1、5.2.3简单复合函数的导数学习目标1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导导语同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数一、复合函数概念的理解问题1函数yln(2x1)是如何构成的？提示yln(2x1)，其中的2x1“占据”了对数函数yln x中x的位置，f(x)ln x，而f(2x1)ln(2x1)，
2、这里有代入、代换的思想，则函数yln(2x1)是由内层函数和外层函数复合而成，是复合函数知识梳理复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)注意点：内、外层函数通常为基本初等函数例1(多选)下列哪些函数是复合函数()Ayxln x By(3x6)2Cyesin x Dysin答案BCD解析A不是复合函数；BCD都是复合函数反思感悟若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数yf(g(x)或函数yg(f(x)均为复合函数，而f(x)，g(x)不是复合函数跟踪训练1(多选
3、)下列哪些函数是复合函数()Aylog2(2x1) By2x2Cy2ln x Dycos答案ACD二、求复合函数的导数问题2如何求函数ysin 2x的导数？提示y2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y2cos2x2sin2x2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数ysin u，它的导数ycos u，内层函数是幂函数的线性组合u2x，它的导数是u2，发现yxyuux.知识梳理复合函数的求导法则一般地，我们有，若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yxyua.注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的
4、原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导例2求下列函数的导数：(1)y；(2)ycos；(3)ylog2(2x1)；(4)ye3x2.解(1)令u13x，则yu4，所以yu4u5，ux3.所以yxyuux12u5.(2)令u2x，则ycos u，所以yxyuuxsin u22sin.(3)设ylog2u，u2x1，则yxyuux.(4)设yeu，u3x2，则yx(eu)(3x2)3eu3e3x2.反思感悟(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数；求导时分清是对哪个变量求导；计算结果尽量简洁跟踪训练2求下列函数的导数：(1)y；(2
5、)y5log2(1x)；(3)ysin.解(1)y，设y，u12x，则yx .(2)函数y5log2(1x)可看作函数y5log2u和u1x的复合函数，所以yxyuux5(log2u)(1x).(3) 设ysin u，u4x，则yx(sin u)cos u44cos.三、复合函数的导数的应用例3已知函数f(x)ax22ln(2x)(aR)，设曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线为l，若l与圆C：x2y2相切，求a的值解f(x)a(x2)2(2x)2ax，f(1)2a2，又f(1)a2ln 1a，切线l的方程为ya2(a1)(x1)，即2(a1)xya20.直线l与圆C：x2y2相切，圆心(
6、0,0)到直线l的距离为，解得a.反思感悟正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键跟踪训练3曲线yf(x)e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与平行直线l的距离为，求直线l的方程解ye2xcos 3x的导数为y2e2xcos 3x(3sin 3x)e2xe2x(2cos 3x3sin 3x)曲线在点(0,1)处的切线斜率为e0(2cos 03sin 0)2，则曲线在点(0,1)处的切线方程为y2x1，设直线l：y2xt，由d，解得t6或4.则直线l的方程为y2x6或y2x4.1.知识清单：
7、(1)复合函数的概念(2)复合函数的求导法则(3)复合函数的导数的应用2.方法归纳：转化法3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化1(多选)函数y(x21)n的复合过程正确的是()Ayun，ux21 By(u1)n，ux2Cytn，t(x21)n D. tx21, ytn答案AD2已知函数f(x)ln(ax1)的导函数是f(x)，且f(2)2，则实数a的值为()A. B. C. D1答案B解析求导得f(x)，则f(2)2，解得a.3设f(x)ln(3x2)3x2，则f(0)等于()A1 B. C1 D2答案B解析f(x)6x，故f(0)0
8、.4设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.答案2解析易知yaeax，kae0a，故a1，则a2.课时对点练1(多选)下列函数是复合函数的是()Ayx31 BycosCy Dy(2x3)4答案BCD解析A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，其中B由ycos u，ux复合而成；C由y，uln x复合而成；D由yu4，u2x3复合而成2设f(x)log3(x1)，则f(2)等于()Aln 3 Bln 3 C. D答案C解析f(x)，故f(2).3函数yxln(2x5)的导数为()Aln(2x5) Bln(2x5)C2xln(2x5) D.答案B解析yxln(2x5)，y
9、ln(2x5).4函数yf(x)x(1ax)2(a0)，且f(2)5，则a等于()A1 B1 C2 D2答案A解析y(1ax)22ax(1ax)，则f(2)12a28a15(a0)，解得a1(舍负)5曲线y2xex2在点(2,4)处切线的斜率等于()A2e Be C6 D2答案C解析y2xex2，y2ex22xex2，k2e04e06，故选C.6(多选)下列结论中不正确的是()A若ycos，则ysinB若ysin x2，则y2xcos x2C若ycos 5x，则ysin 5xD若yxsin 2x，则yxsin 2x答案ACD解析对于A，ycos，则ysin，故错误；对于B，ysin x2，则y
10、2xcos x2，故正确；对于C，ycos 5x，则y5sin 5x，故错误；对于D，yxsin 2x，则ysin 2xxcos 2x，故错误7已知f(x)xln x，若f(x0)f(x0)1，则x0的值为_答案1解析因为f(x)ln x1.所以由f(x0)f(x0)1，得ln x01x0ln x01.解得x01.8已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_答案2解析设直线yx1切曲线yln(xa)于点(x0，y0)，则y01x0，y0ln(x0a)，又曲线的导数为y，k1，即x0a1.又y0ln(x0a)，y00，x01，a2.9求下列函数的导数：(1)yln(exx2)；(2)y
11、102x3；(3)y；(4)ysin 2xcos 3x.解(1)令uexx2，则yln u.yxyuux(exx2)(ex2x).(2)令u2x3，则y10u，yxyuux10uln 10(2x3)2ln 10102x3.(3)设y，u1x2，则yx(4)ysin 2xcos 3x，y(sin 2x)cos 3xsin 2x(cos 3x)2cos 2xcos 3x3sin 2xsin 3x.10曲线ye2x1在点处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程解因为ye2x1，所以y2e2x1，所以k2，故曲线在点处的切线方程为2xy20，设直线l的方程为2xym0(m2)，由得，m7或
12、3，所以直线l的方程为2xy70或2xy30.11曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()A. B.C. D1答案A解析依题意得ye2x(2)2e2x，k2e202.所以曲线ye2x1在点(0,2)处的切线方程是y22x，即y2x2.在平面直角坐标系中作出直线y2x2，y0与yx的图象，如图所示因为直线y2x2与yx的交点坐标是，直线y2x2与x轴的交点坐标是(1,0)，所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为1.12曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是()A. B2 C3 D0答案A解析设曲线yln(2x1)在点(x0，y0)处
13、的切线与直线2xy30平行y，k2，解得x01，y0ln(21)0，即切点坐标为(1,0)切点(1,0)到直线2xy30的距离为d，即曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是.13(多选)已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值可以是()A. B. C. D. 答案CD解析因为y，所以y.因为ex0，所以ex2(当且仅当x0时取等号)，所以y1,0)，所以tan 1,0)又因为0，)，所以.14设函数f(x)cos(x)(0)，若f(x)f(x)是奇函数，则_.答案解析f(x)sin(x)，f(x)f(x)cos(x)sin(x)，令g(x)cos(x)sin(
14、x)，其为奇函数，g(0)0，即cos sin 0，tan ，又0，.15若曲线ysin 2xcos2x在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线互相垂直，则|x1x2|的最小值为()A. B. C. D答案B解析ysin 2xcos2xsin 2xsin，ycos，曲线的切线斜率在1,1范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是1.不妨设在A点处切线的斜率为1，则有2x12k1(k1Z)，2x22k2(k2Z)，则可得x1x2(k1k2)k(kZ)，所以|x1x2|min.16(1)已知f(x)exsin x，求f(x)及f；(2)在曲线y上求一点，使在该点的切线平行于x轴，并求切线方程解(1)f(x)exsin x，f(x)exsin xexcos xex(sin xcos x)f.(2)设切点坐标为P(x0，y0)，由题意可知k0.又y，k0.解得x00，此时y01.即切点坐标为P(0,1)，切线方程为y10.
