简得|c1|7，解得c6 或c8，l的方程为2x3y60(舍)或 2x3y80，即直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线方程是2x3y80.4已知直线l：axbyc0与直线l关于直线xy0对称，则l的方程为()Abxayc0 Bbxayc0Cbxayc0 Dbxayc0答案A5过点(2,1)且与
12、点(1,3)距离最大的直线方程是()A2xy30 B2xy50Cx2y0 Dx2y40答案C解析过点(2,1)与点(1,3)的直线的斜率为2，故过点(2,1)且与点(1,3)距离最大的直线和这两点所在直线垂直，故所求直线的斜率为，故其方程为y1(x2)，即x2y0.6光线从点A(3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的路程为()A5 B2 C5 D10答案C解析点A(3,5)关于x轴的对称点A(3，5)，则光线从A到B的路程即AB的长，AB5.即光线从A到B的路程为5.7已知A(3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得MAMB取最小值，则点M的坐标为_答案(
13、1,0)解析如图，作点A关于x轴的对称点A(3，8)，连接AB，则AB与x轴的交点即为M，连接AM.因为B(2，2)，所以直线AB的方程为，即2xy20.令y0，得x1，所以点M的坐标为(1,0)8已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_答案6xy60解析设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，由解得即点M(1,0)又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.9已知点M(3,5)，在直线l：x2y20和y轴上各找一点P和Q，使MPQ周长最小解由点M(3,5
14、)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5,1)同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(3,5)由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x2y70.解方程组得交点P.令x0，得M1M2与y轴的交点Q.所以当P和Q的坐标分别为，时，MPQ的周长最小10已知直线l：xy30，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A.(1)试判断由此得到的ABC的个数；(2)求直线BC的方程解(1)如图，设B(m,0)，点A关于x轴的对称点为A(1，2)，点B关于直线xy30的对称点为B(3，m3)根据光学知识，知点C在直线AB上，点C又在直线BA上，且直线A
15、B的方程为y(xm)由得x.又直线AB的方程为y2(x1)，由得x.所以，即3m28m30，解得m或3.当m时，符合题意；当m3时，点B在直线xy30上，不能构成三角形综上，符合题意的ABC只有1个(2)由(1)得m，则直线AB的方程为3xy10，即直线BC的方程为3xy10.11已知点(1，1)关于直线l1：yx的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为()A2x3y50 B3x2y50C3x2y50 D2x3y50答案B解析设A(a，b)，则解得所以A(1,1)设点B(2，1)到直线l2的距离为d，当dAB时取得最大值，此时直线l2垂直于直
16、线AB，又，所以直线l2的方程为y1(x1)，即3x2y50.12已知A(2,1)，B(1,2)，点C为直线yx上的动点，则ACBC的最小值为()A2 B2 C2 D2答案C解析设B关于直线yx的对称点为B(x0，y0)，则解得B(2，1)由平面几何知识得ACBC的最小值即是BA2.故选C.13著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离结合上述观点，可得f(x)的最小值为()A2 B5 C4 D8答案B解析f(x)，f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(2,4)与B
17、(1,3)的距离之和，设点A(2,4)关于x轴的对称点为A，则A(2，4)要求f(x)的最小值，可转化为求MAMB的最小值，利用对称思想可知MAMBAB5，即f(x)的最小值为5.14唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(1，4)，若将军从点A(1,2)处出发，河岸线所在直线方程为xy3.则“将军饮马“的最短总路程为()A. B. C2 D10答案C解析如图所示，设点B关于直线xy3的对称点
18、为C(a，b)，由题意可得解得即C(7,4)，在直线xy3上取点P，由对称性可得PBPC，所以PAPBPAPCAC2，当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立，因此，“将军饮马“的最短总路程为2.15若函数y的图象上存在两点P，Q关于点(1,0)对称，则直线PQ的方程是_答案x4y10解析根据题意，设P，Q，又线段PQ的中点是(1,0)，所以整理得所以p，q为方程x22x10的根，解得x1，所以P，Q或P，Q.由两点式得直线PQ的方程为x4y10.16已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4)(1)在直线l上求一点P，使PAPB最小；(2)在直线l上求一点P，使PBPA最大解(1)设A关于直线l的对称点为A(m，n)，则解得故A(2,8)因为P为直线l上的一点，则PAPBPAPBAB，当且仅当B，P，A三点共线时，PAPB取得最小值，为AB，点P即是直线AB与直线l的交点，则得故所求的点P的坐标为(2,3)(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PBPA|AB，当且仅当A，B，P三点共线时，|PBPA|取得最大值，为AB，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为yx2，则得故所求的点P的坐标为(12,10)
