1、5.3.3最大值与最小值学习目标1.理解最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上的最值并能解决生活中的最值问题导语同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的峡谷，我们既要有俯视一切的雄心和气概，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今天要探究的函数的最值一、极值与最值的关系问题1如图是yf(x)在区间a，b上的函数图象显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值你能找到函数的最大值和
2、最小值吗？提示最大值yMf(x3)f(b)分别在xx3及xb处取得，最小值ymf(x4)在xx4处取得显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在问题2开区间上的连续函数有最值吗？提示如图容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到知识梳理函数最值的定义(1)一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意xI，总有f(x)f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值；如果在函数定义域I内存在x0，使
3、得对任意xI，总有f(x)f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域内的最小值注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间a，b上连续是f(x)在闭区间a，b上有最大值和最小值的充分不必要条件例1如图是函数yf(x)在区间a，b上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值解由题图可知，yf(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f，f，极大值为f；比较极值和端点值可知函数的最小值是f，最大值在b处取得，最大值为f(b)反思感悟最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言(
4、2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得跟踪训练1设f(x)是区间a，b上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是()Af(x)的极值点一定是最值点Bf(x)的最值点一定是极值点Cf(x)在区间a，b上可能没有极值点Df(x)在区间a，b上可能没有最值点答案C解析根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最
5、值，所以选项A，B，D都不正确，若函数f(x)在区间a，b上单调，则函数f(x)在区间a，b上没有极值点，所以C正确二、求函数的最值知识梳理求f(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤：(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将(1)中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值例2求下列函数的最值：(1)f(x)2x312x，x2,3；(2)f(x)xcos x，x0,2解(1)因为f(x)2x312x，x2,3，所以f(x)6x2126(x)(x)，令f(x)0，解得x 或x.因为f(2)8，f(3)18，f()8，f()8，所以当x时，f(x)
6、取得最小值8；当x3时，f(x)取得最大值18.(2)f(x)sin x，x0,2，令f(x)0，得x或x.因为f(0)1，f(2)1，f，f.所以当x2时，f(x)有最大值f(2)1，当x时，f(x)有最小值f.反思感悟求函数最值需注意的点(1)确定函数的定义域(2)求出定义域内的每一个极值与最值(3)比较所求的每一个极值与最值(4)得出结论跟踪训练2求下列函数的最值：(1)f(x)2x36x23，x2,4；(2)f(x).解(1)f(x)6x212x6x(x2)令f(x)0，得x0或x2.又f(0)3，f(2)5，f(4)35，f(2)37，当x4时，f(x)取最大值35.当x2时，f(x
7、)取最小值37.即f(x)的最大值为35，最小值为37.(2)函数f(x)的定义域为R.f(x)，当f(x)0时，x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示.x(，2)2(2，)f(x)0f(x)f(x)在(，2)上是增函数，在(2，)上是减函数，f(x)无最小值，且当x2时，f(x)maxf(2).三、用导数解决实际问题例3如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(
8、cm)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解AEx，HEx，EF602x，EG(602x)，V(x)(x)2(602x)x2(602x)2x360x2(0x30)V(x)6x2120x6x(x20)令V(x)0，得x0(舍去)或x20.当0x0；当20x30时，V(x)0.V(x)在x20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值包装盒的底面边长为x20(cm)，高为(30x)10(cm)，当x20时，包装盒的容积最大，此时高与底面边长的比值为.延伸探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？解AEx，HEx.EF6
9、02x，EGEF(602x)(30x)S4HEEG4x(30x)8x(30x)8x2240x8(x15)28152(0x30)当x15时，S取得最大值，最大为1 800 cm2.反思感悟解决最优问题应从以下几个方面入手(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点跟踪训练3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) (0x10)，若不建隔
10、热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解(1)由题设可知，隔热层厚度为x cm，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x).又建造费用为C1(x)6x.则隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x15，x2(舍去)当0x5时，f(x)0；当5x0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.即当隔热层修建5 cm厚时，总费用
11、f(x)达到最小，且最小值为70万元1知识清单：(1)函数最值的定义(2)求函数最值(3)函数最值的应用2方法归纳：转化化归、分类讨论3常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系1下列结论正确的是()A若f(x)在a，b上有极大值，则极大值一定是a，b上的最大值B若f(x)在a，b上有极小值，则极小值一定是a，b上的最小值C若f(x)在a，b上有极大值，则极小值一定是在xa和xb处取得D若f(x)在a，b上连续，则f(x)在a，b上存在最大值和最小值答案D解析函数f(x)在a，b上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在a，b上一定存在最大值和最小值2要做一个圆锥
12、形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为()A. cm B. cmC. cm D. cm答案B解析设圆锥的高为h cm,0h0，当h时，V2时，f(x)0，f(x)是增函数，当x2时，f(x)0，则函数在区间上是增函数，所以y的最大值为ymaxsin .3函数f(x)x33x1在区间3,0上的最大值和最小值分别是()A1，1 B1，17 C3，17 D9，19答案C解析f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x1.又f(3)279117，f(0)1，f(1)1313,13,0所以函数f(x)的最大值为3，最小值为17.4如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则
13、()A函数f(x)没有最大值也没有最小值B函数f(x)有最大值，没有最小值C函数f(x)没有最大值，有最小值D函数f(x)有最大值，也有最小值答案C解析由导函数图象可知，函数f(x)只有一个极小值点1，即f(x)在x1处取得最小值，没有最大值5某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q8 300170PP2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元 B60元 C28 000元 D23 000元答案D解析设毛利润为L(P)则L(P)PQ20Q(8 300170PP2)(P20)P3150P21
14、1 700P166 000，所以L(P)3P2300P11 700.令L(P)0，解得P30或P130(舍去)此时，L(30)23 000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元6(多选)下列关于函数f(x)(2xx2)ex的判断正确的是()Af(x)0的解集是x|0x0得0x2，故A正确f(x)(2x2)ex，令f(x)0，得x，当x时，f(x)0，当x0，当x时，f(x)取得极小值，当x时，f(x)取得极大值，故B正确当x时，f(x)0，当x时，f(x)，且f()0，结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故C不正确，D正
15、确7函数f(x)exsin x在区间上的值域为_答案解析f(x)ex(sin xcos x)因为x，所以f(x)0.所以f(x)在上为增函数，所以f(x)minf(0)0，f(x)maxf.8已知f(x)x2mx1在区间2，1上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是_答案4，2解析f(x)m2x，令f(x)0，得x.由题设得2，1，故m4，29求下列函数的最值：(1)f(x)sin xcos x，x；(2)f(x)ln(1x)x2，x0,2解(1)f(x)cos xsin x.令f(x)0，即tan x1，且x，所以x.又因为f，f1，f1，所以当x时，函数的最大值为f，最小值为f
16、1.(2)f(x)x，令x0，化简为x2x20，解得x12(舍去)，x21.当0x0，f(x)是增函数；当1x2时，f(x)0，f(1)f(2)所以f(0)0为函数f(x)ln(1x)x2在0,2上的最小值，f(1)ln 2为函数在0,2上的最大值10.如图，某段铁路AB长为80公里，BCAB，且BC10公里，为将货物从A地运往C地，现在AB上距点B为x公里的点M处修一公路至点C.已知铁路运费为每公里2元，公路运费为每公里4元(1)将总运费y表示为x的函数；(2)如何选点M才能使总运费最少？解(1)依题意，铁路AM上的运费为2(80x)元，公路MC上的运费为4元，则由A地到C地的总运费y2(8
17、0x)4(0x80)(2)y2(0x80)，令y0，解得x或x(舍去)当0x时，y0；当x80时，y0.故当x时，y取得最小值，即当在距离点B为公里的点M处修筑公路至C时总运费最少11已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)答案A解析令F(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)，F(x)f(x)g(x)bCab Da，b的大小不能确定答案A解析f(x)的定义域是，f(x)1，令f(x)0，解得0x0，解得x1，则f(x)在(0,1)上是减函数，
18、在(1，)上是增函数，f(x)的最小值是f1，故a1，g(x)xexln xx，定义域为(0，)，g(x)ex1，令h(x)xex1，则h(x)ex0，x(0，)则可得h(x)在(0，)上是增函数，且h10，故存在x0(0,1)使得h(x)0，即x01，即x0ln x00，当x(0，x0)时，h(x)0，g(x)0，函数g(x)是增函数，故当xx0时，函数取得最小值g(x0)x0ln x0x01ln x0x01，即b1，所以ab.14.如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为_时，其容积最大答案解
19、析设被切去的全等四边形的一边长为x，如图所示，则正六棱柱的底面边长为12x，高为x，所以正六棱柱的体积V6(12x)2x(4x34x2x)，则V(12x28x1)，令V0，得x(舍去)或x，当x时，V0，当x时，V0)的导数f(x)的最大值为5，则函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程是_答案15x3y20解析f(x)2x24ax32(xa)232a2，f(x)max32a25，a0，a1.f(x)2x24x3，f(1)2435.又f(1)23，所求切线方程为y5(x1)即15x3y20.16已知函数f(x)aln xbx2，a，bR，且曲线yf(x)在x1处与直线y相切(1)求a，b的值；(2)求f(x)在上的最大值解(1)f(x)2bx(x0)由曲线yf(x)在x1处与直线y相切，得即解得(2)由(1)，得f(x)ln xx2，定义域为(0，)f(x)x.令f(x)0，得0x1，令f(x)1，所以f(x)在上是增函数，在(1，e上是减函数，所以f(x)在上的最大值为f(1).
