1、第3课时导数学习目标1.理解导数及导函数的概念.2.会利用极限的思想求函数在某点处的导数以及函数的导函数导语同学们，大家知道，从数学的角度是如何衡量时代的进步的吗？那就是对函数的精细化研究，人们为了更好的研究函数的性质，400年前法国数学家首次提出了导数的概念，在此基础上，大数学家牛顿，莱布尼茨推动了对导数研究的快速前进，后来才有了柯西等人对导数的精确描述，希望同学们也能站在巨人的肩膀上，刻苦学习，深入研究，将来也一定能取得惊人的成就一、导数的概念问题1瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？提示瞬时变化率的几何意义是曲线在某点处的切线斜率；它的数学意义是函数在该点的导数知识梳理1导
2、数设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)2导数的几何意义导数f(x0)的几何意义就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率注意点：f(x)在xx0处的导数为f(x0)k.例1设函数yf(x)在xx0处可导，且1，则f等于()A. B C1 D1答案A解析由题意知 f1，所以f.反思感悟利用定义求函数在某点处的导数，仍然采用“无限逼近”的思想，由割线的斜率无限逼近函数在某点处的切线的斜率，其格式采用的是两点的斜率，故要注意分子、分母
3、的对应关系跟踪训练1已知函数f(x)可导，则 等于()Af(x) Bf(2) Cf(x) Df(2)答案B解析因为函数f(x)可导，所以f(x) ，所以 f(2)二、求函数在某一点处的导数例2求函数yx在x1处的导数解y(1x)x，1， 2.从而f(1)2.反思感悟用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤(1)求函数的改变量yf(x0x)f(x0)(2)求平均变化率.(3)求极限 .跟踪训练2(1)f(x)x2在x1处的导数为()A2x B2 C2x D1答案B解析 (2x)2.(2)已知f(x)，且f(m)，则m的值等于()A4 B2 C2 D2答案D解析因为，所以f(m) ，所以，m24，解
4、得m2.三、导函数问题2以上我们知道，求函数在某一点的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？提示这涉及到函数在任意一点的导数问题，通过f(x0) 可知f(x) ，这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个确定的数，而是一个函数知识梳理导函数的定义若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数(简称导数)yf(x)的导函数记作f(x)或y，即f(x)y .注意点：(1)f(x0)是具体的值，是数值(2)f(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的
5、一个新函数，是函数例3求函数y(x1)的导函数解令f(x)，则f(x) .反思感悟求导函数的一般步骤：(1)yf(xx)f(x)(2).(3)求极限 .跟踪训练3已知函数f(x)x2x.求f(x)解yf(xx)f(x)(x)22xxx，2xx.f(x) 2x.1知识清单：(1)导数的概念及几何意义(2)求函数在某点处的导数(3)导函数的概念2方法归纳：定义法3常见误区：利用定义求函数在某点处的导数时易忽视分子、分母的对应关系1若函数f(x)可导，则 等于()A2f(1) B.f(1)Cf(1) Df答案C解析 f(1)2若 x2，则f(x)的导函数f(x)等于()A2x B.x3Cx2 D3x
6、2答案C解析由导数的定义可知，f(x) x2.3已知曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为2xy20，则f(1)等于()A4 B4 C2 D2答案D解析由导数的几何意义知f(1)2.4已知函数f(x)，则f(1) .答案解析f(1) .课时对点练1设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线()A不存在 B与x轴平行或重合C与x轴垂直 D与x轴斜交答案B解析因为f(x0)0，所以曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率为0.2已知某质点的运动方程为s2t2t，其中s的单位是m，t的单位是s，则s为()A3 m/s B5 m/s C7 m/s D9 m/s答案C
7、解析s (72t)7.3若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 1，则f(0)等于()A2 B2 C1 D1答案C解析f(x)图象过原点，f(0)0，f(0) 1.4已知曲线f(x)x2x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为()A2 B1 C1 D2答案D解析yf(xx)f(x)(xx)2(xx)x2xxx(x)2x，xx1，f(x) x1.设切点坐标为(x0，y0)，则f(x0)x013，x02.5(多选)下列各点中，在曲线yx32x上，且在该点处的切线倾斜角为的是()A(0,0) B(1，1)C(1,1) D(1,1)答案BC解析设切点坐标为(x0，y0)，则f(x0) 3x2tan1
8、，所以x01，当x01时，y01.当x01时，y01.6(多选)若函数f(x)在xx0处存在导数，则 的值()A与x0有关 B与h有关C与x0无关 D与h无关答案AD解析由导数的定义可知，函数f(x)在xx0处的导数与x0有关，与h无关7设函数f(x)ax3，若f(1)3，则a .答案3解析因为f(1) a.又因为f(1)3，所以a3.8已知函数yf(x)在点(2,1)处的切线与直线3xy20平行，则f(2) .答案3解析因为直线3xy20的斜率为3，所以由导数的几何意义可知f(2)3.9求函数yf(x)2x24x在x3处的导数解y2(3x)24(3x)(23243)12x2(x)24x2(x
9、)216x，2x16.f(3) (2x16)16.10一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为yf(t)3t.求函数yf(t)在t2处的导数f(2)，并解释它的实际意义解因为3，所以f(2) 3.f(2)的实际意义：水流在t2时的瞬时流速为3 m3/s.11若曲线f(x)x2的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为()A4xy40 Bx4y50C4xy30 Dx4y30答案A解析设切点为(x0，y0)，因为f(x) (2xx)2x.由题意可知，切线斜率k4，即f(x0)2x04，所以x02.所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y44(x2)，即4xy40.
10、12若曲线yf(x)x上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是()A(，1) B(1,1)C(，1) D(1，)答案C解析yx上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为kf(x0) 11.即k1.13函数f(x)的图象如图所示，f(x)为函数f(x)的导函数，下列数值排序正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(3)f(2)f(2)C0f(2)f(3)f(2)f(3)D0f(3)f(2)f(2)f(3)答案B解析由f(x)的图象可知，f(x)在x2处的切线斜率大于在x3处的切线斜率，且斜率为正，0f(3)f(2)，f(3)f(2)，f(3)f(2)可看作过(2，f(2
11、)和(3，f(3)的割线的斜率，由图象可知f(3)f(3)f(2)f(2)，0f(3)f(3)f(2)0，且对于任意实数x，有f(x)0，则的最小值为 答案2解析由导数的定义，得f(0) a(x)bb0.又ac，c0.2.当且仅当ac时等号成立16点P在曲线f(x)x21上，且曲线在点P处的切线与曲线y2x21相切，求点P的坐标解设P(x0，y0)，则y0x1，f(x0) 2x0，所以在点P的切线方程为yy02x0(xx0)，即y2x0x1x，而此直线与曲线y2x21相切，所以切线与曲线y2x21只有一个公共点，由得2x22x0x2x0，则4x8(2x)0，解得x0，则y0，所以点P的坐标为或.
