1、习题课函数的存在性问题与恒成立问题学习目标1.了解利用导数研究函数的存在性问题和恒成立问题的方法.2.初步运用导数解决有关的存在性问题和恒成立问题一、函数的恒成立问题例1设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(舍去)当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如表所示：t(0,1)1(1,2)g(t)
2、0g(t)1m对t(0,2)，当t1时，g(t)max1m，h(t)2tm对t(0,2)恒成立，等价于g(t)0对t(0,2)恒成立，只需g(t)max1m1.故实数m的取值范围是(1，)反思感悟(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“”跟踪训练1设函数f(x)2x39x212x8c.(1)若对任意的x0,3，都有f(x)c2成立，求c
3、的取值范围；(2)若对任意的x(0,3)，都有f(x)c2成立，求c的取值范围解(1)f(x)6x218x126(x1)(x2)，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(1,2)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(2,3)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x1时，f(x)取极大值f(1)58c.又f(3)98cf(1)，当x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.对任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，98cc2，即c1或c9，c的取值范围为(，1)(9，)(2)由(1)知f(x)f(3)98c，98cc2，即c1或c9，c的取值范围为(，19，)二、函数的存在性问题例
4、2已知函数f(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)f(x)x，求证：g(x)1；(3)设h(x)f(x)x22ax4a21，若存在x0使得h(x0)0，求a的最大值(1)解因为f(x)，所以f(x).令f(x)0，即1ln x0，解得0xe；令f(x)0，即1ln xe，所以f(x)的增区间为(0，e)，减区间为(e，)(2)证明因为f(x)，所以g(x)x，所以g(x)1，令t(x)1ln xx2，则t(x)2x0，g(x)0；当x(1，)时，t(x)0，g(x)时，由(2)可知，x1，即x1.所以h(x)xx22ax4a2224a23a2a0，h(x)0，即不存在x0使得
5、h(x0)0.综上所述，a的最大值为.反思感悟存在性问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化，若存在x，使得f(x)成立f(x)min；若存在x，使得f(x)成立f(x)max.跟踪训练2已知函数f(x)xln xaxb(a，bR)在点(1，f(1)处的切线为3xy20.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若存在实数m，使得m2m10，故h(x)在1,4上是增函数，h(x)h(1)1.要存在实数m，使得m2m1在x时成立，只要m2m1max1即可，解得1m0在1,2上恒成立，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba1Ca4答案D解析由题意知，不等式x32xax32x，令
6、g(x)x32x，则g(x)3x220在1,2上恒成立，因此g(x)maxg(2)4，故a4.3已知函数f(x)x22ln x，若关于x的不等式f(x)m0在1，e上有实数解，则实数m的取值范围是()A(，e22) B(，e22C(，1 D(，1)答案B解析由题意可知，存在x1，e，使得mf(x)，则mf(x)max.f(x)x22ln x，f(x)2x，当x1，e时，f(x)0，函数f(x)在区间1，e上是增函数，则f(x)maxf(e)e22，me22，因此实数m的取值范围是(，e224(多选)定义在(0，)上的函数f(x)的导函数为f(x)，且(x1)f(x)f(x)5B若f(1)2，x
7、1，则f(x)x2xCf(3)2f(1)7D若f(1)2,0xx2x答案CD解析设函数g(x)，则g(x)，因为(x1)f(x)f(x)x22x，所以g(x)g(2)g(3)，整理得2f(2)3f(1)5，f(3)2f(1)7，故A错误，C正确；当0xg(1)，即，即f(x)x2x，故D正确，B不正确二、填空题5若不等式exkx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为_答案e解析不等式exkx对任意实数x恒成立，即f(x)exkx0恒成立，即f(x)min0.f(x)exk，当k0时，可得f(x)0恒成立，f(x)单调递增，无最小值当k0时，xln k时，f(x)0，f(x)单调递增；xln k
8、时，f(x)0，f(x)单调递减即当xln k时，f(x)取得最小值，最小值为kkln k，由kkln k0，解得01在区间(1，)内恒成立，则实数a的取值范围为_答案1，)解析由f(x)1，得axln x1，x1，原不等式转化为a，设g(x)，得g(x)，当x(1，)时，g(x)0，则g(x)在(1，)上是减函数，则g(x)在(1，)上恒成立，a1.三、解答题7已知函数f(x)x，其中aR，e是自然对数的底数(1)当a1时，求函数f(x)在区间0，)上的零点个数；(2)若f(x)2对任意的实数x恒成立，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)x，则f(x)10，f(x)在0，)上是增函数，又
9、f(0)10，故x0(0,1)，使得f(x0)0，函数f(x)在区间0，)上有1个零点(2)若f(x)2对任意的实数x恒成立，即aex(2x)恒成立，令g(x)ex(2x)，则g(x)ex(1x)，令g(x)0，得x1；令g(x)1，g(x)在(，1)上是增函数，在(1，)上是减函数，g(x)maxg(1)e，a的取值范围为(e，)8已知函数f(x)ex2ax(aR)(1)若a，求函数f(x)的单调区间；(2)当x2,3时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a时，f(x)exx，f(x)ex1，令f(x)0，得x0；令f(x)0，得x0；令f(x)0，得x0恒成立g(x)在2,3上
10、是增函数，g(x)ming(2)，2a，即a，故实数a的取值范围为.9已知函数f(x)(xa)ex，其中a为常数(1)若函数f(x)在区间1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若f(x)e3xex在x0,1时恒成立，求实数a的取值范围解(1)由f(x)(xa)ex，得f(x)(xa1)ex，函数f(x)在区间1，)上是增函数，f(x)(xa1)ex0在区间1，)上恒成立，即ax1在区间1，)上恒成立，当x1，)时，x1(，0，a0.即实数a的取值范围是0，)(2)f(x)e3xex在x0,1时恒成立，等价于ae3x2x在x0,1时恒成立，令g(x)e3x2x，则ag(x)max，g(x)e3x20，g(x)在0,1上是减函数，g(x)在区间0,1上的最大值g(x)maxg(0)e3，ae3，即实数a的取值范围是e3，)
