1、5.3导数在研究函数中的应用5.3.1单调性第1课时单调性学习目标1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间导语我们知道f(x)刻画了函数f(x)在每一点处的变化趋势，而函数在每一点处的变化趋势可以反映函数的一些性质，比如函数的单调性，既然导数能刻画函数的变化趋势，我们不禁会想导数与函数的单调性是否有某种联系，这就是本节课要讨论的内容一、函数的单调性与导数的关系问题观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系提示(1)函数yx的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y10；(2)函
2、数yx2的定义域为R，在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数而y2x，当x0时，其导数y0时，其导数y0；当x0时，其导数y0.(3)函数yx3的定义域为R，在定义域上为增函数而y3x2，当x0时，其导数3x20；当x0时，其导数3x20；(4)函数y的定义域为(，0)(0，)，在(，0)上为减函数，在(0，)上为减函数，而y，因为x0，所以y0增函数f(x)0)解(1)因为f(x)x3x22x5，所以f(x)x22x2(x1)210，所以函数f(x)x3x22x5在R上是增函数(2)因为f(x)xln x，x(0，)，所以f(x)10，所以f(x)xln x在(0，)上是增函数(3)因为
3、f(x)xex，x(0，)，所以f(x)1exe)解(1)因为f(x)x22xaln x，x(0，)，所以f(x)2x2，对于y2x22xa，a，48a80恒成立，即f(x)0，所以f(x)x22xaln x在x(0，)上是增函数(2)因为f(x)，xe，所以f(x)0，解得x，由f(x)0，解得0x0得6x26x360，解得x2；由f(x)0得6x26x360，解得 3x0，函数在解集与定义域的交集上为增函数(4)解不等式f(x)0，则0x2，令f(x)0，则x2，f(x)的减区间为(，0)和(2，)，增区间为(0,2)(2)易知函数的定义域为(，0)(0，)f(x)1，令f(x)0，则x1
4、，令f(x)0，则1x0或0x1，函数f(x)的减区间为(1,0)和(0,1)，增区间为(，1)和(1，)三、由导数的信息画函数的大致图象例3已知导函数f(x)的下列信息：当x7时，f(x)0；当0x7时，f(x)0；当x0或x7时，f(x)0，试画出函数f(x)的大致图象解当x7时，f(x)0，可知函数f(x)在区间(，0)和(7，)上都是增函数；当0x7时，f(x)0，则f(x)是增函数，f(x)0，则f(x)是减函数；由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x)是增函数，则f(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)是减函数，则f(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f(x)0
5、.跟踪训练3(1)已知f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的()答案D解析由题图可知，当x2时，导函数f(x)0，函数f(x)是增函数，故函数f(x)的图象如图D.(2)若函数yf(x)图象如图所示，则yf(x)图象可能是()答案C解析由yf(x)图象可得：在(，b)上f(x)0，在(b，)上f(x)0)，令f(x)0，即ln x10，得x.故函数f(x)的增区间为.4函数f(x)x2cos x，x(0，)的减区间是_答案解析由f(x)12sin x，又x(0，)，x.课时对点练1已知f(x)在R上是可导函数，yf(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解
6、集为()A(2,0)(2，)B(，2)(2，)C(，1)(1，)D(2，1)(1,2)答案C解析因为f(x)在(，1)，(1，)上是增函数，所以在区间(，1)和(1，)上f(x)0.2(多选)如图是函数yf(x)的导函数f(x)的图象，则下列判断正确的是()A在区间(2,1)上，f(x)是增函数B在(1,2)上，f(x)是增函数C在(4,5)上，f(x)是增函数D在(3，2)上，f(x)是增函数答案BC解析由题图知当x(1,2)，x(4,5)时，f(x)0，所以在(1,2)，(4,5)上，f(x)是增函数，当x(3，2)时，f(x)0，所以在(3，2)上，f(x)是减函数3函数f(x)x33x
7、21的减区间为()A(2，) B(，2)C(，0) D(0,2)答案D解析f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得0x0，f(x)4，当f(x)0时，解得0x0)由f(x)0，可得x；由f(x)0，可得0x.所以函数f(x)在上是减函数，在上是增函数故选AC.7函数f(x)(x2x1)ex的减区间为_答案(2，1)解析f(x)(2x1)ex(x2x1)exex(x23x2)ex(x1)(x2)，令f(x)0，解得2x1，所以函数f(x)的减区间为(2，1)8函数yf(x)的图象如图所示，f(x)为函数f(x)的导函数，则不等式0的解集为_答案(3，1)(0,1)解析由题图知，当x(，3
8、)(1,1)时，f(x)0，故不等式0；当x(1,0)时，f(x)0.故f(x)在(，1)和(0，)上是增函数，在(1,0)上是减函数10已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程为x2y50.(1)求函数yf(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间解(1)因为f(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程为x2y50.所以f(1)，且12f(1)50，即f(1)2，即2，又f(x)，所以.由得a2，b3.(因为b10，所以b1舍去)所以所求函数的解析式是f(x).(2)由(1)知，f(x).令2x212x60，解得x132，x232，则当x32时，f(x)0；当32x0.所
9、以f(x)的增区间是(32，32)；减区间是(，32)和(32，)11函数f(x)xcos x的导函数f(x)在区间，上的图象大致是()答案A解析因为f(x)xcos x，所以f(x)cos xxsin x.因为f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数，所以函数图象关于y轴对称由f(0)1可排除C，D.而f(1)cos 1sin 10，yxex在(0，)内为增函数13.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数yf(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2R，下列结论正确的是()A.0CfDf答案AD解析由题图可知，函数yf(x)的大致图象如图所示A选项表示x1x2与ff异号，即f(x)图象
10、的割线斜率为负，故A正确；B选项表示x1x2与ff同号，即f(x)图象的割线斜率为正，故B不正确；f表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当xx1和xx2时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有f0，若f(1)0，则关于x的不等式xf(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，又f(x)为偶函数，所以f(1)f(1)0，且f(x)在(，0)上是减函数，f(x)的草图如图所示，所以xf(x)0，所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确；对于C，g(x)ex3xx在定义域R上是减函数，C不正确；对于D，g(x)excos x，则g(x)excos，g(x)0在定义域R上不恒成立，D不正确16已知函数f(x)(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间解(1)由f(x)，可得f(x).曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，f(1)0，即0，解得k1.(2)由(1)知，f(x)(x0)，设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0.可知h(x)在(0，)上为减函数，由h(1)0知，当0xh(1)0，故f(x)0；当x1时，h(x)h(1)0，故f(x)0.综上，f(x)的增区间是(0,1)，减区间是(1，)
